线性代数学与练第08讲：行列式的性质与展开法则

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在第 7 讲中咱们给出了行列式中两种定义，并基于定义计算得到了一些特殊的矩阵对应的行列式的计算结果，比如上三角行列式，下三角行列式，对角行列式等，对于这些结果在实际计算中可以直接使用. 同时，也得到了一些基本的性质，比如行列式中一行，或一列全为 0 时，行列式为 一行或一列的公因子可以提到行列式符号外面来等，这样的性质在一定程度上简化了行列式的计算.

在实际行列式的计算过程中也不难看到，基于定义的方法计算行列式非常麻烦，因此，有必要进一步探索行列式可能更多的计算性质，或者方法来解决行列式的计算问题。

本讲的主要任务就是基于定义进一步探索行列式的性质，并基于行列式的展开法则探索通过降阶的方式来计算稍微复杂、高阶的行列式.

一、行列式的基本性质

性质1设 ，称

为 的转置行列式，则 ，行列式与转置行列式相等. 即方阵 与它的转置 的行列式相同，即 。

【注】该性质说明行列式中的行与列具有同等地位，对于行列式中行所具有的性质对于列一样成立. 所以按第一行展开给出的行列式的定义同样也适用于按第一列展开.

性质2对换行列式的两行（列）行列式改变符号。

【注】若行列式有两行完全相同，则行列式等于零. 对换行列式的 行（列）与 行 （列）记作 。

性质3行列式的某一行(列) 中所有元素都乘以同一数 ，则得行列式的 倍.

【注】(1) 此性质也说明行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号的外面. 行列式第 行（列）乘以 记作 。

(2) 结合性质 2 可知，如果行列式中有两行（列）成比例，则此行列式等于零。

(3) 。

性质4将行列式的某行（列）的各元素都乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，所得行列式不变.

【注】将行列式的第 行（列）的 倍加到第 行（列）记作 .

性质 5若 某一行的每个元素都表示为两个数的和，则 可以按照下列方式表示为两个行列式的和:

【注】该性质表明：当某一行（或列）的元素都为两数之和时，行列式关于该行（或列)可分解为两个行列式的和. 若 阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成 个行列式.

例如，二阶行列式

例 1已知 都是 4 行 1 列矩阵，其中 是以它们的元素为列构成的矩阵,

如果 ，试求 .

【解】：由行列式和矩阵转置的性质，得

二、行列式的三角化计算法

由矩阵初等变换结论可以知道，利用初等变换可以将矩阵变换乘阶梯形，而对于方阵则可以变换为上三角形矩阵，所以对行列式施行行的对换、倍加 变换则可以将行列式化为上三角形行列式，根据上一讲中的结果我们知道，上（下）三角形行列 式的值就等于行列式主对角线上所有元素的乘积，从而直接的行列式的值，即

这样计算行列式的方法也称为计算行列式的三角化法. 三角化法是计算行列式的基本方法之一。

【注】：三角化法也适用于列的对换与倍加变换. 在实际计算的过程中也可以行列的初等变换混合使用，而且也可以使用行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号的外面，来简化消去行列式对角线下方元素的过程. 同时注意矩阵初等变换与行列式初等变换的不同，矩阵的初等变换是一种等价变换关系，而行列式的初等变换是一个等式关系。

例 2计算 。

【解】：由行列式的行初等变换法，有

【注】对于第一步获得第一行的第一个元素为 1 的对换操作也可以通过交换行列式的两列来实现，然后继续后面的行初等变换过程. 注意以上初等变换记号的顺序，以上写法的 操作顺序是从左到右，从上到下，比如 表示先 ，再 ，最后 。

例3设

证明: .

【证明】：对 的行作变换 和 （设进行 次换行），把 化为下三角形式

对 的列作变换 和 （设进行 次换列），把 化为下三角形式

对 前 行作与 相应的行变换，后 列作与 相应的列变换，则 化为下三角形式

例4设 是奇数阶反对称矩阵，证明:

【证明】：由于 是奇数阶反对称矩阵，故其行列式

又由于 ，所以

将行列式每行提出一个 -1 ，则有转置矩阵对应的行列式得

由于 为奇数，故得 ，即 。

【注】在行列式没法计算或者说没法得到明确值时，要证明行列式为 0 ，通常转换为证明 ，从而 。

例 5已知 ，证明:

【证明】：由 和行的拆分法，得

其中

代入上面的拆分和式即得 .

三、行列式的展开法则与降阶法

在前面利用行列式的第一行展开给出了行列式的一种定义方式，为了对行列式的性质作进一步研究，下面引入一般的余子式与代数余子式的定义。

定义在 阶行列式 中，把元素 所在的第 行第 划去后，剩下的元素依原次序构成的 阶行列式称为 的余子式，记作 ，并称 为 的代数余子式。

例 6写出三阶行列式

的所有元素的余子式与代数余子式，并计算相应的值.

【解】：由余子式与代数余子式的定义，可得

【注】: 行列式中的每个元索 都对应有一个余子式和一个代数余子式，且余子式和代数余子式与元素 的值无关，只与它位置 有关.

例 7证明：对于第 行仅仅只有第 列元素 的行列式 ，有

【证明】：满足题设条件的行列式可以记为

首先将行列式的第 行与之上面的 邻换，然后 行再与 邻换，最后将第 的 元素与第 1 行邻换，这样一共邻换 次，则行列式邻换为

再将第 列与其左侧的各列之间依次邻换，则邻换 次，得

于是按照第一行的第一个元素展开，即得

基于上面的结论和行列式和式拆分，对于一般的 阶行列式，有

性质 6任意 阶行列式 等于它的任一行 (列) 的元素与其代数余子式的乘积的和，即

推论行列式 的某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 对应元素的代数余子式的乘积之和为 0 ，即

【证明】：只证明对行的结论. 设

则第 行元素与第 行元素代数余子式的乘积之和为

其中 . 因为元素 代数余于式只与位置 有关，所以直接可得

【注】基于行列式按行（列）展开的性质可以实现行列式的降阶计算，当行列式的某一行或者某一列只有 1 个或者 2 两个非零项时，可以考虑直接按照该行或该列展开来计算行列式的值。

例 8计算 。

【解】：由于行列式的第三行仅仅一个非零项，故考虑按第 3 行展开，有

例 9证明: ，其中

【证明】: 由行列式的展开式法则，有

变换后的行列式第 2 行与第 4 行成比例，故得

性质 7设 都是 阶方阵，则 。

【证明】：构造一个 阶的行列式

则 . 将行列式 第 列的 倍加到第 列， ，得

其中 ，令 ，则 。再将 的第 行依次与前面各行通过 次邻换可得

类似可将 的第 行依次通过邻换可得

综上可得 。

推论设 为 阶方阵，则 。

例10已知矩阵 ，若三阶矩阵 满足方程

其中 为三阶单位矩阵，计算行列式 .

【解】：由 可得

从而有

由于 ，于是可得

代入上式，得 ， 即 .

练习题

1、判断正误，并说明理由.

（1）若 阶行列式 ，则 有两行元素成比例.

（2）若 阶行列式 ，则 有一行元素全为 0.

（3）若 为四阶方阵，则 。

（4）若行列式 ，则

(5) 对于任意 阶矩阵 ，一定有 .

2、试求行列式 的第 4 行各元素余子式的和与各元素代数余子式的和，其中行列式为

3、计算以下行列式.

4、试求多项式 中 项的系数.

5、设 均为 的列矩阵，以它们为列构成两个 的矩阵

已知行列式 ，计算行列式 .

6、求 的根，其中

7、已知 为 阶实方阵，且 ，证明： .

补充题

1、计算下列行列式.

2、设 是方程 的根，证明三阶行列式

3、已知 均为 阶实方阵， ，且 。证明: 。

4、已知 1326，2743，5005，3874 都能被 13 整除，试在不计算行列式的前提下证明

也能被13整除.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

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