如果要举一条数学中最重要的定理，非它莫属

如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用什么东西作为我们之间的媒介？带幅画去吧，那边风景殊，不了解；带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去：一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）。——华罗庚

勾股定理不仅是一条历史悠久的古老定理，而且是一条用处十分广泛的定理。对于中国传统数学而言，它更是一大法宝。

在我国，《九章算术》“勾股”章中包括了极其丰富的有关勾股定理应用的内容。这一章中共包括 24 个问题，内容可分 4 类。

第一类（第 1 题～第 13 题）是直接利用勾股定理解决的应用问题，涉及的内容是勾股互求。自然，最简单的是已知勾、股、弦三者中的两个，求另一个。根据书中给出的“勾股术”（勾股各自乘，并而开方除之，即弦），这是很容易解决的。复杂些的问题涉及已知勾股形三边中二者的和差等条件，求各未知边。比如书中第 12 题：“有一门户不知高、宽，有人持一竹竿，不知长短，横着出门，长了 4 尺，竖着出门，长了 2 尺，斜着恰好能出门。问门的高、宽、斜各多少？”如果把门户的高、宽、斜分别作为勾、股、弦，那么这道题就相当于已知弦勾差 c-a 、弦股差 c-b ，求勾、股、弦的问题。书中给出了算法，用现在的符号可表示为：

书中还有许多这类勾股互求的趣题，如第 6 题“引葭赴岸问题”（今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？）、第 13 题“折竹问题”（今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？），都是有名的历史趣题。更有意味的是，与这两题完全类似的问题后来曾在许多国家出现，如印度莲花问题实际上就可看作“引葭赴岸问题”的改写。

自《九章算术》问世后，我国古代许多数学家还对勾股互求问题作了进一步的研究与拓展。人们陆续引入 a±b±c 、c±(b−a) 、½ab 等项，得到更多的基本类型，并对这些新的类型加以研究，提出相应公式或算法。从本质上说，这些公式和算法都是勾股定理的推广。因而，我们可以把这一整套围绕勾股定理的算法或公式称为勾股算术。

第二类（第 14 题）涉及勾股数，我们后面再做介绍。

第三类（第 15 题、第 16 题）是勾股容方和容圆问题。勾股容方问题是：“已知勾股形勾 5 步，股 12 步，问所容正方形边长是多少？”勾股容圆问题是：“已知勾股形勾 8 步，股 15 步，问其中容圆之径多少？”勾股容圆在宋元时代成为重要的研究课题。人们考虑了各种容圆问题。元朝数学家李冶在《测圆海镜》中给出 10 种容圆关系，使之成为一部专论此主题的名著。

第四类（第 17 题～第 24 题）是利用相似勾股形对应边成比例的关系解决的测量问题。

我国传统三角学中没有角的概念，没有角的度量，也没有与此相关的平行性与相似性理论。事实上，我国古代三角学是以勾股定理为基础的勾股计算理论，及以勾股比率为基础的测量理论。在我国，“勾股”章中这最后几题最早系统地论述了勾股计算与勾股测量理论。后世的一些数学家在此基础上，又对勾股测量方法作了进一步发展。

通过上面稍显繁琐的介绍，我们可以一窥勾股定理在我国传统数学中所占有的独特地位。事实上，勾股定理是我国 2000 多年来数学发展的一个重要的生长点。中国数学中的许多精髓，追根溯源都与勾股定理有这样或那样的关系。尤其是中国式几何学，更是以勾股定理及其应用为核心。

通过我国清朝著名数学家梅文鼎（1633—1721）的几段话，我们可以进一步体会这点。他在第一部数学著作《方程论》中写道：“数学一也，分之则有度有数；度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股。”其中的量法指的是几何学。这段话强调了直角三角形的有关性质和算法在中国式几何学中的位置。

在《几何通解》中他又写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者，以勾股释之则明。……信古《九章》之义，包举无方。”《勾股举隅》中又说：“勾股之用，于是乎神。言测量至西术详矣。究不能外勾股以立算，故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也。”当西方几何学传入后，梅文鼎错误地认为西方几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西。但如他所指出的，要想搞清中国古代几何学的原貌，就得从勾股定理及勾股形的有关性质谈起，这是不错的。

当然，勾股定理不仅仅对中国传统数学如此重要。实际上，勾股定理与它的推论、推广，除在现实世界中有着广泛的应用外，还在数学理论的发展中发挥着极其重要的作用。

在平面几何中，这个美妙、著名且有用的定理像一颗明珠，光彩夺目。天文学家开普勒曾把它喻为几何定理中的“黄金”，应该说，勾股定理受之无愧！不仅如此，更重要的是，勾股定理作为一条十分重要而又很著名的数学基本定理，还深入到数学的许多分支中，数学中的许多公式和命题都是由它推导出来，或是建立在它的基础之上的。

可以说，在数学上，勾股定理曾经是并且至今仍是贯穿许多数学领域的一个不可缺少的工具。如果要举一条数学中最重要的定理，恐怕非它莫属。以下趣闻可为佐证。

1955 年，希腊为了纪念 2500 年前古希腊在勾股定理上的贡献发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成（如图 1-2 所示）。

1971 年，尼加拉瓜政府发行了名为“世界上最重要的 10 个数学公式”的一套邮票，各枚邮票的插图上都印有选定的公式，邮票的背面简略说明了该公式的重要性。

这套邮票中的第二张就是勾股定理（如图 1-3 所示）。

我国著名数学家华罗庚还曾想到将勾股定理作为与外星文明进行第一次谈话的语言。在“数学的用场和发展”一文中他写道：“如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用什么东西作为我们之间的媒介？带幅画去吧，那边风景殊，不了解；带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去：一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）。”

由此可见，勾股定理受到人们何等的偏爱，又在人们心目中居于何等重要的位置了。

上文转自图灵新知，节选自《数学悖论与三次数学危机》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：韩雪涛

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