竞赛考研专题讲座12：常数项级数、幂级数与傅里叶级数题型与求解思路与方法

根据历届竞赛真题、考研真题中常见的无穷级数题型，涉及的知识点与方法，结合典型例题，回顾、总结了常数项级数敛散性判定、和值的计算，幂级数收敛域、和函数的计算以及幂级数展开式的典型应用，傅里叶级数展开和收敛性判定的一般思路与方法。根据无穷级

数常见的题型，主要讨论四个主题:

• 常值级数敛散性判定的一般思路与方法

• 函数项级数与幂级数的收敛域与和函数的计算

• 幂级数展开式的一些典型应用与求解思路

• 傅里叶级数及敛散性的判定及相关结论的应用

这个部分是这次讲座的重点，它是后面几个主题内容的基础，后面的很多结论、应用都是基于数值级数来讨论的，并且问题也相对比较具体。对于常值级数敛散性的判定，借助于教材中给出的一些判定思路与方法，我以给出常值级数收敛性判定的一般思路与过程：

首先，常值级数要收敛，则必定有一般项趋于 0 ，所以判定常值级数收敛的 第一步是依据级数收敛的必要条件判定级数是否收敛？如果 的极限不等于 0 ，则马上可以得出级数发散的结论；如果 的极限等于 0 ，还不能确定级数是否收敛，因为级数通项趋于仅仅是级数收敛的必要条件。

第二步：判定级数是否为正项级数？如果级数是正项级数，首先考虑使用比值审敛法，或根值审敛法判定级数的敛散性。

一般通项中包含有阶乘项，使用比值法；通项中包含有 次方常用根值法。如果两个极限中有一个存在，则 时，级数收敛， 级数发散， 级数的敛散性不确定。方法失败!

第三步：上述方法失败，可以考虑比较审敛法。使用比较法的关键是寻找到已知敛散性的级数进行比较。希望验证级数发散，则寻找小的发散级数进行比较，小的发散，则大的发散；希望验证级数收敛，则寻找大的收敛级数进行比较，大的收敛，小的一定收敛。比较级数的一般采取的是对原积级数的通项缩小，或者放大的方式来得到。

这个时候，也就需要我们对一些常见的级数的敛散性结论要熟悉，比如几何级数，也就是等比级数；调和级数； 级数；非负整数的阶乘的倒数和等于自然常数，以及教材中的一些基本性质、结论等，它们是使用比较判别法判别级数收敛，或者发散的基础。当然，放大、缩小的目标也要特别注意题目中已知敛散性的级数结论，通过改写级数通项建立起它们通项之间的桥梁，然后基于比较判别法来实现敛散性判定。

第四步：如果以上方法失败，考虑正项级数收敛的一个充要条件：部分和数列有界；因为正项级数的部分和数列为单调递增的数列，基于单调有界原理，单调有界的数列必有极限。通过数列极限的方法验证部分和数列的收敛性来判定级数的敛散性；这个方法也可以说是借助级数收敛的定义，来判定级数收敛的方法。另外也可以考虑常值级数与无穷限反常积分之间的关系，借助积分法来判定反常积分的敛散性。

【注】：积分法判定无穷级数敛散性的讨论，我们可以通过查阅参考第五届全国大学生数学竞赛初赛，非数学类真题解析的解答题第 2 题的最后一个视频片段，基于这个视频片段构建无穷限反常积分与无穷级数关系的逆向过程，可以了解和掌握用积分法来判定无穷级数敛散的思路与方法。

第五步：如果级数不是正项级数，判定级数是否为交错级数？即考察级数是否具有

0 ">

的形式，当然 的次数也可以是 次方。如果级数具有这种结构，虑使用莱布尼兹判别法；再判定 是否满足单调递减趋于 ，如果是，则由交错级数的莱布尼兹判别法可知级数收敛。

第六步: 如果级数 不是正项级数，也不是交错级数，则取通项的绝对值构成绝对值级数 ，绝对值级数为正项级数，考虑使用正项级数敛散性的判定方法判定绝对值级数的敛散性。如果 收敛，则原级数 收敛，并且称原级数为绝对收敛级数。如果绝对值级数发散，而原级数收敛，则称原级数条件收敛。如果用比值法或者根值法判定绝对值级数发散，则原级数一定发散。

【注】如果正项级数的方法不能判定绝对值级数的敛散性，则考虑原级数的部分和定义，或者基于无穷限反常积分敛散性的判定方法，或者级数的运算性质等来判定。

值得注意的是，在实际判定级数敛散性的过程中， 一般首先是判定级数是正项级数还是交错级数；如果是正项级数，直接考虑比值、根值判别法，在不能确定敛散性的情况下，再考虑比较判别法，或者部分和定义的方法，或积分法来判定收敛性。如果是交错级数，则考虑是否满足莱布尼兹判定法的条件，如果满足则收敛；如果不满足，则转换为绝对值级数，即正项级数来讨论，再借助正项级数的判定法判定绝对值级数的敛散性，来确定级数是否收敛；否则也考虑级数敛散性的定义法，或者其他方法来判定级数的敛散性。

当然，进行这些操作的前提，是级数的一般项是要趋于 0 的，即要满足级数收敛的必要条件，这些工作才有意义。所以在进行上面的操作之前，或者在方法失败之后，应该考虑判定级数的一般项是否趋于 0 。如果不趋于 0 ，当然也就可以直接得到级数发散的结论了。

以上就是拿到一个常值级数以后，如何判定级数的敛散性的基本思路、方法与过程。对于具体的，有明确通项表达式的级数，一般来说依据以上步骤相对容易地可以得到级数的敛散性，而对于没有具体通项表达式的级数，则根据问题提供的条件，写出与通项相关的关系式，然后对照相应的判别方法得到敛散性的结论。

对于一些已知了级数通项的一些性质，或者已知了一些级数敛散性的条件的抽象级数敛散性的判定，在使用比值法、根值法、莱布尼兹判别法方法行不通的情况下，一般都是基于比较判别法，或者部分和的定义法，或者积分的方法来探索可能的验证思路的，其中部分和方法中使用得最多的就是拆通项的方式来将级数问题转换为数列问题来讨论敛散性。

练习1：设 是在 单调递增且大于 0 的连续函数， 单调递增且大于零，证明: 若 收敛，则级数 收敛.

【分析】：虽然这个级数是正项级数，但是利用刚才讨论的比值法、根值法，莱布尼兹判别法都行不通！利用级数收敛的必要条件也没法判定，因为是要判定收敛，而必要条件只能直接给出发散的结论。所以要判定题目中级数的收敛性，使用的方法可能就只能是比较法，或者部分和的方法，或者积分的方法。

仔细考察题目的条件:

0 , f(x) \nearrow ; a_{n}>0,a_{n} \nearrow. ">

考察级数通项，把括号里面通分，有

两个常数值的差和一个常数项的乘积！它可以写成积分

再将条件结合起来，则有

于是，由积分的保序性，有

所以两端求和，得

两端取 极限，则不管 是否趋于正无穷大，也不论 是否大于 ，由于被积函数都是正的，所以一定可以得到部分和数列的极限小于等于积分值。

于是由正项级数部分和数列有界，级数一定收敛，这样也就验证了原级数是收敛的结论。

练习2: 设 是单调增加的正项数列，证明级数 收敛.

【分析】：和练习 1 需要证明的级数通项对比，如果取 ，则是练习 1 的特殊情况！所以由练习 1 的结论，练习 2 的结论成立的。

除了这个思路，其实也有一个通常考察抽象级数敛散性的基本改写方式: 一般级数的通项包含有数列项作为分母的时候，可以考虑将其放大，因为是证明收敛，所以是放大，然后拆分为两项之差的通项描述形式来处理；然后基于

和部分和数列收敛性的结论，可以将级数收敛性转换为研究数列的收敛性来讨论。同样，数列 的收敛性也转换为其它的通项的差构成的级数的收敛性来讨论。

于是，基于条件 是单调增加的正项数列，来改写级数通项，也就有

这样，基于比较判别法，右端构成的级数收敛，左端构成的级数也收敛。

完全类似的思路分析与方法，但是改写相对要复杂的，详细思路探索过程，也可以查阅【第十三届初赛非数学类竞赛真题的第六题】, 更多的这种类型的竞赛真题的例子,和更详细的分析与探讨，可以查阅周老师频道推送的全国大学生数学竞赛初赛非数学类真题解析在线课堂中相关真题的详细探讨。

二、函数项级数与幂级数收敛域与和函数

这个部分对应的两个内容：收敛域与和函数，就计算思路与方法来说还是比较直接的。主要探讨一下求收敛域与和函数的过程中一些要注意的问题。

1、收敛域的求解思路与方法

函数项级数与幂级数收敛域的计算，一个通用的步骤可以概括为三步:

• 函数项级数 收敛域计算的一般思路与步骤：

(1) 利用比值判别法或根值判别法求收敛区间，归结求解不等式

(2) 利用常值敛散性判别法判定收敛区间端点的收敛性

(3) 收敛域=收敛区间 + 收敛的端点

当然这个方法既适用于一般的函数项级数，也适用于幂级数这样的特殊的函数项级数。不过由比值判别法，也容易推导得到一个，适用于具有标准结构的幂级数的收敛区间和收敛域计算思路与步骤。

• 幂级数 收敛域计算的一般思路与步骤:

(1) 求收敛半径 得到收敛区间 :

(2) 判断收敛区间端点的收敛性

(3) 收敛域=收敛区间 + 收敛的端点

这个方法要特别强调，所有的 系数都不能等于 0 ，也就是 的 指数 要是连续变化的整数，不能中间出现漏项，比如只有偶数次幂项，或奇数次幂项，都不符合这种结构。对于不符合这个标准结构的幂级数，需要通过换元的方式转换为这个标准结构来讨论，或者使用第一个方法来计算。

对于标准结构的幂级数的收敛域，还有一个值得关注的定理：阿贝尔定理。

这个定理表明，标准结构的幂级数的收敛域是关于原点对称的区间，区间端点是幂级数收敛域与发散域的分割点，在收敛区间内幂级数是绝对收敛的，在端点处，幂级数可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散。如果幂级数在一点条件收敛，则该点一定是幂级数收敛区间的端点。

2、幂级数和函数计算的一般思路与方法

幂级数的和函数的计算一般是依据幂级数的线性运算性质和它的解析性质，比如幂级数的和函数在收敛域上连续，在收敛区间内可导，在收敛区间上可积；而且幂级数在收敛区间内还有逐项求导和逐项可积的性质，也就是说，在收敛区间内，和函数的导数等于幂级数各项求导之后再求和，同样，在收敛区间内任意子区间上，和函数的积分也等于幂级数的各项求了积分后再求和。利用这样的性质，通常就可以将需要求和函数的幂级数的描述形式，转换为一些已经知道了和函数的幂级数来表示，从而利用幂级数和和函数相等的关系，得到所求的幂级数的和函数；另外，在求导运算中，通过比较前后幂级数的表达式，还可以通过构建函数的微分方程等式，通过求解微分方程的方法来求幂级数的和函数。

值得注意的是，幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等. 区间端点的敛散性需要单独另行判定。

对于幂级数和函数的计算，我们也可以给出一个通用的步骤:

第一步：求收敛域。

【注 1】这一步也可以放在第二步后.

第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即

换 元

第三步：借助收敛域内幂级数的线性运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。通常用得最多的是这样三个级数

【注 2】这个步骤对于和函数等式，可多次进行，一般分母有 ，可以考虑直接对项求导，分子有 可以考虑对项求积分，每次只能消去 的一次项，所以考虑消去 时，应该将包含 的乘项分解为一次项的乘积。如果求导、求积分不能消去，可以考虑乘以或者除以 的方式，通过凑幂来实现。

第四步：对已有的幂级数及和函数等式，两端执行第三步的逆运算，即求导的求积分，求积分的求导；并经过换元的逆代换，得到原幂级数的和函数。

【注 3】最终的和函数记得带上收敛域，对于端点和运算过程中没有意义的点可以考虑和函数在收敛域上的连续性确定，或者单独求和确定。

关于幂级数收敛域与和函数的计算，在全国大学生数学竞赛初赛的真题中，由【第七届第四题】【第三届第4题】、第一届第七题】这样几个相对比较典型的题目，在对应的真题解析在线课程中，基于对收敛域与和函数相关问题解题思路的探索，三个真题的 9 个视频片段，详细分析、探讨了函数项级数、幂级数收敛域，幂级数和函数计算的一般思路与常用的方法，并且探讨了基于微分方程初值问题求解来求幂级数和函数的方法，以及借助幂级数求和的方法来求常值级数和的思路与步骤。通过认真查阅这几个真题解析视频，应该对这部分内容的理解、掌握和应用于解题的思路与方法会有一个更好的加强和更深入的理解。

三、幂级数展开式的应用

这个部分内容主要回顾、总结两个内容，一个是怎么将函数用幂级数表示，也就是函数的幂级数展开，第二个是函数幂级数展开式在解题中的应用。

1、函数的幂级数展开（直接法、间接法）

函数的幂级数展开其实和把函数用带皮亚诺余项的麦克劳林公式表示的思路与方法基本一致。它也可以分为直接法与间接法。直接法也称为泰勒公式法，就是求函数各阶导数的方法。一般步骤大致可以概括如下几步:

用泰勒公式法将函数展为麦克劳林级数的步骤：

(1) 检验函数 在含有原点的某区间 上是否任意次可导，并求出

(2) 判定是否存在正数 ，对于上述区间上的一切 以及一切的非负整数 ，恒有

(3) 求出 .

(4) 依据麦克劳林级数公式写出 在 内的麦克劳林级数的展开式.

【注】如果以上(1)(2)步任意一步不满足，则展开过程终止，表示函数在讨论的区间上不能展开成麦克劳林级数。

泰勒公式法在函数不能用一些基本初等函数通过线性运算，求导、积分运算转换得到的情况下所采用的方法。一般情况下，基于函数的泰勒级数的唯一性，将函数展开为幂级数表示的方法为间接法。

间接法求函数幂级数的思路与步骤和求幂级数的和函数的基本思想差不多， 基本思想与方法 ：借助级数的数乘、加减运算法则、逐项可导、逐项可积的微分性质，将函数改写、变换成已知幂级数展开式及收敛域的函数描述形式，然后借助运算性质写出幂级数.

尤其是 的展开式。

另外也基于函数在指定点处幂级数的唯一性，通过待定系数的方法求幂级数的系数，从而得到最终的幂级数展开式. 所以对于几个基本函数的幂级数展开式要熟练。其思路过程有两种，一个是 正向思路:

(1) 所求函数 变换为容易写出幂级数的函数加减乘形式 对函数执行加减、求导、求积 已有幂级数展开式的函数 对函数及幂级数进行逆运算 所求函数的幂级数。

第二个是 反向过程，其实也是幂级数求函数的过程。

(2) 已有幂级数的展开式的函数 函数求导、求积分及幂级数展开式逐项求导、求积分 所求函数的幂级数展开式。

2、函数的幂级数展开式的应用

(1) 利用幂级数求函数的高阶导数值

第一步：借助幂级数展开的方法展开指定点处的幂级数，并求幂级数展开式的收敛域；

第二步: 依据泰勒级数公式求幂级数的方法和一个函数在指定点处幂级数展开式的唯一性，幂级数相等， 次数相同的项的系数相等，即

(2) 利用幂级数求数值级数的和

第一步: 借转换常值级数为幂级数，将其中的 次方项用 替换，构成幂级数，没有的用 替换为 。

第二步: 求构造的幂级数的收敛域与和函数.

第三步: 对于收敛域中的点构成的常值级数的和就等于和函数在该点的函数值.

(3) 利用幂级数近似计算函数值

对于函数的幂级数收敛域中的点，相应的函数值的近似值可以用该点的幂级数对应的常值级数的部分和近似，可以达到任何预期的准确程度。

(4) 利用幂级数计算积分值和积分

基于级数在收敛域内的可逐项可积的性质，即求和与积分可以互换次序

其中 包含于级数的收敛域内. 这样，在被积函数不可积（一般是指原函数不能用初等函数描述）的时候，可以利用被积函数的幂级数来计算积分的近似值，也可以直接计算积分，得到级数结果的表达式，当然积分后所得级数如果可以求和，则还可以得到具体的积分值!如果是变限积分，则可以得到和函数！当然，函数的幂级数表达式也是函数的一种描述性质，一样可以基于幂级数表达式来研究函数的可能的性态。

(5) 微分方程的幂级数解法

第一步：设微分方程的解函数为幂级数；

第二步：解函数的幂级数表达式代入微分方程，化简、合并等式两端的同次项；

第三步: 比较等式两端同次项的系数，得到所设幂级数的系数表达式。

第四步：对于得到的幂级数，能够求出和函数的，则和函数即为微分方程解的初等函数表达式；对于无法用初等函数描述的幂级数，则可以用其部分和作为微分方程的近似解。

四、傅里叶级数及敛散性的判定

傅里叶级数部分的内容比较简单，可以说就一个内容，函数的傅里叶展开及其敛散性的判定。

第一个是周期为 的傅里叶级数定义:

对于周期为 的函数，只要它在一个周期上可积，就可以利用傅里叶系数计算公式求出它的傅里叶系数，从而也就可以直接写出它的傅里叶级数。

第二个：狄利克雷收敛定理。

狄利克雷收敛定理告诉我们，只要一个函数满足狄利克雷收敛定理的条件，函数的傅里叶级数就一定是收敛的，并且函数的连续点处傅里叶级数就收敛于对应点处被展开的函数的函数值；而在间断点处也收敛，只不过这个时候傅里叶级数收敛于函数在对应点处的左右极限和的一半。

【注】从这个定理可以看到，写一个函数的傅里叶级数的和函数并不需要求函数的傅里叶级数，也就是说在写傅里叶级数之前，就可以直接依据这个定理先写它的和函数表达式.

依据以上定理和对傅里叶级数的定义，则将一个周期为 的函数展开为周期为 的傅里叶级数展开的一般步骤为:

第一步：计算傅里叶系数

根据周期函数的定积分性质，由以下公式计算函数 在任意区间长度为 的区间上的定积分. 一般取为直接定义函数的一个周期区间求积分. 常取为 ，即

在计算系数的时候，需要注意这样几个方面:

【注 1】 从系数计算式中可以看到，如果函数 为奇函数，则所有的系数 ，这样就只要计算 就可以了；这样计算出来的傅里叶级数为正弦级数；如果 为偶函数，则所有的系数 ，也就只要计算 就行了，这个时候的傅里叶级数为余弦级数。

【注 2】在将函数展开为傅里叶级数时，最好先画出函数在一个周期上的图形，这样容易看出其奇偶性及间断点，从而便于计算系数和写出傅里叶级数的和函数。

【注 3】在计算傅里叶系数时，一般对于 单独计算，如果在使用通用公式计算的过程中，通项公式中有 值使得通项公式无意义，则对于这样的 值对应的系数也应该单独计算. 比如如果计算出 时，则 就应该使用系数计算公式单独计算！

【注 4】由周期函数的定积分计算性质，其实系数计算公式中积分区间，可以换成任意区间长度等于 的一个区间上的积分来计算。比如换成区间 上求极限，系数是一样的。

第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数

第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性，从而可以写出和函数。

第四步：函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数 的集合 ，也就是函数的连续点构成的集合，最终写出附带集合 的等式

【注 1】注意一下，只有在收敛于 的点，称函数 可以展开成傅里叶级数，即有

所以将函数展开成傅里叶级数必须是等式并且附带连续点描述的集合.

【注 2】特别注意对应傅里叶级数的和函数与被展开函数的区别与联系！

由此，容易将这个过程推广到一般周期的函数的傅里叶级数展开。即有一般的傅里叶级数展开的思路与方法。

周期为一般周期 的周期函数它的傅里叶级数的收敛性和周期为 的一样，只要把狄利克雷收敛定理中的周期换成周期为 就行了。

通过换元则可以得到周期为 的傅里叶级数系数计算公式和对应的傅里叶级数。注意系数计算公式中前面系数为 ，积分的上下限为 ，或者区间长度为一个周期长度 的任意区间，比如 。而傅里叶级数和积分表达式里面的三角函数里面的函数表达式则为 。为了检验公式的正确性，也可以令 来检验记忆公式的正确性，如果令 得到了与周期为 的傅里叶系数计算公式和傅里叶级数，则一般公式是正确的。

以上是周期函数的傅里叶级数展开的相关内容的总结，对于有限区间上定义的函数也可以展开为傅里叶级数。基本依据是，对函数的傅里叶级数展开式，对于任意有限区间上的连续点处的傅里叶级数都是等于函数值的。所以傅里叶级数收敛于函数的区间，也就是函数能够展开为傅里叶级数的区间，可以限制为任意的由连续点构成的有限区间 。基于这个结论，对于仅仅在有限区间上定义的函数，咱们可以根据需要展开的周期对应的傅里叶级数，如果函数的定义区间小于一个周期长度的话，可以根据需求，将它延伸、拓展为一个周期上有定义的函数，然后根据指定周期计算得到傅里叶级数，再将傅里叶级数定义到函数的定义区间上的连续点构成的区间就可以了。当然，对于间断点，基于狄利克雷收敛定理也可以得到傅里叶级数的和。

注意，如果是需要得到正弦级数，则应该将函数拓展为奇函数，如果需要展开为余弦级数，则将函数拓展为偶函数。

另外，要特别注意，有限区间上定义的函数，要全部展开为相同周期的傅里叶级数的话，展开的傅里叶级数的周期只能大于等于有限区间的长度。比如函数 ，则只能将其展开为周期 的傅里叶级数。并且，如果周期长度大于区间长度的话，则傅里叶级数不唯一！因为比周期长度大的那部分区间函数的定义可以任意取。

这类问题的详细探讨和傅里叶和函数的计算思路与方法，可以参考全国大学生数学竞赛初赛，非数学类竞赛真题第七届填的第 4 题解析视频，该题的视频解析片段详细地探讨了有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开的思路、方法和应该要注意的问题。另外，在第八届的第六大题就一般周期的傅里叶系数的计算，以及周期函数的定积分计算性质进行了详细的分析，如果大家对这方面的问题还有不甚理解的地方，可以通过查阅历届全国大学深入的了解生数学竞赛真题解析在线课程，通过对应的真题解析视频详细、。

另外，对于傅里叶级数还有一个重要的等式希望大家能够掌握，最好能够自己证明：就是 Parseval 恒等式，它是可积函数与其傅里叶系数之间关系的恒等式。

帕塞瓦尔恒等式表明 "函数的傅里叶系数的平方和" 与 "函数平方后的积分值" 可以直接换算，这也要求函数 平方可积。

关于无穷级数基础性的知识点总结，题型及其求解方法与基础练习题可以参考推文：；而其中例举到的全国大学生数学竞赛题可以参考公众号推文：.

以上就是咱们今天探讨的内容，与之相关的更多的典型问题及详细的求解思路与方法可以参考）或中专题练习。

感谢学友们的阅读、关注与支持，咱们下期再见!