数学年鉴:数学家取得双重突破，解决了两个长期存在的问题

罗格斯大学新不伦瑞克分校的一位教授毕生致力于解决高等数学的奥秘，他解决了困扰数学家数十年的两个独立的基本问题。

这些长期存在的问题的解决方案可以进一步增强我们对自然和科学中结构和物体的对称性的理解，以及对化学、物理、工程、计算机科学和经济学等领域中出现的各种随机过程的长期行为的理解。

罗格斯大学文理学院数学系 Joshua Barlaz 杰出数学教授 Pham Tiep 完成了对理查德·布劳尔 (Richard Brauer) 于 1955 年提出的“零高度猜想”的证明。理查德·布劳尔是一位德裔美国著名数学家，于 1977 年去世。该猜想的证明——通常被视为有限群表示论领域中最突出的挑战之一——发表在《数学年鉴》9 月刊上。

“猜想是一种你认为有一定有效性的想法，”蒂普说，他职业生涯的大部分时间都在思考布劳尔问题，并在过去 10 年里深入研究了这个问题。“但猜想必须得到证实。我希望推动这个领域的发展。我从来没想到能解决这个问题。”

从某种意义上说，Tiep 和他的同事一直在遵循 Brauer 在 20 世纪 50 至 60 年代提出和发表的一系列数学猜想中为他们列出的挑战蓝图。

“有些数学家拥有这种罕见的智慧，”蒂普谈到布劳尔时说道。“就好像他们来自另一个星球或另一个世界。他们能够看到别人看不到的隐藏现象。”

在第二项进展中，Tiep 解决了 Deligne-Lusztig 理论中的一个难题，该理论是表征理论的基础机制的一部分。这一突破涉及迹，这是矩形阵列（称为矩阵）的一个重要特征。矩阵的迹是其对角线元素的总和。这项工作在两篇论文中进行了详细介绍，一篇发表在Inventiones mathematicae，第 235 卷（2024 年），第二篇发表在Annals，第 200 卷（2024 年）。

“Tiep 在有限群方面的高质量工作和专业知识使罗格斯大学保持了其作为该领域世界顶级中心的地位，”数学系杰出教授兼系主任 Stephen Miller 说道。“20 世纪数学的伟大成就之一是对所谓的‘简单’有限群进行分类，尽管这个名称可能具有误导性，但它与罗格斯大学同义——它由这里领导，许多最有趣的例子都是在这里发现的。通过他出色的工作，Tiep 为我们的系带来了国际知名度。”

蒂普表示，从该解决方案中获得的见解可能会大大增强数学家对迹的理解。他补充说，该解决方案还提供了可能带来其他重要数学问题突破的见解，包括佛罗里达大学数学家约翰·汤普森和以色列数学家亚历山大·卢博茨基提出的猜想。

这两项突破都是有限群表示论领域的进步，有限群是代数的一个子集。表示论是数学许多领域的重要工具，包括数论和代数几何，以及物理科学，包括粒子物理学。通过被称为群的数学对象，表示论还被用于研究分子的对称性、加密信息和生成纠错码。

数学家遵循表示论的原理，将欧几里得几何中存在的抽象形状（其中一些非常复杂）转化为数字数组。这可以通过识别每个三维或更高维形状中存在的某些点并将其转换为按行和列排列的数字来实现。

逆向操作也必须可行，Tiep 说道：人们需要能够根据数字序列重建形状。

与许多经常使用复杂设备来推进工作的物理科学同事不同，Tiep 说他只使用笔和纸进行研究，到目前为止，他已经出版了五本书，并在领先的数学期刊上发表了 200 多篇论文。

他记下数学公式或表示逻辑链的句子。他还与同事们进行持续的对话——无论是面对面还是通过 Zoom——随着他们一步步进行证明。

但蒂普说，进步可以源自内心的反思，而想法总是在他最意想不到的时候迸发出来。

“我可能在和孩子们一起散步，或者和妻子一起做园艺工作，或者只是在厨房里做点什么，”他说。“我妻子说她总是知道我什么时候在思考数学。”

在第一次校样时，Tiep 与德国凯泽斯劳滕工业大学的 Gunter Malle、西班牙瓦伦西亚大学的 Gabriel Navarro 以及 Tiep 的前研究生、现就读于丹佛大学的 Amanda Schaeffer Fry 合作。

第二次突破是 Tiep 与南加州大学的 Robert Guralnick 和印第安纳大学的 Michael Larsen 合作完成的。Tiep 与 Guralnick 和 Larsen 合作撰写了两篇论文，第一篇论文探讨并解决了轨迹上的数学问题。第二篇论文是 Tiep 和 Larsen 的合著者。

“Tiep 和合著者已经获得了我们预期所能获得的最好的轨迹边界，”Miller 说道。“这是一个成熟的课题，从很多角度看都很重要，因此进展很艰难——而且应用范围很广。”

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