三点定抛物线秒杀选择压轴题

三点定抛物线秒杀选择压轴题

我们在学习确定抛物线解析式的时候，通常是给出不共线三点坐标，分别代入抛物线解析式中求各参数，在这节课的变式训练中，我们将三个点的条件改编成不同形态，以期让学生熟悉这种方法，以上是传统课堂教学设计，没问题，中规中矩。

直到，下面这道题的出现，仍然是考这个知识点，又该如何应对呢？

题目

设函数y=a(x-h)²+k(a,h,k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1；当x=8时，y=8，则下面命题成立的是（ ）

A.若h=4，则a<0 B.若h=5，则a>0

C.若h=6，则a<0 D.若h=7，则a>0

解析：

先说秒杀法，数形结合大法！

函数经过点A(1,1)和B(8,8)；

按选项A的描述，对称轴为x=4，不妨将其中点A的对称点作出来，为A'(7,1)，如下图：

显然经过A、A'、B三点的抛物线开口向上，则a>0，选项A错误；

按选项B的描述，对称轴为x=5，仍然作出点A关于对称轴的对称点A'(9,1)，如下图：

显然经过A、A'、B三点的抛物线开口向下，则a<0，选项B错误；

秒杀大法再次进化，经过三个定点，完全可以求出抛物线解析式，然而对于一道选择题，只要求得到开口方向，这个法子还是嫌麻烦，我们再认真观察图象，点A关于对称轴x=h的对称点A'，线段AA'所对应的横坐标范围，点B横坐标是否在这个范围内，再看抛物线开口方向，应该能得到技巧了。

只要确定了线段AA'的位置，当点B在线段AA'范围“内”，则开口向下，当点B在线段AA'范围“外”，则开口向上；

按选项C的描述，对称轴为x=6，点A'(11,0)，点B在范围“内”，则开口向下，a<0，选项C正确；

按选项D的描述，对称轴为x=7，点A'(13，0)，点B在范围“内”，则开口向下，a<0，选项D错误；

顺便说一下比较“笨”一点的方法，毕竟上面的数形结合并不是多数学生能够想到的，看到点坐标，至少能代入到解析式中，也算一条路；

将点(1,1)和(8,8)分别代入函数解析式中，得到

a(1-h)²+k=1和a(8-h)²+k=8

将上面两式相减，得

a[(1-h)²-(8-h)²]=-7

a(9-2h)(-7)=-7

a(9-2h)=1

当9-2h>0即h<4.5时，a>0；当9-2h<0即h>4.5时，a<0；

据此来判断下面四个选项中，唯有选项C正确.

解题反思

写完本题之后，再次回想我们在这节新课时的教学设计，是不是缺了点什么？

这节课通常是待定系数法的舞台，因此我们需要思考，教学中学生要达到什么样的认知程度，在未来可以秒掉今天这道题？我们当然不会指望一节课之后，学生就具备这种能力，只是要在45分钟内埋下一颗种子，一颗思维的种子，经过一段时间数学学习的滋润，它能破土而出。

其实对于选择题和填空题，会存在一种较为取巧的方法，但这种巧，是建立在对数学概念和基本方法的深刻理解之上，脱离了这个基础，盲目追求秒杀解法，是本末倒置。

那么，在前面这节课中，我们需要的，可能并不仅仅是几道变式题，而是要通过这节课，在学生脑子里留下：抛物线确定究竟依靠哪些参数，每个参数对抛物线有哪些影响，抛物线形状的每一点变化，是哪个参数变化引起的；读题时就要思考，题目中这个条件是针对抛物线哪个参数的，会影响抛物线形状吗？等等

这些问题可以通过不同方式呈现给学生，可以是习题，可以是课堂活动，甚至可以是课外活动，只有多角度、多层次展现数学概念，学生才有可能理解得更深刻。