从广义相对论到规范理论（中）

朱庆祺（Vic Zhu） 布朗大学

编者注：由于本文较长，故拆分为三篇发表，本文为第二篇，已发表。后续敬请继续关注中国科学院物理研究所公众号。

以下为全文目录，本部分为第三章。

【目录】

1. 度规，联络与测地线方程

2. 联络及黎曼曲率张量分量在坐标变换下的变换规则

3. 广义相对论与规范理论在数学结构上的相似性

4. 从局域坐标变换不变性出发决定引力相互作用满足的经典运动方程

5. 从局域规范不变性出发决定规范相互作用满足的经典运动方程

在麦克斯韦电磁理论或所谓U(1)阿贝尔规范理论里，可对狄拉克场 做一个局域的U(1)规范变换

它基本可看成是抽象场空间里的内禀相位旋转变换，但这里的相位旋转变换是依赖于时空坐标的。也就是说，不同的时空点可以旋转不同的相位。所以相应地， 的普通导数在该局域U(1)规范变换下将变成

上式右端最后一项的存在导致 的普通导数在局域U(1)规范变换下不具备良好的变换性质（不是纯的内禀相位旋转）

所以与之前广义相对论中的做法类似，我们必须在普通导数里额外添加一个叫作“联络”的修正项 （这个 在物理上就对应电磁势）将其提升成规范协变导数

其中e是U(1)规范理论的耦合参数，物理上对应电荷。我们要求这个新定义出的“导数” —— 场的规范协变导数在局域U(1)规范变换下具备良好的变换性质，即要求其与 场本身具有相同的变换性质（纯的内禀相位旋转）

另一方面，我们可直接利用规范协变导数的定义及之前已求出的 去显式计算 场规范协变导数的结果

上述表达式理应退化到如下公式以使得从两种不同方式出发得出的规范协变导数在局域U(1)规范变换下的变换规律相互自洽，即一个纯的内禀相位旋转

而这一自洽性要求将自动给出之前新引进的“联络”（电磁势）修正项在局域U(1)规范变换下的变换规则

从上式可发现：由于上述方程右端第二项的存在，电磁势联络本身在局域U(1)规范变换下的变换规律并不是一个内禀相位的旋转，而是一个平移变换。且它本身依赖于具体规范条件（比如库伦规范，洛伦兹规范等）的选取，具有某种物理描述上的冗余性。尽管如此，它依然是U(1)规范理论里非常重要的东西，因为以它为基本组件构造出的新的“导数”运算 —— 场的规范协变导数此时在局域U(1)规范变换下具有非常良好的变换性质，即一个纯的内禀相位旋转。为了验证这一点，可将上述得出的电磁势联络的变换规则重新代入局域U(1)规范变换下 场规范协变导数的定义式

从上述验证中不难看出：与普通导数不同的是，经过电磁势联络修正项提升成的规范协变导数确实是个性质良好的算符，在局域U(1)规范变换下 场的规范协变导数只变动一个纯的内禀相位因子。我们在U(1)规范理论中必须采用规范协变导数算符，因为只有它才能保证最终得到的物理方程自动满足局域规范不变性（规范原理）的根本要求！通过恰当的变形和识别，我们也不难得出规范协变导数算符本身在局域U(1)规范变换下的变换规则

这个关于规范协变导数算符本身的极重要的变换性质将在推导电磁场场强张量 （物理上对应电场 和磁场 ）变换性质时被用到。现在有了规范协变导数，电磁场场强张量可由沿两个不同方向 和 间规范协变导数的对易子定义

展开上述对易子

利用定义将规范协变导数表示成普通导数和电磁势联络修正项之和

化简整理后可得电磁场场强张量的表达式

在U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论中，指定 和 后 和 都只是普通的数而已。所以上式最右端的对易子只是两个普通数间的对易子。而因为两个普通数乘积的结果与乘积先后次序无关（即满足乘法交换律），所以对易子的结果自然是0。也就是说，关于电磁势联络非线性（二次）的对易子部分会在麦克斯韦电磁理论中自动消失。由此我们得到电磁场场强张量 的形式

这意味着U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论是个简单的线性理论，它不存在非线性的自相互作用。【值得注意的是：在后续将要讨论的SU(N)非阿贝尔规范理论中， 和 都将从普通的数提升成矩阵。而因为两个矩阵乘积的结果一般与乘积先后次序有关（即一般不满足乘法交换律），所以对易子的结果非零。也就是说，关于规范势联络非线性（二次）的对易子部分将会出现在一般的SU(N)非阿贝尔规范理论中。而这也将意味着SU(N)规范理论不是一个线性理论，它存在着非线性的自相互作用。而这也是为什么它比麦克斯韦电磁理论要复杂得多的原因之一。】当然上述电磁场场强张量 是以紧凑的四维语言表述的，如果我们把 各分量与电场E和磁场B做恰当的对应则可得到如下更为熟悉的以三维语言表述的等价形式

现在有了电磁场场强张量 的具体定义，下面我们来分析其在局域U(1)规范变换下的变换性质。我们有两种方法来做：1). 从 的对易子定义式出发利用规范协变导数算符自身的变换性质来推导 的变换性质；2). 从上述得到的 与电磁势联络间的关系出发利用电磁势联络的变换关系来推导 的变换性质。这两种方法是相互自洽的因为它们最终能给出完全相同的结果。但需要注意的是：尽管第一种方法看上去比第二种方法更加抽象（因为它涉及到规范协变导数算符自身的变换性质），但实际上它是个更加系统的处理问题的方式而且也更加容易推广到更复杂的SU(N)非阿贝尔规范理论的情形。所以我们这里的策略是先介绍第一种方法，然后利用第二种方法进行检验。首先写出以规范协变导数算符对易子所定义的 的表达式

在局域U(1)规范变换下，我们之前已导出过规范协变导数算符自身的变换性质是

把该变换性质代入 的对易子定义式可直接给出电磁场场强张量在局域U(1)规范变换下的变换性质

上述推导意味着电磁场场强张量（即电场和磁场各个分量）具备U(1)规范不变性。下面我们利用第二种方法进行检验：首先写出 与电磁势联络间的关系

在局域U(1)规范变换下，我们之前已导出过电磁势联络的变换性质是

把该变换性质代入 与电磁势联络间的关系式可给出电磁场场强张量在局域U(1)规范变换下的变换性质

不难发现：尽管第二种方法和第一种方法给出完全相同的结果，即电磁场场强张量具备U(1)规范不变性，但第二种方法的计算会稍显冗长。这在后续介绍SU(N)非阿贝尔规范理论场强张量的变换规则时将体现得尤为明显。接下来我们将上述控制电磁场的U(1)阿贝尔规范群推广到更一般的SU(N)非阿贝尔规范群，所描述的场论也将相应地从结构相对简单的阿贝尔规范场/电磁场推广到结构更为复杂的非阿贝尔规范场，也被叫作“杨-米尔斯理论”。历史上，杨振宁（C.N. Yang）和罗伯特·米尔斯（R.L. Mills）在1954年的文章“Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”中首次提出了该理论

与U(1)不同的是，此时狄拉克场 将拥有多个分量，比如在SU(2)情形下 将拥有两个分量，在SU(3)情形下 将拥有三个分量。在局域SU(N)规范变换下， 的变换规则是

注意上述U是个矩阵而不是普通的（复）数。 是规范群/李群SU(N)对应李代数的生成元，它们可以看成是李代数所张成的 维抽象矢量空间的一组完备基底，满足

其中 叫作该李群所对应李代数的“结构常数”，它基本刻画了一个给定李群/李代数最关键的代数结构及性质。比如SU(2)规范群所对应李代数的结构常数 是我们早就熟知的具有全反对称性质的列维-奇维塔符号 。所以结构常数可视为是列维-奇维塔符号在更一般的李代数上的推广。为直观起见，我们不妨以SU(2)和SU(3)规范群为例，显式列出它们所对应的李代数维度，李代数生成元在基本表示下的矩阵形式，正交性关系及结构常数

从物理上看，局域SU(N)规范变换可视为一个更高维（ 维）抽象场空间里的内禀相位旋转变换，且该相位旋转变换是依赖于时空坐标的。也就是说，不同的时空点可以旋转不同的相位。所以相应地， 的普通导数在该局域SU(N)规范变换下将变成

上式右端最后一项的存在导致 的普通导数在局域SU(N)规范变换下不具备良好的变换性质（不是纯的高维抽象场空间里的内禀相位旋转）

所以与之前U(1)阿贝尔规范理论及广义相对论中的做法类似，我们必须在普通导数里额外添加一个叫作“联络”的修正项 （这个 在物理上就对应规范势）将其提升成规范协变导数

其中g是SU(N)非阿贝尔规范理论的耦合参数。值得注意的是：与之前U(1)阿贝尔规范理论不同，这里新引进的规范势联络 ，即

在给定下标 以后是个矩阵而不是像电磁势分量那样只是普通的数。而矩阵与普通数之间最大的差别是：普通数满足乘法交换律，而矩阵一般不满足乘法交换律！这一巨大的数学性质上的差异所带来的复杂性将在后续的计算和讨论中得以清晰的展现。我们下面要求新定义出的“导数”—— 场的规范协变导数在局域SU(N)规范变换下具备良好的变换性质，即要求其与 场本身具有相同的变换性质（纯的高维抽象场空间里的内禀相位旋转）

另一方面，我们可以直接利用规范协变导数的定义及之前已求出的 去显式计算 场规范协变导数的结果

上述表达式理应退化到如下公式以使得从两种不同方式出发得出的规范协变导数在局域SU(N)规范变换下的变换规律相互自洽，即一个纯的高维抽象场空间里的内禀相位旋转

而这一自洽性要求将自动给出之前新引进的“联络”（规范势）修正项在局域SU(N)规范变换下的变换规则

注意在上述方程的推导中我们已经隐含地使用了SU(N)规范群的基本性质，即

所以我们最终得到非阿贝尔规范势联络在局域SU(N)规范变换下的变换性质是

基于以上规范势联络的变换性质，容易验证以其为基本组件构造出的新的“导数”运算 —— 场的规范协变导数此时在局域SU(N)规范变换下具有非常良好的变换性质，即一个纯的高维抽象场空间里的内禀相位旋转。为了使读者信服这一点，可将上述得出的规范势联络的变换规则重新代入局域SU(N)规范变换下 场规范协变导数的定义式

从上述验证中不难看出：与普通导数不同的是，经过规范势联络修正项提升成的规范协变导数确实是个性质良好的算符，在局域SU(N)规范变换下 场的规范协变导数只变动一个纯的高维抽象场空间里的内禀相位。我们在SU(N)规范理论中必须采用规范协变导数算符，因为只有它才能保证最终得到的物理方程自动满足局域规范不变性（规范原理）的根本要求！通过恰当的变形和识别，我们也不难得出规范协变导数算符本身在局域SU(N)规范变换下的变换规则

这个关于规范协变导数算符本身的极重要的变换性质将在推导场强张量 变换性质时被用到。现在有了规范协变导数，SU(N)非阿贝尔规范场的场强张量可由沿两个不同方向 和 间规范协变导数的对易子定义

展开上述对易子

利用定义将规范协变导数表示成普通导数和规范势联络修正项之和

化简整理后可得SU(N)非阿贝尔规范场场强张量的表达式

尽管数学形式上看起来非常相似，但与U(1)阿贝尔规范理论不同的是：在给定下标 和 以后，上述方程是个矩阵方程；且由于矩阵一般不满足乘法交换律，所以方程最右端的对易子非零。我们可利用规范群SU(N)所对应李代数生成元间的代数关系将上述矩阵方程约化成等价的分量形式

上述关于SU(N)非阿贝尔规范场场强张量分量的方程右端除了含有规范势联络的线性项，还同时含有规范势联络的非线性项（二次项）。这意味着SU(N)非阿贝尔规范理论与广义相对论一样是个非线性理论，存在着非线性的自相互作用。也正是这一特点也使得其后续的分析和处理难度远高于U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论。现在有了非阿贝尔规范场场强张量 的具体定义，下面我们来分析其在局域SU(N)规范变换下的变换性质。与之前处理电磁场场强张量变换性质的逻辑类似，我们仍有两种方法来做：1). 从 的对易子定义式出发利用规范协变导数算符自身的变换性质来推导 的变换性质；2). 从之前得出的 与规范势联络间的关系出发利用规范势联络的变换关系来推导 的变换性质。这两种方法是相互自洽的因为它们最终能给出完全相同的结果。但需要注意的是：尽管第一种方法看上去比第二种方法更加抽象（因为它涉及到规范协变导数算符自身的变换性质），但实际上它是个更加系统的处理问题的方式且针对当前所讨论的SU(N)非阿贝尔规范理论的情形计算更加简便。所以我们这里的策略是先介绍第一种方法，然后利用第二种方法进行检验。首先写出以规范协变导数算符对易子所定义的 表达式

在局域SU(N)规范变换下，我们之前已导出过规范协变导数算符自身的变换性质是

把该变换性质代入 的对易子定义式可直接给出非阿贝尔规范场场强张量在局域SU(N)规范变换下的变换性质

上述方程基本上表示在局域SU(N)规范变换下， 与 间会相差一个相似变换。因为U， ， 三者都是矩阵，一般不满足乘法交换律，所以它们并不能像之前碰到的U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论情形那样随意交换先后次序。所以这意味着与U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论不同的是，在SU(N)非阿贝尔规范理论里场强张量并不具备规范不变性。下面我们利用第二种方法进行检验：首先写出 与规范势联络间的关系

在局域SU(N)规范变换下，我们之前已导出过规范势联络的变换性质是

把该变换性质代入 与规范势联络间的关系式可给出非阿贝尔规范场场强张量在局域SU(N)规范变换下的变换性质

注意到我们可利用如下SU(N)规范群的基本性质化简上述极度繁杂的表达式

对上述矩阵方程两端同时微分给出

这里需要使用的技巧是将上述关于U 和 间的关系重新代回之前计算出的关于 极度繁杂的表达式中。于是 中的很多项会奇迹般地相互抵消并最终给出一个非常简洁的表达式

上述方程基本上表示在局域SU(N)规范变换下， 与 间会相差一个相似变换。所以与U(1)阿贝尔规范理论/麦克斯韦电磁理论不同的是，在SU(N)非阿贝尔规范理论中场强张量并不具备规范不变性

从上述推导中不难发现：尽管第二种方法和第一种方法给出完全相同的结果，但可明显感受到第一种方法比第二种方法在计算上简洁不少。最后为了便于读者更直观地比较广义相对论，U(1)阿贝尔规范理论及SU(N)非阿贝尔规范理论间数学结构的相似性及差异性，我们将之前导出的一些关键公式和结论做了如下总结

最后值得一提的是：上述物理上规范场的结构其实与现代微分几何及纤维丛理论有着密不可分的关系。感兴趣的读者可适当参考杨振宁（C.N. Yang）和吴大峻（T.T. Wu）1975年的文章“Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”

该文章第一次准确地指出了如下列表所示的规范场与纤维丛理论间的对应关系。这一对应关系的提出重新联姻了理论物理与纯数学，并通过后续迈克尔·阿蒂亚（M.F. Atiyah），奈杰尔·希钦（N.J. Hitchin），伊萨多·辛格（I.M. Singer）等人的发展极大程度上启发了现代理论物理和数学物理领域的发展

编辑：穆梓

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