豆瓣9.1分，一本麻省理工博士为小学生写的数学书是怎样的？

麻省理工博士和小学数学似乎八竿子打不着，正如很多人认为小学数学不过是加减乘除、数形结合……

其实，越是基础的东西越难讲清楚，而且正如数学家陈省身先生指出的，把数学讲得干巴巴的，扼杀了孩子好奇心，数学再简单也难了。

为此近些年来，中小学的数学教育引起了世界各国的数学家的广泛关注，美籍华人伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）的《数学家讲解小学数学》正是其中的一本代表作。

伍鸿熙教授是国内外公认的著名数学家，在数学领域有着卓越的贡献。他自1992年起便专注于数学教育，不仅在数学研究上取得了令人瞩目的成就，还致力于将深奥的数学理论普及给广大教师和学生。

伍鸿熙，国际著名微分几何学家,美国加州大学伯克利分校数学教授,美国国家数学教育专家咨询组成员。

会做小学数学题和理解并能够有逻辑有意思地讲述出来完全是两码事，那些声称有数学恐惧症的人往往源自于机械地刷题与缺乏理解的灌输。

看这本书你将体会到数学精确的内在性，学会用精确的语言和精确的推理得到逻辑严密的结论来解决具体问题。正确的数学比不正确的要好教，正如一篇好文章比一篇差文章要容易读。

01

精确性才是数学应有之义

伍鸿熙教授认为，不好的数学是不准确、内容比较孤立的数学，它违背了数学的本质，不利于培养学生的逻辑推理能力。

精确性在整个数学学习中都扮演着举足轻重的角色。它不仅是我们理解数学概念的基石，更是我们解决问题的有力武器。

与精确性的高度要求相伴的是精确定义的重要性，定义是所有推理和讨论的基础。举一个例子，传统授课方式下把分数解释成去分一块饼，或者是看做一个除法的商……然而这些定义都不能令人满意。

当孩子计算55英里的2/3时，不可能把一块饼想象成一条55英里的线段，更何况谁也不知道如何用一块饼除以另一块饼。

正确的教育方法是一开始就定义分数：它是数轴上一个确定集合里的点。一旦我们接受这个定义之后，它将成为今后一切分数讨论的出发点，有关分数的任何问题都需要返回来用定义解释。

其他所有概念都与此类似，例如自然数的带余除法、十进制小数、有理数等。定义完全决定了每个概念都有些什么性质，在这样的数学环境中教学的深远意义是，不管讨论什么问题，学生都能明确地知道自己的立足点所在，他所要学会的知识完全包含在定义中。

数学不是一项观赏性的运动，想学会数学就必须自己动手、亲历亲为。这要求你在掌握了已知概念的定义之后，将与此概念相关的所有事实，按照推理的程序重新编排起来，并追溯到你的出发点。

有人可能会担心，过分强调精确性会削弱数学的直观性和趣味性。然而，事实并非如此。伍鸿熙教授指出，当我们用精确的语言和推理来阐述分数时，学生能够更加清晰地看到分数背后的逻辑结构和数学之美。这种深刻的理解不仅能够激发他们对数学的兴趣和热爱，更能够为他们提供无限的创新空间。

02

推理证明才能够化繁为简

有了精确的定义，我们便能借助逻辑推理，一步步揭开数学的神秘面纱。

比如做分数除法时，为什么除以一个分数等于乘以它的倒数？为什么两个负数之积是一个正数？为什么一个分数可以理解为a÷b？为什么每个分数有且只有一个既约分数?……

你可能会被众多的“为什么”搞得头昏脑胀，推理证明则是解答这些问题的珍贵宝藏。数学从根本上讲是抽象的无形的概念，学生则需要有个可信的人来引导他们拨开抽象的迷雾，当学生看到老师能够脚踏实地地明确给出每一步推导的理由时，他们就会毫不犹豫地信任他。这样，学生便有可能将数学学习下去。

比如0×n=0为什么是成立的，这不应该是一个简单记住的规则。从加法入手，0×4是将4重复加零次。这意味着没有任何4被加到一起，因此结果自然是0。这个解释帮助读者建立了乘法的直观理解，并让他们意识到乘法运算的背后仍然依赖加法的基本逻辑。

比较1058和874的大小时，虽然直觉可以得出结果，但他指出，依赖直觉并非学习数学的好方法。伍教授通过数轴耐心讲解：1058比874大，因为它位于数轴上874的右侧，且大于999。大于号和小于号具有传递性，这是数学中的重要概念。

要让孩子明白，“大于”的定义正是精确地表述了日常生活中“……比……多”的概念。

通过抽象地推理和理解，学生能够看到分数乘法不是具体的物理操作，如“分蛋糕”之类，这为日后的理论阶段打下基础。

推理证明的过程，不仅有助于提升学生的逻辑思维、问题解决能力和批判性思维等关键能力，更使其学会了如何在复杂的信息中抽丝剥茧，找到问题的本质，加深对数学概念的理解并增强其数学素养。

03

数学基础不牢地动山摇

伍鸿熙教授指出，许多时候教师的解释可能对学生起不到任何作用。设想一位教师在给母语非英语的学生上英语课，一个学生问到“huge”是什么意思，教师回答：“enormous”。他是否解释清楚了呢？当然没有！

以此为类比，可以理解数学结构在数学教学中的重要意义。以等价分数为例，一方面，因为等价分数是最基础的知识，所以等价分数的基本事实会在一开始讨论分数时就出现；可是另一方面，分数乘法的概念需要详细地阐述，并且不可能在一开始就讲。

这个例子就是用“神秘的”还未定义的概念（分数乘法）去解释更初等的结论（等价分数的基本事实），显然不符合逻辑。因此，这样的解释是无效的。

由此可见数学结构的重要性：数学语言是有一定等级的，并非随机放在一起的，一旦选定某个课题的某个特定阶段，学习数学的顺序便具有一定的刚性，不可改变。某些概念和技巧必须出现在其他概念和技巧之前，因为逻辑推理要求这么做。

伍鸿熙教授希望通过这本书，帮助读者培养逻辑推理能力和对数学原理的深刻认识，即便在不具备高深数学基础的情况下，也能掌握数学的核心知识。

最终的目标是让读者在掌握小学数学的过程中，感受到思维的严密性和数学推理的乐趣，同时具备应对复杂数学问题的能力。

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数学家讲解小学数学

[美] 伍鸿熙 著 赵洁 林开亮 译

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观点资料来源：《数学家讲解小学数学》

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数学就该这么教、这么学