乡村教育者手记｜沈圣淋：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来

编者按：即日起，《青年说》栏目策划推出“乡村教育者手记”，为乡村校长和教师提供一个展示自我的平台，分享教育一线的所见所闻所感，助力乡村教育先行区建设。

以下是山东沂南县青驼镇中心小学教师沈圣淋的教育手记：

去年8月21日至24日，我参加了临沂市小学数学骨干教师研修班。回顾这一个月的历程，我受益颇丰。

8月初，在张玉庆校长的带领下，沂南小数团队：张庆堂、沈圣淋、赵凯、惠鹏飞、于林玲、刘晓、薛克荣、武秋云、李静、杨晓哲正式成立并对《小数乘小数》这一节课展开讨论设计磨课，小伙伴们将自己搜集的资料陆续上传，进行资源的整合与理解，完成自己的课堂设计。

8月21-24日，在于科长的精心布局下，真正体验了战场上沙场点兵的煎熬，整个团队废寝忘食，三个夜晚熬出了三个版本的设计，以前总开玩笑，“你见过凌晨四点的洛杉矶吗？”洛杉矶没去过，但我们一起连续三晚见过了凌晨一点的沂南星空，而《小数乘小数》便演化成为了整个星空里最璀璨的一颗。

当一群喜欢数学的人，在一起做喜欢的事情时，所有的努力都将迎来美丽的绽放，这个过程当中让我对运算一致性有了更深的理解。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》，有一个重要的提法：感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

运算一致性的含义，在相关解读文章中能看到明确的解释：

加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。

乘除法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘除。

但乘法运算一致性的描述，则让人产生了不少困惑。

顾志能老师提到：

1.乘法算理的一致性表达，令人不解

乘法运算一致性的含义，以小数乘法0.3×0.8＝0.24为例，算理为（3×0.1）×（8×0.1）＝（3×8）×（0.1×0.1）＝0.24，即计数单位0.1和0.1相乘得到新的计数单位0.01，计数单位的个数和个数相乘得到新的个数24，合起来就是24个0.01。整数乘法（如300×20）和分数乘法（如2/3×3/5），算理均可如此表达。

上述乘法的算理表达方式，是一致的，理解起来也不难。但是，乘法运算中还有其他的情况，如20×4、0.3×5、2/7×3等，这些类型的乘法，若按此思路来表达，就会让人觉得非常“怪异”。如20×4＝80，一直以来，我们都解释为“2个十乘4等于8个十”，算理简单明了，但按一致性的要求，则应以20×4＝（2×10）×（4×1）＝（2×4）×（10×1）＝80来解释。算理如此表达，舍简就繁，道理抽象，有何好处？更重要的是，学生能否理解和接受？

2.乘法运算中的算理依据，逻辑存疑

运算一致性，在乘法中还有逻辑上的争议。如，三年级的两位数乘一位数25×3，按一致性的表达，算理应为（20＋5）×3＝20×3＋5×3＝2×10×3×1＋5×1×3×1＝（2×3）×（10×1）＋（5×3）×（1×1）……其间的转换，明显是用到了乘法交换律、结合律和分配律。但是，在此之前，学生应该尚未学过这些运算定律，怎么就能直接使用了呢？据相关解读，“在数学的结构和数学的教学中，是算律确定算理，算理确定算法”[4]，从中可看出，这里用到的乘法运算定律，应是学生已有的认知。那么，学生是何时学习这些乘法运算定律的？25×3才是新知，那说明只能在一位数乘一位数时学习，或是将乘法运算定律直接作为“公理”来使用了。问题是，这样的教学逻辑，是否恰当，是否有可行性？

另外，0.3×0.8＝（3×8）×（0.1×0.1）中，0.1×0.1的计算也是个麻烦事——需要依据1/10×1/10来解释。但当前的教材，分数运算都设置在小数运算之后。那么，这里的教学逻辑又该如何处理？

我觉得顾志能老师说得很有道理：

（1）算理分析可关联计数单位，但不求统一

具体而言，在分析算理时，可根据试题的实际意义（现实情境），或从计数单位个数运算的角度进行分析，或从计数单位及其个数运算的角度进行分析，算理“适配”意义即可，无需统一。

例如，60÷3，情境是“60根小棒平均分给3个人，每人分得几根”。引导学生理解为6个十除以3，只要6除以3，得到2个十，即计数单位不变，单位的个数在运算。又如，90÷30，情境是“90根小棒，每人分30根，可以分给几个人”。引导学生理解为9个十除以3个十，得到商3，即计数单位运算了，计数单位的个数也运算了。

（2）算理分析可脱离计数单位，但紧扣意义

小学中有些计算的内容，若其实际意义清楚明了，学生凭借已有知识，能够撇开计数单位进行算法探索和算理分析，此时就可顺应学情，放手学生尝试。

例2 □×2/3=12。

师：说一说，已知什么，求什么？

生：已知一个数的2/3是12，求这个数。（师板书）

师：求这个数的算式是——

生：12÷2/3。

师：谁来把例1的图改一改？（笔者注：前半节课教学的例1是12×2/3，用的就是这个图）

学生改成下图：

师：刚才是知道3份，求2份，现在呢？

生：知道2份，求3份。

师：理解了，怎么算还用教吗？试试看。

教师根据学生的交流板书：

12÷2/3=12÷2×3=12×1/2×3=12×3/2=18

师：换成其他分数，也可以这样转化为分数乘法吗？

生：可以，照样除以分子，乘分母。（笔者注：除以分子得到每份数，再乘份数得到总数。如此，被除数无论是整数还是分数，均适用）

师：总结一下，甲数除以乙数（0除外），等于甲数——

生：乘乙数的倒数。

上述教学片断不讲计数单位，却照样把算理研究得清清楚楚。究其原因，关键是学生抓住了运算的意义（12÷2/3的意义及分数2/3的意义），从意义出发进行了合理表征和准确推演。借助分数意义的理解来推演算理，这样的思路是贴合学生且彰显内涵的，在分数乘法和分数除法的教学中很有实用性，值得借鉴。

（齐鲁晚报·齐鲁壹点客户端 巩悦悦 策划整理）

新闻线索报料通道：应用市场下载“齐鲁壹点”APP，或搜索微信小程序“齐鲁壹点”，全省800位记者在线等你来报料！