所谓的数学进步，到底是怎么一回事？

数学这个学科对于新的发现一直都是很开放的。在“科学的常规发展”期，新的发现是在既有结果的基础上一点一滴地增添新的见解和知识，而在“范式转型”期，那就需要彻底打破之前所获得的知识见解和方法论，从全新的角度出发来重新建构新的知识，数学就是这么一种情况。如果你一直用学校里教的那些看起来像是“结束了”的数学来看待数学的话，那就很难相信数学里也会不断产生新的东西，以及数学也是不断进步的学科。但在历史长河中，数学里确实发生了各种各样的进步，某些时候甚至还创造出了一个全新的思维框架。

数学和其他众多学科一样，也是一点一滴从基础开始慢慢积累，逐渐形成一个学术体系的。所以说，在数学上，所谓的学术进步与发展，也是在其过往的积累之上，进一步构筑新事物的一项事业。就像牛顿曾经说过的那样，如果说“我”看得比别人更远些，那是因为“我”站在巨人的肩膀上。

话又说回来，在过去积累的基础上再增添新的东西，在理解这样的表达方式的时候，有些地方是需要特别注意的。把现代数学想象成摩天大楼那样一层一层构筑起来的样子，这个想法肯定是不对的。因为“积累”这个词在这里其实包含着非常多的含义。

举例来说，在数学中有初等几何学这么一个分支。这是一门使用直线、三角形、圆之类的工具来研究几何图形的各种性质的数学分支。读者中，应该有很多人在初中或高中时就学过与这类图形有关的数学知识。此分支也是我们学习“证明”这个数学中的特有技术的良好素材，但反过来，“证明”这个东西又像是一个魔鬼，给许多人留下了关于数学的不太好的回忆。

初等几何学也经常被称为“欧几里得几何学”，它是从古希腊就已经开始研究的几何学。从这个意义上来说，它是一个非常古老的数学分支。这样说的话，欧几里得几何学应该一直延续到了现代数学之中，并在数学的逐层积累的过程中处于非常基础的位置，而数学的发展就应该是在它之上一层一层地积累新的发现和新的想法，最终发展到了今天这样的程度，估计有些人会这么想。当然，这个说法总体上来说是没有问题的，因为像欧几里得几何学这样基础性的几何学，毫无疑问就是后来出现的各种各样的数学理论的基础。

但是从另一方面来说，欧几里得几何学这门学问本身已经是一个“结束了”的东西，今天已经很少有人再对它进行专门的研究了。需要注意的是，我们这里所说的“结束了”并不意味着，它在历史上的某个时刻已经被人研究完，因而不再有什么需要进一步研究的东西了。这里的意思简单来说就是，基于某种合理的原因，人们觉得在这个领域已经不再需要追求进步了，目标已经在相当程度上达成了，主要结果也都出来了，再往前走的话也就是清扫一下边边角角之类的事情。与其说这是数学上的问题，倒不如说是人类兴趣方面的问题。因此，在这里，我们也绝对不能说，欧几里得几何学已经在古代的某个时期结束了。

实际上，在欧几里得几何学中也有许多事实是古代人并不知道，直到很久以后才被人发现的，这在历史长河中已经发生过很多次了。比较著名的事例有，18 世纪末，年轻的高斯就发现了正 17 边形是可以用直尺和圆规作出的。

然而，这些研究并不是在与古代几何研究相同的背景条件下进行的。也就是说，我们并不能说，从古希腊到 18 世纪末这段很长的时间里，欧几里得几何学一直在同一个范式中不断发展，并且正是在这种连续的积累下，高斯又加进了他的新发现。实际上，作为一个活跃的研究主题，初等几何学在古代就已经“结束了”。也因为这样，如果你仅仅从初等几何学或者初中和高中学过的其他一些已经结束了的数学分支的角度来观察数学，进而对整个数学形成自己的想法的话，那就很难了解到数学其实是一直处在进步之中的，而这种想法也不无道理。

那么，“新”的数学会以什么形式产生呢？数学是怎样“进步”的呢？就像 Thomas Kuhn 所说的，其产生一般会有两种形式，一种是在“科学的常规发展”中通过连续地积累而产生新事物，另一种则是通过“范式转型”而产生新事物。

举例来说，笛卡儿是以引入了坐标系并创立解析几何学而闻名于世的，这种新事物就产生于上述第 2 种情况。也就是说，它是与范式转型相对应的一种进步。通过笛卡儿所开创的这个新的数学范式，确实也能够在古典的欧几里得几何学中得到很多新的结果，但这已经不能算是古代数学所开创的欧几里得几何学了。

更进一步地说，笛卡儿的理论并不是在前代数学家们坚持不懈地建造起来的欧几里得几何学这个建筑物之上又继续建造出来的东西，而是已经超越了欧几里得几何学，或者如果把话说得再激进一点儿，这是通过把欧几里得几何学这种过往的常识彻底打破以后而取得的进步。同样的说法也适用于 19 世纪中期相继出现的“非欧几里得几何学”的发现。这个发现具有非常巨大的“破坏力”，因为它完全摧毁了传统“几何学”的范式。

[日] 加藤文元 著

周健 译

数学家在做什么？数学家的是如何思考的？

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日本数学家加藤文元的呕心沥血之作， 带 领你读懂尚未解决的数论问题