数学沃尔夫奖得主伊藤清：数学究竟是一门怎样的学问？

　　伊藤清，沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父。因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等，推动了现代数学的发展。

　　普通人学习数学是为了掌握基本的数学知识和技能，这种级别的数学大师又是如何看待数学的？

　　跟随《世界是概率的：伊藤清的数学思想与方法》，亲临大师演讲现场，从数学发展的历史中理解数学这门学问。

　　作者：[日]伊藤清

　　译者：刘婷婷

　　01

　　数学是一种形式

　　我是伊藤。大学毕业后，我其实先在大藏省工作了一年，之后在内阁统计局工作了四年。在此期间，我参与了一些与保险相关的工作，因此成了精算师协会的预备会员。那时作为概率论的基础，柯尔莫哥洛夫的测度论基础上的概率论盛极一时，大概在1939 年左右，我也在精算师协会介绍过这一理论。五十年后的今天，能再次获得演讲的机会，我深刻感受到了与精算师协会的不解之缘。

　　首先，我想先讲一讲数学究竟是一门怎样的学问。关于数学与物理学的区别，著名数学家赫尔曼·外尔曾说：“物理是一门研究存在的学问，而数学则是一门研究万物存在形式的学问。”我认为这句话中的物理，也可以指代化学、生物学、经济学等数学以外的学科。

　　我以浅显的方式解释一下外尔先生所讲的这句话吧。我们经常接受问卷调查，调查问卷上会设有姓名、住址、出生日期、职业、兴趣等项目。我们称它为调查问卷的格式。我们可以把这个格式看作数学，把被调查者在问卷上填写的内容看作物理学。这里或许将物理学换作实验物理学更为合适。数学物理、数理生物学、保险数学、数理经济学等，广义上都可以算进数学的范畴。

　　前面我也说过，数学是一种形式，或许也可以说是一种模式。要说具体是哪种模式，我认为是逻辑模式。更确切地说，是集合论。关于这一点，我将在后面说明。

　　但是，如果将数学从逻辑的角度看作集合论，那我们只能触及数学的皮与骨，无法将数学的血肉一并概括进去。事实上，数学是伴随着人类的进步不断发展的“生物”，数学的实体便潜藏在这发展之中。因此，我们先来总览一下数学的发展历史吧。

　　02

　　数学成为一门学科

　　根据历史年表，日本从旧石器时代起，经历了绳文、弥生、古坟、奈良、平安等时代，直至现在的平成。中国则经历了夏、商、周、秦、汉、隋、唐、宋等朝代。印度从达罗毗茶文明发展到印度文明，西方则从古埃及文明、美索不达米亚文明、古希腊文明、古罗马文明、阿拉伯文明等发展至现代的欧美诸国。

　　人类历史上初次诞生的数学概念是自然数1、2、3……这些数字的英文是one、two、three、four、five、six、seven等，其中 two 和 three 都以字母 t 开头，four 和 five 以字母 f 开头，six 和seven 以字母 s 开头。即使在这些原始的数学概念中，我们也能找到这种不知该说是规则还是逻辑的规律。日语的数词中也蕴藏着与此全然不同的有趣规则。1（hi）和 2（hu）均以 hB开头，3（mi）和 6（mu）均以 m 开头，4（yo）和 8（ya）均以 y 开头。能够看出，每一组首字母相同的数字的比值都是 1 比 2。使用这种数词的民族极为罕见。

　　据我所知，仅太平洋的某岛有相似的情形。但是，给所有的数字逐一命名委实太过烦琐，因此有了十进制。在十进制诞生之前，美索不达米亚文明还存在着二十进制、十二进制、六十进制等现在被归为计时法、度量衡等的计数方法。十进制虽然在中国已有悠久的历史，但它是由阿拉伯人传入欧洲的。

　　阿拉伯人发明了进位计数制。古代中国虽然使用了十进制，但在书写的时候并没有进位，在表示 151 103 这样的数字时，会将其写成十五万一千一百零三。也就是说，除一到九的基数外，还必须使用十、百、千、万等。若想表示更大的数字，还需要用到亿、兆、京等表示更大数目的词，可谓无穷无尽。若使用进位计数制，只需用阿拉伯数字的 151103 表示即可，简明易懂。这时需要在 1, 2, 3, …, 9 中加入 0 作为基数，这个数字 0 可以说是一大发明。虽然 0 最先出现在印度，但将其应用在进位计数制中使十进制家喻户晓的是阿拉伯人。

　　在阿拉伯的计数制出现很久之前的古埃及文明与美索不达米亚文明中，由于日常生活的需要，诞生了实用数学，用来解决初等算术问题、代数问题和几何问题。从采集经济的时代发展到游牧、农耕时代后，这类实用数学不断发展，可以用来解决天体观测、土地测量、粮食保存计划等问题。在中国，数学也是以同样的方式产生的。

　　进入古希腊时代后，数学才作为一个超越了实用意义的学科体系建立起来，人们开始尝试以论证的精神构筑数学这门学科。其中典型的成果便是欧几里得的《几何原本》。在欧几里得生活的时代（公元前 300 年左右），人们已经了解了勾股定理、相似图形、比例理论和其他几何学知识，应该也在一定程度上思考了这些知识之间的联系。欧几里得就构成平面图形的基本元素，也就是点和直线进行了思考，并尝试从“过两点有且只有一条直线”“两条直线要么平行要么相交”这种无须证明的性质出发推导出图形所有的性质。这是最初被体系化的数学，也标志着数学成为一门学科。现代数学依然沿袭着欧几里得的精神。

　　至于这门伟大的学科为何诞生在古希腊，我一直觉得不可思议，至今也没有找到答案。在欧几里得的时代，古希腊的哲学兴盛异常，注重理性思考，对任何事都讲究追根溯源，试图从本源出发解释其他事物。另外，智者十分活跃，经常相互争论，因此形成了从逻辑角度出发去思考事物的习惯。

　　同一时期的中国正处于以孔子为代表的春秋时代。当时百家争鸣，成为之后中国学问的本源。尽管重视智慧的思想在东西方形成了统一，但以论证为基础的数学最终没能在中国形成。

　　在这之后的古罗马时代，罗马人拟定了法律，铸造了货币，在政治和经济方面飞速发展，但在数学上几乎没有什么成就。阿拉伯人通过经商发展出十进制，为东西方的文化交流做出巨大贡献。但是，他们将欧几里得的以论证为基础的数学精神抛诸脑后，数学沦为了贵族子弟接受教育的必修科目。

　　除了几何学，古希腊人还就数论中的质数和无理数进行了深入思考，但令人不解的是，他们没能想到对实际生活有巨大帮助的十进制。其中缘由恐怕在于数学只有学者才去研究，而他们并没有着眼于实际生活中出现的新的数学事实。即使有关注的想法，在没有工业的农耕社会，我认为也找不到可以给数学家灵感的素材。

　　03

　　新的数学相继诞生

　　之后经过黑暗的中世纪，文艺复兴运动展开，工商业再度兴盛，人们生机勃勃，新的数学在欧洲相继诞生。以文艺复兴为契机，“从根源出发，以逻辑的方式推导出复杂的结论”这一欧几里得几何的精神复活，也对代数产生了影响。韦达（16 世纪）以加减乘除的基本运算法则——交换律、结合律、分配律为起点将代数学体系化，他也因此被称为代数学之父。而后，笛卡儿（17世纪）将平面上的点用两个数字（坐标）来表示，创造出利用代数来研究几何学的新方法。

　　韦达和笛卡儿所处的时代可以算是欧洲数学的摇篮期，在那之后，以无穷、极限、连续和运动为研究对象，数学开始急速发展，直至微积分学的确立这一伟大成就诞生。这一成就萌芽于古希腊时代阿基米德（公元前 3 世纪）思考的如何避免无穷这一问题，而这引发了离散对象与连续对象之间的矛盾。欧洲数学斩断了这一思想上的束缚，踏入了一个更加广阔的世界。契机正是伽利略（16 世纪 ~17 世纪）对天体的研究。

　　详细的情形暂且不谈，我们继续微积分学的话题。当时产生了一些精彩绝伦的观点，比如将曲线看作由“小曲线段（弧）构成，每段弧对应的线段（弦）几乎（按现在的说法，除去高阶无穷小）可以认为是相等的，求出这些小线段长度的和，也就求出了曲线的长度”，还有“运动可以看作无限接近的两个时间点之间的直线运动，将这些直线运动相加，就可以求出有限时间内物体的位移”等。通过微分求出曲线或运动的微小变化，然后将之求和就是积分。在这里非常重要的是，把微分看作直线这一点，现在被称为线性化（linearization）。

　　这一崭新的数学领域叫作微分学（differential calculus），与此相对，在此之前的代数方法被称为有限元分析。与代数方程相对应，微分方程诞生了，它非常适合用来表示物理学新领域中的诸多法则。质点系的牛顿方程、流体力学中的欧拉方程和拉格朗日方程等，都是微分方程。如此一来，数学的内容就变得丰富多样。这就是 17 世纪和 18 世纪的分析学。在那个时代，复数也在形式上被引入，并被有效利用起来。

　　古希腊数学的论证精神，在这个时代的数学发展中也扮演着重要的角色，但分析学没能像欧几里得几何那样形成一个严密的体系。当时的数学家们怀有不安，但还是将直观的、形式上的推论混进理论中，一味地前进着。

　　进入 19 世纪后，高斯用平面上的点表示复数，建立了有关复数的严密理论，柯西根据 ε-δ 定义确立了连续函数的定义等，逐渐巩固了分析学的基础。就这样，数学成果不断涌现，我们甚至可以称19 世纪为数学的黄金时代。对数学的逻辑上的探讨也日益热烈，非欧几里得几何也应运而生。进入 19 世纪末，基于魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人的研究，实数的严密定义才终于诞生。

　　进入 20 世纪后，像欧几里得几何这样严密的体系才在数学的全部分支中实现。这里需要预先强调的是，如果以现代的眼光审视，欧几里得几何绝对称不上完整。但是，从基本要素（点、直线）和与其相关的基本性质（公理）出发去构筑几何学的思想是非常重要的。

　　17 世纪到 19 世纪诞生了无数全新的数学理论。这些理论间具有复杂的关系。对这些理论加以整理，并全部通过基本要素和基本性质推导出来，会让人觉得其难度是建立欧几里得几何所无法比拟的，但其实很简单。整个数学的基本要素是集合，基本性质是集合论的公理这一事实在20 世纪已经被阐明。换句话说，数学从逻辑上来看就是集合的理论。引入集合论的康托尔最初也许并没有想这么多，但从结果来看确是如此。

　　逻辑学中有内包和外延的概念。内包是一种性质，外延则是具有这种性质的事物的集合。将性质 A 和性质 B 的外延记为 A'、B' 的话，从 A 可以推出 B，这表示 A' 包含于 B'（A' ⊂ B'），“A和 B”这个性质的外延是 A' 和 B' 这两个集合的并集（A'∪B'）。关于性质的所有命题都可以用与外延（集合）相关的命题表示。从这一层面去考察数学的性质，其实可以归为对集合的考察。

　　好了，集合论（其实是数学整体）的基本要素就是集合。如果有两个集合，那么 A 要么是 B 集合中的元素（A∈B），要么不是。这就是集合的基本性质。光靠这一点还不能构成数学，我们还需要假设其他几条基本性质（公理）。这些公理之间存在矛盾会比较麻烦，所以人们对此展开了种种探讨，由于专业性太强，我在这里就不介绍相关内容了。大家只需知道，现在这些公理不存在矛盾就可以了。

　　我们将没有元素的集合称为空集（ ∅ ），也可以记作 0。将0 作为元素的集合 {0} 记作 1，将 0 和 1 作为元素的集合 {0，1}记作 2，以此类推，那么 3={0, 1, 2}，4={0, 1, 2, 3}。这样的集合可以通过事先给定的公理得到。这样一来，我们就可以定义自然数（包括 0）了。从这里出发，我们也可以定义负整数、有理数、实数、复数，通过坐标定义二维空间、三维空间和 n 维空间等。代数系（群、环、域）或拓扑空间、可微分集合域、概率空间等现代数学中的基础体系都在集合中加入了结构（structure），这个结构通过映射定义，映射结合图像以集合的形式表现出来。因此，所有数学领域的定义或定理都能在集合论的框架中表现出来，定理的证明也能利用集合论的语言来表述。从这一层面上讲，数学在逻辑上可以说就是集合论了。

　　但是一般的数学书中并不会这样介绍。不过，在对某些推论产生疑问时，只要思路回到集合上，就可以得到答案，能做到这一点的才算得上是数学理论。

　　如果说能回归到集合的内容作为数学理论有存在的价值，那么为了记述科学中的诸多现象而被引入的数学理论，以及引申出来的数学理论也是有价值的，这些理论还能带来从纯粹数学的角度看也很有趣的结论。数学就这样与科学紧密相连。

　　以上便是欧洲数学的发展状况。虽然在中国、印度和阿拉伯，埃及、美索不达米亚的实用风格数学也在蓬勃发展，但基于论证的希腊风格的体系化数学并没能成为主流，与物理学、工学息息相关的微积分学、分析学也没能诞生。