什么是射影几何学？

对于射影几何学而言，那荒凉的监狱或许是一个舒适的摇篮，这是因为射影几何学是一门除了需要动用敏锐的直观力以外，无须使用计算和算式的特殊几何学。

当笛卡儿在 17 世纪初发明坐标时，当时的人们以为所有的几何学都就此终结了，连笛卡儿自己似乎也是这么认为的。

在欧几里得几何学中，解决一个问题是需要具有特殊的灵感和想法的。例如，在已知的图形中选取特殊的位置添加一条新的直线（辅助线），难题便像被施加了魔法一般迎刃而解了，想必大家都有过这样的经历。这种做法令一部分人迷恋上了几何学，同时这也是让一部分人对几何学敬而远之的原因之一。然而，由于笛卡儿的坐标把所有几何学上的命题全都变成了代数算式，所以解决几何问题不再需要天才的灵感，仅凭凡人的汗水就足够了。

但事实果真如此吗？一个几何学上的命题被坐标翻译成代数算式，而一个代数算式则能被几何学上的命题证实，这是常有的事。但是，评价无数个命题的重要性的问题就该另当别论了。

从无数个没有错误但也没有价值的命题中，选出真正重要的命题，这并不是在履行“计算”这一机械且盲目的程序。从这层意义上讲，笛卡儿的坐标确实是研究几何学的一种手段，但并不是能教会我们沿着最短路线前进的方法论，于是在这里就出现了构建新方法论的可能性。与笛卡儿活跃在同一时期的法国数学家德萨格（1593—1662）就创立了新的方法论。如果一门学问的真正目的不是把一切知识都进行百科词典式的罗列，而是从杂乱的知识集合中挑选出真正重要的内容，那么德萨格的功绩无疑是不应被世人遗忘的。

德萨格是一名建筑师，出于职业上的需要，他在投影法的使用方面取得了很大的突破。与学术型的数学家不同，德萨格作为一名实践型的工程师，其研究动机完全出于实用性，而这种方式也推动了新几何学的发展。另外，他还是一位热心致力于工人教育的工程师。在他的论文中出现了“树木”“树枝”“小树枝”“竹节”等罕见的术语，这些词语反映出的形象，不是一个选择在接受过正规学术指导的学者面前发表演讲的数学家，而是为那些汇集于夜校、求知若渴的工人们讲课的热心的工程师。

射影几何学就是这样被着眼于实际应用的工程师创立的，它并非出自学术型的数学家之手。另外，这位工程师生活在文艺复兴后期，当时正是资产阶级获得权力，走上历史主舞台的时代。

法国数学家彭赛列（1788—1867）继承了德萨格的“遗产”，将他的思想完美体系化，并使其成为了一门独立的学问。这里的彭赛列，也不是学术型的学者。

几乎与所有法国数学家一样，彭赛列也是一名毕业于巴黎综合工科学校的炮兵。他在 1812 年俄法战争中被俘，在伏尔加河畔的萨拉托夫度过了长达数年的监狱生活。在既没有书也没有可供书写的纸张的牢狱中，他仅能用一点木炭的碎片把图形和算式写在墙壁上。而也正是在萨拉托夫的监狱里，他获得了射影几何学的构想。他在书中这样写道：“本书汇总了自 1813 年春天以来，我在俄国的监狱中取得的所有研究成果。书自不必说，他们甚至剥夺了我所有的精神安慰。祖国和自身的不幸也令我意气消沉，因而我最终未能完成研究工作……”不过，对于射影几何学而言，那荒凉的监狱或许是一个舒适的摇篮，这是因为射影几何学是一门除了需要动用敏锐的直观力以外，无须使用计算和算式的特殊几何学。

平面 A 上画有某个图形。假设这个平面图形画在胶片上，我们试着从一点 O 对该图形进行投影，将其放映到作为银幕的平面 B 上（图 4-1）。

此时，图形确实发生了变化。如果 A、B 两个平面是平行的，那么该图形在所有方向上都只能进行相同比例的伸缩，影像与原像为相似形。然而，如果胶片与银幕不平行，那么影像就不再与原像相似，而是会发生扭曲。要想理解这一点，我们可以回想坐在电影院的角落里看电影时的感觉。那时银幕里人物的脸看起来就像是被奇怪地拉长了。

但是，这种投影会使图形的所有性质都变得面目全非吗？当然不会。例如，连续的铁轨的胶片，绝对不会投射出中途断开的铁轨影像。这是因为由投影构建出的映射，一定是拓扑映射。那么，是不是所有图形都会像一般的拓扑映射那样，全都发生类似于“软体动物式的运动”呢？比如，画在胶片上的一条直线会在银幕上映射出一条波浪线吗？这显然是不可能的。投影直线 PQ 的光线汇集成包含 OPQ 在内的平面，PQ 的影像为该平面与平面 B 相交的部分 P′Q′（图 4-2）。P′Q′ 在这里确实是一条直线，这是因为平面与平面的交线为直线。

换言之，直线作为“直线”的这一性质不会因为投影而发生改变。若用克莱因流派的话说，这种性质就是不变性。但是，线段的长度和角度会因投影而变得面目全非，这是不言而喻的。

那么，下面的事实就变得明朗了。

一个平面上的直线在经过投影后，会全部转变成其他平面上的直线。

不过，让我们再慎重地考虑一下究竟是不是“全部”吧。事实上，在这种情况下说“全部”的确言过其实，我们应该改用“除去一种特殊情况以外的全部”的说法，而这个例外就是下面这样的直线。

通过光源 O 引入与平面 B 平行的平面 B′，平面 B′ 与平面 A的交线为直线 L。即使从 O 向这条直线投射光，它也只能在平面B′ 上，而不会与 B 产生交点，这是因为 B 与 B′ 是平行绘制的。就像彼得·施莱米尔把影子卖给了恶魔一样，直线 L 也没有影子。但是正如在平面 A 上只存在彼得·施莱米尔，在平面 B 上也只存在有影子却没有实体的“幽灵”，这其实就是通过光源 O 进行投影后，平行于 A 的平面 A′ 和 B 的交线。

当我们打算主张“平面 A 上的直线经投影后变成了平面 B 上的直线”时，这一主张很有可能总是会遇到阻碍，而阻碍正来自于平面 A 上的彼得·施莱米尔和平面 B 上的“幽灵”。因此，我们不得不时刻附上“但有一种特殊情况除外”的声明。面对完备命题演奏的音乐中的杂音，难道我们就无计可施吗？

当然，俗话说“一切规律总不免会有例外”，因此这并不是什么逻辑上的致命性缺陷。但每当面对这种情况时，数学家总会采取某种特殊的态度，那就是对既定之物——这里指平面——进行一些修改，继而消除例外。

就我们当前面临的情况而言，如果在平面 B 上为平面 A 中的彼得·施莱米尔添加一条新的直线的影子，在平面 A 上为平面 B 中的“幽灵”新增一条直线的“肉体”，那么就万事大吉了。我们把这种新添加的直线叫作无穷远直线，把添加了无穷远直线后的普通平面叫作射影平面。我们在这个射影平面上已经听不到讨厌的杂音了，而且在主张“射影平面上的所有直线，在经过投影后全都变成了射影平面上的直线”这个命题时，我们也可以不用再附加任何声明。

但是，无穷远直线是如何与平面衔接的呢？在没有缝隙且没有边界的平面上，我们在哪里可以添加新的直线呢？人类的直观到此已经走投无路了，下面就让我们转变方向，借助算式和计算的手段继续前行吧。

笛卡儿的坐标通常用由两个实数构成的一组数，来表示平面上的一个点。我们在此可以稍微修改一下这种方法，将两个实数换成由三个实数 x, y, z 构成的一组数。此时，这三个数中的某两个数可以同时为 0，但三个数不能同时为 0。仅把 x, y, z 视为坐标就可以得到一个三维空间，但我们在这里要把这三个数的比，规定成一个点。例如

由此可知，(2, 3, 1) 和 (4, 6, 2) 表示同一个点。若令该连比中的 z不为 0，则

所以

表示普通平面上的点。另外，当 z 为 0 时，连比的集合则为无穷远直线。这种由三个数的连比构成的坐标叫作齐次坐标，它是为表示射影平面而量身定做的。

在欧几里得的平面中存在一种例外，即两条直线互不相交，也就是两条直线互相平行的情况。而在添加了无穷远直线的射影平面中，则不会出现这样的例外，即两条平行的直线在无穷远直线上是相交的。例如在欧几里得的平面中，我们可以用下面的方程组表示两条直线平行而不相交的情况。

也就是说，这个方程组是没有解的。这是因为当这两个等式进行减法运算时，在同时消掉 x 和 y 后会产生 1 = 0 这样不合理的结果。

但是，如果用

分别代替 x 与 y，那么去掉分母后就可以得到下面的同次多项式。

这组等式的确具有 (1, 1, 0) 这个交点。当然，由于该点的 z 为 0，所以它位于无穷远直线上。因此，我们得出这样的结论，这个方程组并非无解，而是具有无穷远点的解。

总之，作为射影几何学的舞台，欧几里得的平面过于狭窄，所以我们为其打造了无穷远直线这个新的舞台。数学家是非常喜欢用这种方法的。

上文转自图灵新知，节选自《数学与生活》，[日] 远山启。【遇见数学】已获转发许可。

作者：[日] 远山启 译者：逸宁

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