数形结合解分段——2024年荆州四月调考第24题

数形结合解分段

2024年荆州四月调考第24题

近期各地的四月调考卷纷纷出炉，命题质量都比较高，都在各自教学导向上对2024年省考进行了模拟，从压轴题命题角度，可以看出已经超越了元调框架，并结合往年自身的特点进行了“预测”。

2024年荆州四月调考，整卷命题质量高，尤其是在压轴题中坚持考察分段函数，值得学习。

题目

如图，已知经过点A(-2,0)和B(x,0)(x>-2)的抛物线y=-1/4x²+1/2mx+n(m>0)与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.

(1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标；

(2)设直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接CF，DF，∠CFD=90°，求m的值；

(3)若在(2)的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线CD的距离分别是d1，d2，且d=d1-d2，①求d关于t的函数解析式；②当0

解析：

01

(1)将点A坐标代入抛物线解析式中，得0=-1-m+n，所以n=m+1；

由CD∥x轴，可知点D与点C关于抛物线对称轴对称，不妨将抛物线解析式化为顶点式，y=-1/4(x-m)²+1/4m²+m+1，可知对称轴为x=m，因此点D横坐标为2m，纵坐标与点C相同，为m+1，所以D(2m,m+1)；

02

(2)仍然由抛物线的轴对称性，CF=DF，且∠CFD=90°，所以得到等腰Rt△CDF，其中对称轴与斜边CD交点为G，如下图：

FG是直角三角形斜边上的中线，由此可得FG=1/2CD=m，而CE=1/2OC=(m+1)/2，由CE=FG可列方程m=(m+1)/2，解得m=1；

03

(3)①在m=1的条件下，抛物线解析式为y=-1/4x²+1/2x+2，化为顶点式为y=-1/4(x-1)²+9/4，对于点Q，不妨设它坐标为(t,-1/4t²+1/2t+2)，题目描述中，它在y轴右侧，涉及到两个距离，其一是点Q到抛物线对称轴的距离d1，其二是点Q到直线CD的距离d2，因此需要考虑点Q在不同位置下，距离的表示不同，所以需要分类讨论：

Q在对称轴左侧
Q在对称轴右侧
CD上方
CD下方
CD上方
CD下方

由于点C在y轴上，因此只剩下三类需要讨论，分别对应的t范围是0 2，下面我们分别来写d关于t的函数解析式：

②对于分段函数的图象，学生作图要求比较高，由于是草图，首先要能分别绘制每一段函数图象，并确定各自的自变量范围，其次要明确分界点(线)，最后是求出各函数分支与x轴、直线y=1的交点；

在0

在1

在t>2范围内，d=-1/4t²+3/2t-1与x轴的交点是(3+√5,0)，与y=1交点为(2,0)，(4,0)；

依据上述信息作草图如下：

请注意，d≠0，但d可以是1，因此，满足0

解题反思

对于二次函数的教学要求，我们先来读新课标，如下图：

作为二次函数压轴题，无论难度如何，都是按课标要求命题，本题也不例外。其中针对画函数图象，很多老师也在平时教学中注重课堂上学生的动手操作，但依然存在面对本题第3问，作图出现困难，这个教学上的问题如何解决？

在张钦博士工作室系列研题视频中，至少有10位以上的老师在反思中提到了学生作图，也不止一次提到了平时教学中要多让学生作图，只是个人认为，似乎还缺少了一点什么。这道题我给自已班学生也做过，并且站在部分学生旁边看着他们作图，经过观察之后，才发现作图能力的培养，并不是简单的“多画”就能解决，单纯的时间累加，并不能促进学生作图能力的成长，关键在于对函数概念和图象的深刻理解。

作图之前必先算，这是原则，这个所谓算，包括特殊点坐标、特殊线段长、特殊解析式等，而是否“特殊”则依赖于对函数概念的理解，例如顶点、坐标轴上的交点等。

我想起曾经课堂上的某个片段，关于函数概念：

函数是研究两个变量间的关系，那什么是变量间的关系？我们列举一个最容易理解的例子，你手里有一个糖盒，我手里也有一个，并且我的糖果数量始终是你的2倍，这就建立了一种关系，将你我手中的糖果分别作为两个变量x、y，则y=2x则是它们之间的关系，这就是一种函数关系；

生活中的实例可以有很多，关键是用函数去理解它们，你得想到用它，这和我们多次研题时，总是在探讨学生如何想到如出一辙，所以我们才不断研究课堂、研究教材、研究学生等。

因此，在画函数图象之前，不妨先让学生想一下，估一下，你的图可能画成什么样？打个样在旁边，再正式开始画，当你按列表、描点、连线的规范步骤完成之后，再和旁边打的样对比，这个过程就是培养作图思维的过程。其实作为老师用几何画板用图，本质是一样的，我自已解题，也是徒手作图，然后才到电脑上去作图，去验证一些徒手完成不了的步骤。

关于分段函数，新课标中也有它的例题，如下图：

对于每个界点，我们需要明确它的实际意义，而在本题中，也是同样的要求，分段函数的分支中是一次函数、二次函数或反比例函数，都可以用于命题。

上图中有一句话颇有深意，“在许多情况下，有效的教学不仅能从条件推演结果，也可从结果想象条件。”达到这个层次，我觉得函数就学得不错了。