数学研究者应该发表什么？

我们引入的每个变量 x 都应该被理解为具有某个可能值的集合 X。我们引入的每个函数 f(x) 都应该被理解为行为足够好，因此我们用它做的事情是有意义的。——数学礼仪解放宣言

作者：埃德温·汤普森·杰恩斯

译者：廖海仁

摘自《概率论沉思录》

01我应该发表什么？

萨维奇（Savage，1962）曾经用这个问题表达了他的困惑．无论他选择讨论什么话题，采用什么写作风格，都肯定会因为没有做出不同的选择而受到批评．在这一点上，他并不孤单．我们希望呼吁对个体差异多一点儿宽容．

如果有人想把注意力集中在无限集合、测度论和一般的数学病理学上，他完全有权这样做．他不需要通过列举出相应的应用为之辩护或者为实际应用的缺乏而道歉．正如好久以前我们就已经意识到的那样，抽象数学有其自身的价值．

但是反过来，其他人也拥有同等的权利．如果我们选择专注于数学中那些在实际问题中有用并且我们能够正确地进行重要计算的方面——数学病理学家可能从来没有考虑过——我们可以自由地这样做而无须道歉．

最后，本书对数学层次和深度的选择，目的是让所有读者都能从中提取他们想要的东西．由于那些以挑剔风格为唯一目的的人总是能够这样做，我们的目标是确保那些真诚希望理解其内容的人也可以这样做．因此，我们试图给出令人信服的理由，说明为什么我们提出的想法是“显而易见的”，而我们批评的则不是，只要这样做足够简短，不会打断论证主线．这会不可避免地留下一些空白，部分由大多数章节末尾的评述填补．

在这方面，什么是或不是“显而易见”的问题是两个方向相反的技巧问题．一方面，引入经不起批判的概念——或者贬低那些站得住脚而无可辩驳的概念——的标准方式就是称其为“显而易见的”．

另一方面，对显而易见的简单问题表示严重怀疑，则是将自己的深刻批判能力求全于不具备如此批判能力的其他人的标准技巧．我们试图在这两者之间选择一条中间路线，但是就像萨维奇一样，我们知道无论我们做出什么选择，都会受到其中一种类型读者的批评．

我们要避免一个常见的错误：没有什么比某个领域的作者声称数学严格性“保证了结果的正确性”更可悲的错误了．相反，经验告诉我们，越是专注于表面上的数学严格性，人们对现实世界中前提的有效性就会关注得越少，也就越有可能得出在现实世界中荒谬的最终结论．

02 数学礼仪解放宣言

几年前，我参加了一位刚获得博士学位的年轻数学家的研讨会演讲．我知道，他得出了概率论中的一个了不起的新极限定理．他从一开始就定义他准备使用的集合，但是三块黑板还不够他写完——他一直没有写完集合定义．一小时后，当演讲不得不结束时，我们困惑地走出房间，甚至不知道他的定理是什么．

像庞加莱这样的“19世纪数学家”也许会在几分钟内进入计算的核心，并及时完成证明，指出其后果以供进一步讨论．

这位年轻人不应该受到指责，他只是在做他被教导的“20世纪数学家”必须做的事情．虽然他现在可能已经学会了如何更好地规划自己的演讲，但是肯定仍会浪费自己和他人的大部分时间来背诵 20 世纪数学要求的所有咒语，然后才进入实际问题．他不是遵循了更高、更严格的标准，而是研究了现代数学礼仪的受害者．

现在，如果没有指定某个集合或“空间”X而引入一个变量 x，你就会被指责处理的是一个未定义的问题．如果对一个函数 f(x) 取微分时没有首先说明它是可微的，你就会被指责缺乏严格性．如果注意到函数 f(x) 有一些对具体应用来说很自然的特殊性质，你就会被指责缺乏一般性．换句话说，你所做的每一个陈述都会受到不合礼仪的解释．

显然，如果我们的陈述中没有一些像样的精确标准，就无法传达数学结果．但是，对某种特定形式的精确性和一般性的狂热坚持可能会过头，以致我们不能达到最初的目的．20世纪的数学常常退化为一种无聊的对抗游戏，而不是一种交流过程．

数学礼仪的狂热者根本不试图理解你的实质性信息，而只是试图挑剔你的呈现风格．只要能找到任何这样做的方法，他就会努力将你所说的内容解读为无意义．为了自我防卫，作者们不得不把注意力集中在怎么说上，而不是说什么．而前者通常是细枝末节、不相关、吹毛求疵的东西．这会导致文字长度增加，而内容量减少．

如果我们采取不同的态度，数学交流可能会变得更加有效和愉快．对于对别人写的东西做出有礼貌解释的人来说，引入 x 作为变量这一事实已经暗示存在可能值的集合 X．为什么每次引入变量时都需要重复该话语，从而在只需要一个符号的地方用两个符号？［实际上，值域通常会在重要的地方更清楚地表示出来，方法是在等式后添加 (0 < x < 1) 等条件．］

对于有礼貌的读者来说，作者将 f(x) 微分两次这一事实本身已经意味着他认为它是可微的．为什么要求他把每件事都说两遍？如果他证明命题 A 的一般性足以涵盖他的应用，为什么他必须额外说明不相关的、使 A 为真的最一般的可能条件？

与狂热主义者同样令人讨厌的是他的兄弟——强迫性的数学吹毛求疵者．我们希望作者定义他的术语，然后以与他的定义一致的方式使用它们．但是如果有其他作者曾经使用这个词表示略微不同的含义，吹毛求疵者就会指责他使用不一致的术语．我曾多次遭受这种折磨，我的同事也诉说过同样的经历．

19世纪的数学家并不是不严格，只是理所当然地向他人提供简单的文化礼仪，并期望得到回报．这将导致人们试图解读他人所写内容的意义．这可能是在考虑到全部上下文的情况下完成的．不要将我们对每一本数学著作的阅读都变成对是否偏离官方风格的审判．由于同情这位年轻人的困境，而且不想像他一样被奴役，我们发出以下公告．

《概率论沉思录》

作者：埃德温·汤普森·杰恩斯

译者：廖海仁

著名数学物理学家，圣路易斯华盛顿大学和斯坦福大学教授，统计力学和概率统计推断方面权谋埃德温·汤普森·杰恩斯，40年思想著作；
无数读者苦等15年的概率论神作，英文版豆瓣评分9.4高分；

• 专注于概念的详尽解释，包含大量练习
• 提供大量生活实例和常识的解读
• 讲述概率统计的历史脉络和广泛应用