这种广义逆矩阵，由彭罗斯在24岁时重新发明｜N文粗通线性代数

不少同学在初学线性代数时感到迷茫、痛苦，体会不到课程的实际意义。这很大程度上是因为，教材为了由浅入深、循序渐进，须从基础的抽象概念讲起，而真正直观的部分，往往要等到后面的细分领域或具体应用。于是初学者往往知其然，不知其所以然；只见树木，不见森林。希望本文能让你换个视角，以轻松有趣的日常眼光，看到一个不一样的线性代数。

本文是系列文章《N文粗通线性代数》的第五篇。在上篇文章中，我们讨论了如何处理线性方程组无解、有无穷多解的情形。当A为满秩方阵时，线性方程

撰文 | 吴进远

上回书说到，某近视宅男，某日下楼到早点铺买早餐。眼镜忘在家里，看不清黑板上写的价目。于是，宅男就一边排队，一边听着前边顾客买早点的品种数量，和服务员小妹报的总价，据此计算各种早点品种的单价。

宅男买了早餐，一边吃，一边思考。我们知道，只有正方形的矩阵，也就是说，行数与列数相同的矩阵，才可能存在逆矩阵。不过，即使是正方形的矩阵，也不一定有逆矩阵。因为一个矩阵存在逆矩阵的条件，除了必须是方的，它还必须是满秩的。可是，我们在现实世界中，经常会遇到不方的矩阵，或者不（列）满秩的矩阵。对于这种情况，难道我们就只能干瞪眼，一筹莫展吗？

这个问题本身是一个实实在在的问题。在求解线性方程组的时候，尽管我们可能无法求出方程的唯一解，但我们希望通过这个方程组了解未知数之间的关系。这就要求我们去寻找一个任意矩阵的广义逆矩阵。

（1）假美术老师教的真数学

一个任意矩阵A，不管这个矩阵是不是方的，也不管它的秩满不满，假如有个矩阵G，符合AGA=A这样一个条件，则G就被称为A的一个广义逆矩阵。如果同时符合AGA=A和GAG=G这两个条件，则G被称为一个自反的广义逆矩阵。我们下面讨论一个例子。

矩阵的作用可以用坐标变换来解释，实际上，绘画摄影都可以看成是坐标变换。当然我这样说艺术家们会抄起苕帚把我赶出去，所以这里需要限定我们说的是像我这样的假美术老师。比如有一天，我画了一个苹果。

我自己画技很差，但如果换成一个经过训练的画家，应该不难画得像下图那样非常像。

这个图实际是P出来的，用在这里是为了表明有的画家确实是可以画到这么像的。

我们可以把摄影看成是一个矩阵：A。它的作用是把实物（x）或者画作（v）变成照片（u）。

实物变成照片：u=Ax

画作变成照片：u=Av

同样，我们可以把绘画看成一个矩阵：G。它的作用是把实物或者照片变成画作。

实物变成画作：v=Gx

照片变成画作：v=Gu

在现场，我们不难看出画作和实物是很不相同的，同样，照片和实物，照片（斜着一定角度拍摄的照片）和画作也都是不同的。

不过，我们可以进行如下操作：

这个过程中，照片1如果和照片2相同，则绘画矩阵G可以看成是摄影A的广义逆矩阵，因为它们符合AGA=A。

同理，我们可以进行如下操作：

如果画作1和画作2相同，则有GAG=G。

这里强调一下，绘画显然不是摄影的逆矩阵，因为我们不可能从照片画出一个真的苹果，哪怕是一个三维的模型苹果也不行。但绘画却是摄影的广义逆矩阵，因为把照片通过绘画变成画作之后，再把画作通过摄影变成照片，这两张照片是一样的。

同理，摄影不是绘画的逆矩阵，但却是它的广义逆矩阵。

两者同时是对方的广义逆矩阵，并且都是自反的。

（2）寻找靠谱的广义逆矩阵

现在，我们换数学老师换一个角度来讨论。广义逆矩阵要满足什么条件呢？如前所述，对于一个矩阵A，如果有另一个矩阵G，满足AGA=A这个条件，G就是A的一个广义逆矩阵。我们仍然用近视宅男买早餐为例，来说明广义逆矩阵的定义。

比如宅男前面假定只有两个顾客，如下表所示。

这两笔买卖构成一个线性方程组，用矩阵乘法写出来是这样的：

很显然，这里我们有三个未知数，却只有两个方程，约束条件不够，不可能有唯一解。从系数矩阵上看，这个矩阵是矮胖的，显然不是列满秩的，因此这个矩阵没有对应的逆矩阵。但我们可以定义这个矩阵的广义逆矩阵。

这个定义可以画成下面这样一个图。

早餐店有三种食品，三个单价构成向量x。两个顾客购买不同品种食品的数量，构成一个2行3列的矩阵A。而两位顾客购物总价构成一个有两个元素的向量y。总价的计算过程是一个矩阵乘法Ax=y，这个计算如图中第一行所示。

我们从两个顾客的购物总价y出发，尽管无法计算出三种食品的准确单价，但完全可能算出一组可能的单价u，如上图第二行所示。这个算法说到底是把y里的两个元素拿来做线性组合，这个线性组合可以看成是一个矩阵乘法：u=G y，其中G是A的广义逆矩阵，它可以从A计算出来，尽管这个计算比较复杂，我们暂时先不讨论。注意，这里算出的可能单价u与我们事先知道的单价x完全可能是不相同的，但这组可能单价应该是靠谱的。

可是，“靠谱”又是什么意思呢？我们通过上图第三行来解释。简单说，就是Au=y。或者说，当我们用这一组新的可能单价去代替我们事先知道的真实单价，以此计算前两位顾客的购物总价时，得到的结果必须不变。具体在我们这个例子中，我们事先知道的单价：油饼3元，茶叶蛋4元，豆腐脑7元。而使用广义逆矩阵，我们可能算出另一组可能单价：油饼3元，茶叶蛋5.5元，豆腐脑5.5元。这一组可能单价显然不是我们事先知道的真实单价，但由这组可能单价算出的两位顾客的购物总价却是不变的。实际上，当茶叶蛋单价加豆腐脑单价等于11元时，我们总会得到相同的结果。

（3）广义逆矩阵可能不止一个

我们要求广义逆矩阵“靠谱”，或者说AGA=A，这是一个非常松的条件。因为这个条件很松，因此对于一个矩阵A，完全可能有无穷多个矩阵G满足条件。因而一个矩阵可能有无穷多个广义逆矩阵。

当然，如果矩阵A是一个满秩的方阵，则它的广义逆矩阵就只有一个，这个广义逆矩阵就是我们以前学过的逆矩阵。

在AGA=A中，确实（GA）这个乘积有点像单位矩阵，因为它与A相乘还会得到A：A（GA） =A，但（GA）通常不是单位矩阵，它通常只能还原A，而不能还原其他矩阵。

（4）在广义逆矩阵中挑三拣四

虽然满足AGA=A的矩阵G是一个“靠谱”的广义逆矩阵，但满足这个条件的矩阵G在一般情况下会有无数个。像我们前面这个例子中，只要一个矩阵G能算出茶叶蛋单价加豆腐脑单价等于11元，它就可以算一个广义逆矩阵。

我们自然会想到，能不能让我们挑选的广义逆矩阵范围缩小一点，最好能缩小到只剩下一个？

我们人类一向如此，任何事物没有的时候焦虑，多了也焦虑。比如富家小姐挑女婿，先提个条件要个子高，符合条件的多了就又提条件要家里富，然后再提条件要长得帅。

缩小广义逆矩阵范围其实也是这个思路，没有什么万里挑一的事情不能通过加限制条件来实现，如果不行，那就再加几个条件。

我们最容易想到的条件是GAG=G，从外观上看它和AGA=A对称。它表达的意思可以用下图来说明。

在我们前面买早餐的例子中，根据两个顾客的付款额y'，我们可以用广义逆矩阵算出三种食品的单价，尽管这个单价和真实的单价并不一样，但它多少能提供一点有价值的信息。比如，从道理上说，如果今天两个顾客的付款额都比昨天低了，我们可以猜出今天有优惠，食品单价降低了。

利用我们手里众多广义逆矩阵中的一个，近视宅男可以算出今天的食品单价u=Gy'，如上图第一行所示。当然，这一组单价并不一定正确。使用这一组单价，服务员小妹可以算出两位顾客的付款额：Au=y，如上图第二行所示。注意这一组付款额y和近视宅男听到的y'可能会是不同的。现在如果近视宅男反过来再算食品单价u=Gy，如上图第三行所示，一般情况下不一定会得到相同的结果。不过，由于广义逆矩阵一般情况下有无数个，如果一开始我们选择了一个合适的广义逆矩阵G，它满足GAG=G，则上图第一行与第三行这两次计算都会算出相同的单价。

我们看到AGA=A和GAG=G这两个条件是对称的，同时符合这两个条件的一对矩阵A与G互为广义逆矩阵，它们互相之间是自反的（reflexive）。在有的文献中，把符合AGA=A这个条件的矩阵G，叫做A的内逆（inner inverse）；把符合GAG=G这个条件的矩阵G，叫做A的外逆（outer inverse）。

有了AGA=A和GAG=G这两个条件，同时符合这两个条件的广义逆矩阵数目显然少了，但令人抓狂的是，对于一个一般的矩阵A，我们仍然可能会有无数个G。这就需要我们进一步增加限制条件，我们后面会进一步讨论。

（5）挑出唯一的那个广义逆矩阵

增加限制条件可以让我们的寻找范围缩小，可以想象，如果选定的条件合适，我们完全可能在无数个广义逆矩阵挑出唯一的一个。当然这里还必须确保我们设定的条件不能太苛刻，因为那样可能会出现没有广义逆矩阵符合全部条件的尴尬情形。好在，我们现在至少有一组条件，可以确保筛选出一个、而且只有一个广义逆矩阵。

现在，到了彭罗斯闪亮登场的时候了。对于任何一个矩阵A，存在一个而且只存在一个矩阵G，同时满足下面四个条件。这个矩阵G叫做矩阵A的彭罗斯逆矩阵。

可以看出，这四个条件中，第一个是广义逆矩阵的定义，第二个是我们刚刚讨论的自反广义逆矩阵的关系式。第三和第四两个关系式中“*”是共轭转置的意思，就是把里面所有元素换成共轭复数，同时把元素的行与列对调。如果括号里矩阵所有元素都是实数，则共轭转置“*”与转置“T”等价，或者说括号里两个矩阵的乘积AG或GA对称。（这里提醒读者注意，A通常不是正方形的，因而G通常也不是正方形的。但AG以及GA却是正方形的，这两个正方形矩阵一般情况下一个大一些另一个小一些。）第三个条件让广义逆矩阵提供最小二乘解，同时满足第一与第三条件的G，在Ax=y自相矛盾没有解的情况下，可以用Gy算出最小二乘解。（当原方程组不自相矛盾时，Gy就是方程组的解）。而第四个条件让广义逆矩阵提供最小范数解。我们知道，如果原方程组约束不够，则它可能有无穷多解。现在第四个条件的作用是把最小范数解挑了出来。

在大学教科书上留下名字的人，几乎没有活人，但罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）还活得好好的，他2020年得到了物理学的诺贝尔奖，成果是黑洞方面的。

罗杰·彭罗斯 | Nobel Prize Outreach. Photo: Fergus Kennedy

彭罗斯发现彭罗斯逆这个工作发表于1955年，说起来，这种逆矩阵在30多年前就已经被前人发现了。可是彭罗斯当时压根不知道这回事，从某种意义上说，可以算是再次发明轮子（re-inventing wheels）。

当然这个事情并不能怪彭罗斯，因为当时数学界很多人也不知道这回事。实际上，在彭罗斯之前，1951年，瑞典大地测量学家Arne Bjerhammar已经重新发明过一回轮子了。到彭罗斯投稿的时候，至少可以想象他那篇文章的审稿人也不知道前人的工作，否则这篇文章就可能发不出来了。你可能觉得哪个编辑敢拒稿诺奖得主的文章？但诺奖得主也有做黄口小儿的时候。彭罗斯得诺奖是60多年后的事情，他当时只是个24岁的博士生。

当初在1920年发现这个广义逆矩阵的数学家是穆尔（Eliakim Hastings Moore），他是用矩阵的行列子空间上的投影来表述他的发现的，非常抽象难懂，所以没有很多人继续研究下去。我没有查到他1920年的论文原文，但读过后人的一个转述文章。大家形容文章难懂都是说字全认识意思不懂，可这篇文章里我连有的字母都不认识。上网查了希腊、希伯来、西里尔字母表都查不到，最后发现那个不认识的字母是一种花体的拉丁字母。

穆尔 | wikipedia

若干年后人们知道彭罗斯的逆和穆尔的逆是等价的，但彭罗斯和穆尔的表述非常不同。此外，彭罗斯的四个条件是可以拆开来互相混搭使用的，由此能够揭示广义逆矩阵的更多新奇性质。因此数学界完全认可彭罗斯的新贡献，人们现在把这种逆叫做穆尔-彭罗斯逆。我们后面会进一步讨论。（未完待续）

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