这道题难倒几十万美国中学生，我却用它赢了一顿饭

把数学题变成

一顿饭

今天小天又双叒叕给超模君分享了一道题目。

上次超模君就是因为“求阴影面积”，被小天这个家伙套路了一顿饭。

这次超模君一定会汲取教训，决定把这顿饭给赢回来的！

如上图所示，现有各棱长均为 a 的一个正三棱锥和一个正四棱锥，当将它们的一个侧面完全重合地粘贴在一起后，新形成的几何体有几个外露面？

这不是超模君最爱的空间几何吗？看来这顿饭是十拿九稳了。

作为一个优秀的数学系毕业生，超模君一眼就看出来这道题并非是“4+5-2=7”那么简单了。

小天肯定以为我会回答 7 个面，殊不知超模君早已看穿一切，并且还想到了最便捷的解题方法。

首先，这两个椎体粘贴在一起后，粘合处的两个面变成了非外露面，所以我们初步判定：新的几何体最多 7 个外露面（4+5-2=7）。

紧接着就是这道题的关键所在了，“面AEF”和“面ABE”这两个面，超模君越看越不对劲。

于是超模君脑海里就出现了这一幕：

把两个正四棱锥并排放在一个水平面上，底边 B'D' 与 底边 AC 重合； 我们会发现两个锥体顶点距离 EE' 也等于边长 a ； 而两个正四棱锥中间的那个几何体 ACEE' 就正好是一个边长为 a 的正三棱锥； 此时，就可轻易地看出 面AEE' 和 面ABE 是共面关系了； 同理，面CDE 和面CEE' 也是共面的。

所以，最终结果是：新构成的几何体一共有5个外露面（4+5-2-2=5）。

于是，超模君拿着答案就找小天“要饭”去了。

可谁知道小天一脸坏笑：十八线网红呀，你又做错啦~

超模君看着屏幕里原题的答案：“4+5-2=7”。

怎么回事？

这是其中到底是哪个环节出了问题？

超模君的专业性居然受到了空前的质疑，看来今天必须要证明自己了。

果然，经过超模君的一番考究后，发现原来这是一道“历史难题”，这道题的出处最早可以追溯到1980年推荐阅读《数学那些事》伟大的问题宇非凡的人

当年美国举办的“全美初级数学能力测试”中就首次出现了这道题目，而且参加这场测试的是数以百万计的高中生。

美国有个“全美优秀学生奖学金计划”，就是从“学术能力测验”中选拔出15000名学生，然后再从中筛选出4700个名额，每年颁发250~2000美金的奖学金； 而“初等学术能力测验”就是“学术能力测验”的预考。

当时考试主办方给出的标准答案是：“7个面”，而且大部分考生写的答案也是“7个面”。

但是，有个叫丹尼尔·洛文的17岁小伙却写了“5个面”，并且认为自己的答案才是对的，而“标准答案”和绝大多数人都错了。

为了求证此事，丹尼尔把想法分享给了父亲（丹尼尔的父亲是一名杰出的工程师）。

在经过多次验证后，父亲也认同了丹尼尔的答案。与此同时，丹尼尔还用橡皮泥制作了模型验证、演示给老师们看，并将事情反馈给了主办方。

丹尼尔成为了多年以来第一个质疑主办方的高中生。

真理是不可磨灭的，几经周折后，主办方最终还是承认了丹尼尔的答案才是正确的。

事实上，当年那场考试有大约24万人给出的答案是“5个面”，因为丹尼尔这一闹，最后主办方都帮写“五个面”的考生加了分，但由于人员基数过大，写“7个面”的几十万考生们也没有被纠错、扣分。

也许就是因为当年主办方的“心慈手软”，导致“7个面”的答案如今还在流传。

所以，为了守护数学的严谨性，超模君打算用数学方法正式解答一遍，也好让小天输得心服口服。

为了计算方便，不妨设边长 a=2。

取 AE 的中点 G，分别连接 G 与 F、C、B 三个点； 显然 FG⊥AE，CG⊥AE，BG⊥AE； 所以，GF=GC=GB=√3，FC=2，BC=2√2； 再利用余弦定理（a² = b² + c² - 2bccosα）； 求得，cos(∠FGC)=1/3，cos(∠CGB)=-1/3； 所以，CG⊥GF，CG⊥GB（两个都为直角）； 显然，FAEB四点共面； 同理得，CDEF四点也是共面的。

终上所述，这道题的正确答案是：新形成的几何体共有 5 个外露面。

超模君看着小天：吃饭的地方，你挑还是我选？

超模君 说

看到最后

你感受到数学的奇妙了吗？

作者简介：超模君，数学与交叉科学教育自媒体博主，中大数学博士，有俩崽崽和一洁癖的太太。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育、提升幸福感的产品打call。著有 《芥子须弥·大科学家的小故事》、《数学之旅：闪耀人类的54个数学家》、《漫画数学：闪耀人类的54个数学家》、《一份钟数学》 （已售罄）、《薛定谔的猫：漫画大科学家的小萌宠》（已售罄）、 超模君幽灵魔方、超模君丙烯马克笔 等广受大人与孩子们喜爱的作品。

在这里，超模君不定期会有脑洞大开，和你分享一些新研发出来的，小而美的，有故事的，有知识的理工创意产品，期待与您分享。

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