周朝“宇宙模型”：如何算出日高8万里，宇宙直径81万里？

中国最古老的天文学和数学著作——周髀算经记载：“从此以上至日，则八万里。冬至昼，夏至夜。差数及日光所还观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。从周南至日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里。”

也就是说，古人算出太阳距地高度为8万里，宇宙（四极）直径为81万里，宇宙周长为243万里，南至日照处30.2万里，北至日照处50.8万里，已经建立了一套数据上的“宇宙模型”。

问题在于：古人没有高深的数学与天文知识，且“天不可阶而升，地不可将尺寸而度”，那么如何算出日高8万里、宇宙直径81万里、宇宙周长243万里？

古人的量天尺

中国人向来提倡“活学活用”，而测量大地、天体、宇宙，就是对勾股定理的活学活用。

在周髀算经中，商高指出“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”，其中“矩”是直角尺子，补一斜边就变成直角三角形。商高认为，以“矩”可测高、深、远、圆、方等。

具体测量方法，就是测得一边，然后套用勾三股四弦五，即可算出其他两边长度。比如，想要测量一山高，需要“偃矩”，就是“弦”的两个点与山峰处于同一直线，从直角点步行至山脚，最终根据勾股定理大致换算出山高步距。

问题在于，测量山高、谷深、河宽等等，可以步行求得一边，但测量宇宙天体时，所谓“天不可阶而升”，那么古人会如何测量呢？其实，古人在漫长的立表测影中，掌握了一把“量天尺”。

周髀算经记载：“日中立杆测影，此一者，天道之数。周髀长八尺， 夏至之日日晷一尺六寸。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸，日益表南，晷日益长。”因此，通过长期不同地点的立表测影，古人发现相同时间的不同地点影长不一，最终总结出“影差一寸、地差千里”。

当然，这个数据不准确，南北朝时已有人提出异议，唐僧“一行”后来主持测量，得出了更精确的结论，此话题与本文无关，暂且不谈，有兴趣的朋友可以查阅。

掌握“量天尺”后，古人就能通过“影长”测量天体、宇宙，并建立宇宙模型，最终基于数据提出“盖天说”。

如何测量宇宙

谈及测量宇宙之前 ，先要强调一件事，就是先秦古人眼里的大地是平的。他们不会想到地球是圆的，因为如果地圆，就必然要思考“人为何不掉下去”，也会缺乏“安全感”，时代的局限性让他们也不会想象地圆。西方古希腊时的地圆说历史，真不太可信。

在此基础之上，掌握量天尺后，太阳高度测量就变得非常简单。因为，“夏至之日日晷一尺六寸，正南千里，勾一尺五寸”，越往南走，影长越短，最终到“髀无影”之处，两者距离是1000里乘以16寸，就是1.6万里。“髀无影”之处、太阳、“夏至之日日晷一尺六寸”之处，三者构成一个直角三角形，由此可以算出太阳高度。

当然，因为勾三股四弦五的原因，用1.6万公里不好直接套用，古人要等到“侯勾六尺”，影长六尺时计算出“从髀至日下六万里，而髀无影”，据此套用勾三股四弦五可知太阳高度为8万里，“邪至日”就是10万里。

相比计算太阳高度，计算宇宙长度就要复杂多了，由于涉及先秦天文认知过于复杂，接下来只能简而述之：

首先，北极星处于地轴延长线上，周髀算经认为一切日月星辰都围绕北极星做圆周运动，西方过去提出“地心说”或“日心说”，中国先秦时是“北极星中心说”。根据“立表八尺以望极，其勾一丈三尺”计算，观测点——周地到北极星的距离为10.3万里。

其次，下图是周髀算经的宇宙模型范围，其中的夏至、春秋分、冬至太阳运行图，这是古人认为周日运动一年中有三条道路，始于5000年前红山文化牛河梁遗址，如今北京天坛周围三寰源于此。将之再三等分，就变成七个同心圆，即七衡六间，太阳运行周期被分为六段，一个来回周期就是12份，这是中国古代一年12月的来历，不是根据月亮而来。

第三，周地到北极星为10.3万里，到夏至日为1.6万里，两者相加，夏至日到北极星距离为11.9万里。根据冬至日影一丈五尺，周地到冬至日的距离为13.5万里，如此减去周地到夏至日的1.6万里，还是等于11.9万里，春秋分点到夏至日、冬至日的距离为5.95万里。

第四，周髀算经认为太阳所能照射的范围即宇宙的范围。太阳围绕北极星运动，导致北极星周围会产生极昼极夜现象，即“璇玑”，古人计算出璇玑直径2.3万里，半径就是1.15万里。春秋分时，太阳正好照射到极地，于是太阳所能照射的范围是11.9+5.95减1.15=16.7万里。

因此，想要判断宇宙直径，就要选择冬至日的时候，此时太阳距离北极星最远，距离宇宙边缘最近。根据上图的数据，宇宙半径即为：冬至日到北极星的距离11.9+11.9=23.8，再加上太阳照射的距离16.7，两者合计为40.5万里。于是，宇宙直径即为81万里，是“南至日照处30.2万里，北至日照处50.8万里”之和。

周髀算经中有“周三径一”的说法，周长是直径三倍，所以宇宙周长就为81乘3等于243万里。关于圆周率，中国人是逐步探索，由粗陋到越来越精确，比西方的更符合唯物主义认识论，南北朝时祖冲之在圆周率上有巨大贡献。

最后，关于本文话题，还有两点值得思考：

首先，中国商周、乃至更早时的“盖天说”，不是拍脑袋，根据感觉而来，而是通过漫长天文观测，以及诸多计算得来，尤其以不如今天小学生的数学知识，建立了一个完整的“宇宙模型”，甚至还计算出一年为365天又四分之一（即“四分历”）等，足见中国古人智慧。

其次，基于漫长观测与计算而建立的“宇宙模型”，还指出“周在天中南十万三千里”，即客观认识到周人不在宇宙中心。对于这些，如今看来虽然错误百出，但这何尝不是科学探索，不是科学精神的体现？某些学者张口就声称中国古代无科学，只能说非蠢即坏。

参考资料：《周髀算经》、《曹慧奇—— <周髀算经> 从数学看先秦的天文观及地中问题》等