线性代数学与练第12讲 ：分块矩阵的基本运算与拉普拉斯定理

由于电子文档以外部链接存放具有不稳定性与不可控性，为此，封面图片原始高清文件和推文中明确有PDF文档免费分享的电子文档下载请通过考研竞赛交流圈（点击打开）文件或美图分类获取。

【说明】文中公式在用手机阅读时如果显示不全，请用在公式上左右滑动显示完整公式。

从前面的讨论可以看到，不论是行列式的计算还是利用矩阵来求解线性方程组，或者解决其他问题，当矩阵的阶数比较大的时候，要完成任务计算量是非常大的. 而在现实问题中，涉及的矩阵规模会非常大，这样一次性把矩阵作为一个整体来处理会非常耗费时间，而且占有的存储空间会非常大，因此对计算机的要求会要求非常高! 而现在的计算机的特点是包含了很多的计算单元，也就是可以同时处理多个任务；另外，经过适当处理的处理，也可以把一个任务分发到不同的计算来进行处理，这样就可以将一个大型复杂的计算问题拆分很多的计算量较小的问题来处理，这个思想应用到矩阵计算中，就是对矩阵进行分块，利用模块化和批处理的思想，将大规模的矩阵运算化为若干小型矩阵的运算，从而使得运算更加简明，达到提高矩阵运算. 变换的效率目的. 对矩阵分块是处理阶数较高的矩阵的非常重要的方法.

本讲的任务: 首先给出分块矩阵的概念与常用的分块方法与原则, 然后讨论分块矩阵的运算，最后学习分块初等变换与分块初等矩阵.

一、分块矩阵的概念

首先通过一个简单的例子说明矩阵分块的基本思想. 考察以下矩阵并注意绘制的两条虚线.

通过矩阵 的第 2 行与第 3 行之间、第 2 列与第 3 列之间绘制的水平虚线和垂直虚线，将矩阵 分割成了 4 个小矩阵，我们把它们记为

其中 为 的零矩阵， 为 3 阶单位矩阵，从而 可表示为

如果把小矩阵 视为 4 个元素，此时矩阵 可视为形式上的 2 阶方阵。这一做法称为对 的分块，对应的形式矩阵即是分块矩阵.

通过矩阵分块可以将行数与列数较多的矩阵，根据需要和矩阵中元素的分布规律，利用低阶矩阵描述，例如上面就将一个 5 阶矩阵描述为 2 阶分块矩阵。

定义1对于一个 矩阵 ，在 的行之间加入 条横线，在 的列之间加入 条坚线，则 被分成 个小矩阵，依次记为:

此时 可写为

把 视作以 为元素的形式上的 矩阵，称为分块矩阵，或称为对矩阵 的分块，每个小矩阵 称为 的子块.

【注】注意这里的记号 与矩阵代数余子式的区别，也提醒我们，在看到一个记号的时候要注意其使用的背景，或者注意对符号的说明！相同的记号在不同的地方具有不同的涵义。

当考虑将一个矩阵分块时，一个重要的原则就是分块后的子块尽量包含有便于计算和具有一些特殊性质的矩阵，比如单位矩阵、零矩阵、三角形矩阵、对角矩阵等等，当然有时候也需要根据问题的需求来考虑对矩阵进行分块处理.

常用的分块矩阵有以下几种形式

(1) 行分块矩阵

其中 .

(2) 列分块矩阵

其中 .

(3) 分块对角矩阵

当 阶方阵中的非零元素都集合在主对角线附近时，可考虑将矩阵分块为如下的分块对角矩阵.

其中 是 阶方阵， .

矩阵的分块形式一般没有固定规律，一般是结合实际需要和原矩阵的结构特点，为计算简便出发来进行矩阵分块.

例如，对矩阵

可以选用如下不同的分块策略:

其中

其余没有标记的为零子块，可以完整的描述为

其中 为 的零矩阵， 为 的零矩阵， 为 的零矩阵， 为 的零矩阵， 分别为 和 的零矩阵。

其中

其余没有标记的为零子块.

二、分块矩阵的运算

作为一类元素为矩阵的矩阵，当然也有矩阵的基本运算，比如加法、数乘、矩阵乘法、转置等，由于其元素的特殊性，当然也有自己的一些不同的运算规律和要求. 下面在将分块矩阵视为矩阵对象的基础上，来讨论分块矩阵的这些运算法则.

基本原理：在满足矩阵运算前提的基础上，首先将每个子块看作 "元素"，利用子块记号施以相应抽象符号运算；然后将每个子块作为矩阵，将子块施以以数为元素的通常的矩阵运算. 即在子块和元素两个不同层次分别实施运算.

1、分块矩阵的线性运算

设 为同型矩阵，分别分块为

若对应的子块 都是同型矩阵， 为数，则

例1求 ，其中

【解】: 记 ，故

依据通常矩阵的线性运算法则，得

代入上面的分块矩阵运算结果，得

2、分块矩阵的转置

将矩阵 分块为 ，则

例如，

3、分块矩阵的乘法

设 是 矩阵， 是 矩阵， 分块为 分块矩阵和 分块为 分块，且 的列分块法和 的行分块法完全相同，则

其中 .

例 2将矩阵 分别进行分块，并用分块矩阵的乘法计算 ，其中

【解】: 将 做如下分块

其中 . 依分块矩阵的乘法要求， 的行的分法必须与 的列的分法相一致， 而 的列可以任意分. 因此为计算方便，将 分块如下

其中 . 于是

例3设 阶方阵 ，其中 为可逆方阵子块，证明:

【证明】：由分块矩阵的乘法可得

所以结论成立.

例 4求矩阵 的逆矩阵 .

【解】：对矩阵 分块如下：

于是由二阶矩阵逆矩阵计算公式

计算可得各子块的逆矩阵为

所以由块对角矩阵的逆等于各块的逆构成的矩阵，即

【注】矩阵空白位置都为 0 . 这样也就将 5 阶矩阵逆矩阵计算问题转换为了熟悉、简单的二阶矩阵和常数项的逆矩阵计算问题.

4、方程组及解的行、列矩阵描述形式

如果将矩阵分割为行块与列块形式，即

则有

【注】如果 ，则 ，即 的每一列都是齐次线性方程组 的解. 基于列矩阵的形式，方程组的解可以描述矩阵形式. 比如，如果 是 元线性方程组的唯一解，则解可以描述列向量

如果 4 元线性方程组的解是以 为自由未知数，以 为基本未知数的描述形式，比如 ，在通解可以描述为

进一步由矩阵的线性运算性质，有

(2) . 如果 为 元未知数

的非齐次线性方程组 ，则可以表示为

其中 为矩阵 的列分块矩阵.

也表示以 为系数的 的列矩阵（列向量）的线性组合表达式。

由该式可以看到，矩阵相乘即为逐行列分块相乘构成的矩阵.

思考题:若对 按列分块， 按行分块，那么 是否可以进行分块矩阵的乘法运算?

三、分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵

若对单位矩阵 进行列分块可得 ，其中

即 为第 位置是 1 ，其余位置为 0 的 矩阵（列矩阵），则

(1) 为矩阵 的第 列构成的列矩阵; 为矩阵 的第 行构成的行矩阵；

(2) 若用 表示只有第 行与第 列交叉处为 1，其余元素都为 0 的 阶方阵，那么 .

利用上述记法可对初等矩阵进行分块，例如:

按列分块记为

按行分块记为

思考题：若对 分别按照列分块与行分块，结果是怎样的?

在此基础上可借助分块矩阵乘法来分析初等矩阵与初等变换之间的联系，例如:

思考与练习: 请自行写出 的计算过程与结果.

类似有

1、分块矩阵的初等变换

定义 2设分块矩阵 ，则下述三种变换称为分块初等行 (列) 变换:

(1) 互换 的两行（列）；

(2) 用行列式值非零的方阵 左（右）乘 的某一行（列）全部子块；

(3) 的某一行（列）全部子块左（右）乘矩阵 加到另一行（列）。分块初等行变换与分块初等列变换统称为分块初等变换.

【注】: 一次分块初等变换的效果相当于若干次普通初等变换.

2、分块初等矩阵

定义 3将分块的单位矩阵做一次分块初等变换，所得到的分块矩阵称为分块初等矩阵.分块初等矩阵有 3 种类型，与 3 种初等变换相对应:

(2) 或 （其中 皆为行列式值非零的方阵）；

(3) 或 。

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用上述分块初等矩阵左乘一个分块矩阵，只要分块矩阵的乘法能够进行，其结果就相当于对矩阵进行了相应的分块初等行变换.

例如

它对应于交换 的两行；

它对应于将 第一行左乘

它对应于将 第一行左乘方阵 再加到第二行上.

同样，用分块初等矩阵右乘一个分块矩阵，只要分块矩阵的乘法能够进行，其结果就相当于对它进行了相应的分块初等列变换。

比如取 为 2 阶单位矩阵，

对其分块为

则 ，得

取 ，得

取 ，得

四、拉普拉斯(Laplace)定理

在一个 阶行列式 中任意选定 行: 和 列: ，位于这些选定的行和列交叉处的 个元素按原来的次序所组成的 阶行列式 称为 的一个阶子式. 划去选定的 行和 列后剩下的元素按原来的次序所组成的 阶行列式 称为 的余子式。

称为 的代数余子式。

例如，行列式

选定 1、4 行和 2、3 列交叉处的 4 个元素构成一个 2 阶子式 ， 的余子式为

的代数余子式为

定理（Laplace 定理）在 阶行列式 中任意取定 行（列），由这 行 (列)的元素所组成的一切 阶子式与它们对应代数余子式的乘积之和等于行列式 .即在 中选定 行后，则它在这 行 列行列式中的所有 阶子式的个数为 个，对应的子式与代数余子式分别记作 ，则行列式的值为

【注】行列式按行（列）展开法则就是拉普拉斯定理的特殊情形.

例如，对

选定 1、3 行，它的两行元素为

能够组成的二阶子式共有 个，分别选做的列为 12，13，14，23，24，34，故构成的二阶子式及对应的代数余子式为

则由 Laplace 定理得

从上例可以看到，虽然 Laplace 定理可以实现快速的降阶，但是由于计算子式与对应的余子式仍需计算相当数量的行列式，因此对一般形式的行列式计算而言，Laplace 定理的 效率提升并不明显. 但是对于一些特殊形式的行列式，利用 Laplace 定理可以极大简化计算.

例 5证明如下结论:

(1) 。

(2) 。

【证明】：(1)取前 行进行展开，只有当其子式为 时，才有可能不会为零。因为其它的子式中至少有一列元素全为零，所以其它子式都等于零。而当子式为 时，其余子式为 ， 代数余子式为

所以由普拉斯定理可得

(2)类似(1)，取前 行进行展开，只有当其子式为 时，才有可能不会为零. 而当子式为 时，其余子式为 ，代数余子式为

所以由普拉斯定理可得

【注】类似也有分块上三角矩阵对应的行列式的值.

由此可知，当方阵中非零元素都集合在主对角线附近时，可将矩阵分块为分块对角矩阵

此时有 . 比如矩阵

其中

两个行列式的值都等于

例 6求证 ，其中 均为 阶方阵。

【证明】：利用 Laplace 定理和分块初等变换的性质可得

【注】由以上结论可知：对于分块矩阵，某行左乘一个矩阵加到另一行，其行列式的值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，其行列式的值不变. 即有

练习题

1、判断正误，并说明理由.

(1) 设 均为 阶方阵， ，则 。

(2) 设 均为 阶方阵，则

(3) 设方阵 ，则 .

(4) 设 均为 阶方阵，则

(5) 矩阵 的充分必要条件是方阵 .

2、用分块矩阵的方法进行计算.

3、设三阶方阵

其中 均为 的列矩阵，已知 ，计算行列式 。

4、计算行列式.

5、设 皆为 阶方阵，证明:

6、设 分别是 和 矩阵，证明:

7、设 都是 阶方阵，矩阵 分块表示为 。

(1) 若 均可逆，证明 可逆。

(2) 设 都是 阶方阵，若 可逆且 ，证明:

8、设 为三阶方阵， 为五阶方阵， . 令

求行列式 。

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

公众号推文内容分类及详细推文内容导航，可以点击公众号底部菜单中的“全部推文分类导航”选项，问题交流讨论请到添加配套QQ群！

课件源文件、最新推文PDF文档下载，全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，查阅配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程及各专题解析课程， 具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”获取课程链接 ，或点击本文左下角“阅读原文”直达课程或获取相关电子文档！

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！