如果每过一代人口减半，平均每年人口减少百分之几？

近年来，中国出生人口急剧减少，2023年出生人口仅相当于2016年的一半。2024年出生人口虽然有所回升，但预计2025年出生人口又将下跌，详细分析可参看我在1月17日写的文章《2024年出生人口回升没有意外，但2025年出生人口很可能下跌》。

根据近两年的《中国人口和就业统计年鉴》的数据，中国的生育率只有更替水平的一半左右。这意味着，下一代人的数量仅相当于上一代人的一半。

如果中国的生育率一直保持更替水平的一半，并且假设一代人时间是30年（通常认为一代人时间是25年至30年），下面我们来求解这个问题：

如果每30年，人口就减少一半，那么平均每年人口减少百分之几呢？

假设初始人口为P(0)，30年后的人口为0.5P(0), 即减少了50%，我们需要找到每年减少的百分比r。

首先，人口随时间减少的情况可以用以下公式表示：

P(t)= P(0)×(1−r)^t，

其中：

P(t)是t年后的人口数，

P(0)是初始人口数（即t=0时的数量），

r是每年减少的比例，

t是时间（以年为单位），

上式中的符号^是次方的意思，^t表示t次方。

当人口减少一半时，可得下式：

P(t)=0.5P(0)，

又因为P(t)= P(0)×(1−r)^t，

给定条件是30年后人口减少一半，所以：

0.5P(0)=P(0)×(1−r)^30

方程两边同时除以P(0)，得到：

0.5 = (1−r)^30

为了求解r，我们对等式两边取自然对数：

ln0.5 = 30ln(1−r)

接下来解这个方程求出r的值：

因为：ln0.5 = −ln2

所以：−ln2 = 30ln(1−r)

进一步化简得：

ln(1−r) = (−ln2)/30

计算得到：

ln(1−r) = −0.693147/30 ≈ −0.0231

然后求出1−r：

1−r=e^−0.0231≈0.977

因此，r=1−0.977=0.023

这意味着每年减少的比例大约是0.023，或者说是每年减少约2.3%的人口。

所以答案是：如果人口平均每年减少2.3%，那么30年后使人口减少一半。

为了验证上述计算，下面我们进行逆运算：

如果人口平均每年减少2.3%，那么多少年后使人口减少一半？

设初始人口为P(0)，经过t年后的人口为P(t)，每年人口减少的比例为r=2.3% =0.023，

则人口变化的公式为:

P(t)= P(0)×(1−r)^t。

当人口减少一半时，P(t)=0.5P(0)，

即0.5 P(0) = P(0)×(1−r)^t= P(0)×(1−0.023)^t，

化简可得: 0.5=0.977^t

对等式两边取自然对数，可得：

ln0.5=tln0.977

通过计算，可得：

t=ln0.5/ln0.977 =(-0.693147)/(-0.023269)≈30。

所以，如果平均每年人口减少2.3%，大约经过30年后人口减少一半。

需要说明的是，上面的计算只是理论上的，实际情况更复杂，并不是说如果生育率只有更替水平的一半，每年人口就会减少2.3%；也不是说如果生育率只有更替水平的一半，30年后人口就一定减少一半。原因是，现在活着的人口中大部分是生育率高于更替水平的时期出生的。正如生育率低于更替水平意味着人口的潜在负增长，但并不意味着人口立即进入实际负增长。中国的生育率从1991年开始就低于更替水平，但直到2022年才进入实际人口负增长。原因是，虽然从1991年开始，中国的生育率就低于更替水平，但1980年以前经历了高生育率时期，因此在1991年至2021年期间，随着高生育率时期出生的人群逐渐成长并达到生育年龄，即使生育率降低，也会因为这一代人的数量庞大而导致总人口仍然保持增长。在人口学上，这种人口增长称为人口的惯性增长。