线性代数学与练第10讲：逆矩阵与克莱姆法则

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前面我们讨论了矩阵与矩阵的加法、减法和乘法三种运算，那么，矩阵有没有除法呢？矩阵的除法又是如何定义的呢？回想一下数加减乘除的关系，我们说减法就是加法，是加上数的相反数，除法就是乘法，是乘以数的倒数. 倒数是怎样的数呢? 如果 且 ，则 为 的倒数，并且记作 。基于除法，一元一次方程 ，如果 ，等式两边同乘以 ，直接得到方程的解为 .

现在的问题是：矩阵的所谓 "除法" 能不能像数的除法一样定义为 ，定义后是不是对于线性方程组 ，它的解也可以表示为 ?

本讲的任务是：首先给出逆矩阵的概念，然后讨论它的一些基本性质，在此基础上给出矩阵可逆和方程组解的存在性的判定方法，最后讨论了求解线性方程组的克莱姆法则。

一、逆矩阵与伴随矩阵的概念1、逆矩阵的概念

定义1设 是 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 ，则称 是可逆的，并称 为 的逆矩阵或 的逆，并记作 。即有

例1设 ，其中 且 ，判断 是否可逆，若可逆求 .

【解】：设存在 ，使得 ，则

即解四个方程组成的两个方程组

当 时，解得

因此 . 即只要 ，则矩阵 可逆，且

【注】：容易发现，所得逆矩阵计算公式中的矩阵 的元素正好是矩阵 中相应元素的代数余子式所构成的矩阵的转置，即

2、伴随矩阵

定义 2设 为 阶方阵，令 为 的行列式中元素 的代数余子式，称矩阵 为 的伴随矩阵，记为 ，即是将 按 相同位置排列再做转置得到的矩阵:

定理1设 为 阶方阵，则

进一步有

(1) 为可这矩阵当且仅当；

(2) 若 为可逆矩阵，则 。

【证明】：设

由矩阵乘法和行列式按行（列）展开的性质知

于是可得 . 类似也可以得 ， 即

因此，若 ，则

故 为可逆矩阵且 。反之，若 可逆，则存在 使得 ，于是 ，即有 .

例 2设 ， 是 的伴随矩阵，试求 .

【解】:由 得 ，即 . 由于

所以

【注】：行列式为 0 的方阵称为奇异矩阵，行列式不为 0 的方阵称为非奇异矩阵. 因此方阵可逆与方阵非奇异是等价的。

定理 2设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 或 ，则 可逆，且 的逆。

【证明】: 若 ，则有 ，从而 ，故 可逆. 对 两边同时左乘以 ，即得 。

【注】这个性质说明，检验矩阵 是否为 的逆矩阵，只需要验证 或者 两个式子中一个就可以了，没有必要两个等式同时验证. 或者说，我们要求矩阵 的逆矩阵，只要能够找到一个矩阵 ，使得 或 就可以了。这样不仅直接验证了矩阵 可逆，而且 。

例3设方阵 满足 ，证明 可逆，并求其逆矩阵。

【解】：改写已知等式 ，有

即 。所以

【注】：对于类似于本例的问题，往往用类似于数的多项式的乘法或因式分解，对矩阵多项式乘以适当的因式或作因式分解，然后基于逆矩阵的定义与矩阵运算律可以同时解决逆阵的存在性并求得其逆矩阵的表达式。

二、可逆矩阵的性质

关于可逆矩阵 还有如下一些性质:

(1)可逆矩阵一定是方阵，但方阵不一定可逆.

(2)若 是可逆矩阵，则它的逆矩阵唯一。

【证明】：假设 都是 的逆矩阵，则有 . 于是

即可逆矩阵的逆矩阵唯一。

(3)，设 ，则

(4)初等矩阵都是可迕矩阵，且

(5)与 互为逆矩阵，即 。

(6)若 可逆，则 也可逆，且 。

【证明】：因为 ，故 。

(7)若 可逆， ，则 也可逆，且 .

(8)若 可逆，则 且 。

(9)若 与 是同阶的可逆矩阵，则 也可逆，且 , 进一步有

【注】：上述性质也可以解读成矩阵的逆可以有作是矩阵的一种 "运算"，且求逆运算可与部分矩阵运算按照一定规则交换运算次序。

定理3设 为 阶矩阵，则下列各命题等价:

(1)矩阵 是可逆的;

(2)齐次线性方程组 只有零解;

(3)矩阵 与 是行等价的;

(4)矩阵 可表示为有限个初等矩阵的乘积.

【证明】： 设矩阵 可逆且 是 的解，则方程等式两端乘以 ，得

即齐次线性方程组 只有零解.

假设齐次线性方程组 只有零解，设

行 初 等 变 换

其中 为行阶梯形矩阵，则 与 同解。由于 是方阵，故 也为方阵，所以若 有一对角元为零，则 的最后一行元素全为零，这样 同解于未知量个数多于方程个数的线性方程组，从而可知 有非零解，这与假设矛盾. 因而行阶梯形矩阵 的对角元全为非零，从而 经过行初等变换可化为的简化行阶梯形矩阵是 ，即 与 是行等价的。

因为 与 是行等价，所以 经过行初等变换可以得到 ，即存在初等矩阵 ，使得 . 又初等矩阵可逆，故它们的乘积 可逆，故在等式两端同时乘以 ，得

又 故得

矩阵 可表示为有限个初等矩阵的乘积。

(4) 设存在初等矩阵 ，使得 ，则由初等矩阵可逆可知矩阵 可逆.

【注】（1）齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 ，即 不可逆.

(2)设 为 阶矩阵，则非齐次线性方程组 有惟一解的充要条件是 可逆，即 ；

【证明】（1）由定理3直接可得。对于（2），充分性显然，因为 可逆，则方程组两端同时乘以 可得方程组有非零解 . 反之，假设 有惟一解 ，但 不可逆，则 有非零解 。令 ，显然 且

即 也为 的解，从而与 有惟一解矛盾. 故 可逆.

三、解线性方程组的 Grammer 法则

设由 个方程组成、关于 个未知数的线性方程组为

则线性方程组可表示为 . 若系数行列式 ，即 为可逆矩阵时，线性方程组有唯一解 .

因 且

故方程组的唯一解可写成

从行列式的视角对上述结果进行解读得为：系数行列式记为

定理4（Cramer 法则）对于线性方程组，若系数行列式 ，则方程组有唯一解:

其中 是把 的第 列换成常数列所得到的行列式，即

【注】：(1) 用 Cramer 法则解线性方程组时必须具备两个前提条件：一是方程个数与未知量个数相等，即系数矩阵为方阵；二是系数行列式 。

（2）优点：体现了行列式定义的合理性，揭示了解对系数和常数的依赖关系；同时指出当 时，即系数矩阵可逆时，线性方程组有唯一解，并给出了简洁的记号来描述求解公式.

（3）缺点:适用范围窄，实际求解要计算 个行列式，计算量大.

（4）对于非齐次线性方程组 ：若 ，有唯一解；若 ，线性方程组无解或者至少有两个不同解。对于齐次线性方程组 ：若 ，有唯一的零解；若 ，有非零解.

例 4设曲线 通过四个点 ，用 Cramer 法则求系数 .

【解】：将四个点的坐标代入曲线方程，得到关于系数 的线性方程组

系数行列式为

由 Cramer 法则得，线性方程组有唯一解：

例5设齐次线性方程组

其中 ，试讨论 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多解时，求通解.

【解】：方程组的系数矩阵 的行列式为

(1) 且 ，方程组仅有零解.

(2) ，对系数矩阵 进行初等行变换，并注意到 ，

即得原方程组的同解方程组

取 为自由未知数，即方程组的通解为

其中 为任意常数.

(3) ，对系数矩阵 进行初等行变换并注意到 ，

于是，得到同解方程组

练习题

1、判断正误，并说明理由.

(1) 对于方阵 ，若 ，则一定有 。

(2) 初等矩阵总是可逆的.

(3) 已知 为 阶方阵，且 ，则 .

(4) 已知 均为 阶方阵，其中 且 ，则 是不可逆矩阵。

(5) 设 是 阶可逆矩阵，将 的第 行和第 行对换后得到矩阵 ，则 也可逆且 .

(6) 设 是 阶非零方阵，且满足 ，则 可逆.

2、选择题.

(1)设 阶非零矩阵 满足 ，则( ).

(A) 不可逆， 不可逆

(B) 可逆， 不可逆

(C) 不可逆， 可逆

(D) 可逆， 可逆

(2)设 是 3 阶方阵， 是 的伴随矩阵， ，则行列式 的值为 ( ) .

(A) 10 (B) 21

(C) -22 (D) -32

(3)设 为 阶可逆矩阵，交换 的第 1 行与第 2 行得到矩阵 分别是 的伴随矩阵，则下列结论正确的是( ).

(A) 交换 的第一列与第二列得

(B) 交换 的第一行与第二行得

(C) 交换 的第一列与第二列得

(D) 交换 的第一行与第二行得

3、已知对于 阶方阵 ，存在自然数 ，使得 ，试证明矩阵 可逆，并写出其逆矩阵的表达式（ 为 阶单位阵）。

4、(1) 设方阵 满足 ，证明 可逆.

（2）对满足（1）中条件的 ，若

求 。

5、设 阶方阵 可逆，证明:

(1) 。

(5) .

(6) .

6、设 是 3 阶非零矩阵， 为 的行列式， 为 的代数余子式. 若 ，求 的值.

7、证明：（1）如果可逆矩阵 的元素均为整数，则 的元素均为整数当且仅当 (提示: 若 的元素均为整数，则 为整数)。

(2) 设 为同阶方阵，且 都可逆，证明 可逆并求它的逆矩阵 .

8、设 ，其中 是 阶单位矩阵， 是 维非零列向量， 是 的转置，证明:

(1) 的充要条件是 ；

(2)当 时， 不是可逆矩阵.

9、参数 为何值时，齐次线性方程组

有非零解.

10、如果 阶可逆矩阵 的每行元素和均为 , 试证明: 的每行元素的和均为 .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

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