隐函数4x^66x+11e^41y=17x^58y的导数计算

隐函数4x^66x+11e^41y=17x^58y的导数计算

主要内容：

本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数4x^66x+11e^41y=17x^58y的导数计算的主要过程和步骤。

※.链式求导法

4x^66x+11e^41y=17x^58y,
隐函数变形有：
4e^(66xlnx)+ 11e^41y=17e^(58ylnx)
两边同时求导有：
4e^(66xlnx)*(66lnx+66x/x)+11e^41y*41y'=17e^(58ylnx)*(58y'lnx+58y/x),

264e^(66xlnx)*(lnx+1)+451e^41y*y'=986e^(58ylnx)*(y'lnx+y/x),
y'=[986e^(58ylnx)*y/x-264e^(66xlnx)*(lnx+1)]/[ 451e^41y-986e^(58ylnx)lnx]
=1[986e^(58ylnx)*y/x-264e^(66xlnx)*(lnx+1)]/[451e^41y-986e^(58ylnx)lnx]

=1[986*x^58y*y/x-264*x^66x*(lnx+1)]/([451e^41y-986*x^58ylnx)

=1[986*y*x^(58y-1)-264*x^66x*(lnx+1)]/(451e^41y-986*x^58ylnx)。

※.全微分法求导

隐函数变形为：

4e^(66xlnx)+11e^41y=17e^(58ylnx)，

使用全微分计算法，有：

4e^(66xlnx)*(66lnxdx+66dx)+451*e^41ydy=17e^(58ylnx)*(58lnxdy+58ydx/x)

264*e^(66xlnx)*(lnx+1)dx+451*e^41ydy=986*e^(58ylnx)*lnxdy+986*e^(58ylnx)ydx/x

[451*e^41y-986*e^(58ylnx)*lnx]dy=[986*e^(58ylnx)y/x-264*e^(66xlnx)*(lnx+1)]dx

[451*e^41y-986*x^58y*lnx]dy=[986*yx^(58y-1)- 264*x^66x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[986*yx^(58y-1)-264*x^66x*(lnx+1)]/ [451*e^41y-986*x^58y*lnx]

=1 [986*y*x^(58y-1)-264*x^66x*(lnx+1)]/(451e^41y-986*x^58ylnx)。

※.函数法

设F(x,y)=4x^66x+11e^41y-17x^58y，则F对x,y的偏导数有：

F'x=4e^(66xlnx)*(66lnx+66)-17e^(58ylnx)*58y/x

=264*e^(66xlnx)(lnx+1)-986*x^58y*y/x

=264*x^66x*(lnx+1)-986*y*x^(58y-1),

F'y=451*e^41y-17e^(58ylnx)* 58lnx

=451*e^41y-986*x^58y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y'=-F'x/ F'y

=-[264*x^66x*(lnx+1)- 986*y*x^(58y-1)]/(451*e^41y-986*x^58y*lnx),

=1[986*y*x^(58y-1)-264*x^66x*(lnx+1)]/(451e^41y-986*x^58ylnx)。