最顶级的数学游戏，仅用一个方程式，产生了4个数万亿美元的产业

这个单一的方程，产生了四个数万亿美元的产业，并改变了每个人对风险的处理方式。

这个方程来自物理学，来自发现原子、 理解热量如何传递，以及如何在二十一点游戏中击败对手。 所以也许不足为奇的是，一些在股市中叱咤风月的人不是经验丰富的交易者， 而是物理学家、科学家和数学家。

1988年，一位名叫吉姆·西蒙斯的数学教授成立了梅达利恩投资基金，接下来的30年里，梅达利恩基金每年的回报率都高于市场平均水平，而且不仅仅是一点点，它每年的回报率达到66%。 以这种增长率，1988年投资的100美元今天将值 84亿美元。这使得吉姆·西蒙斯轻松成为有史以来最富有的数学家。但擅长数学并不保证在金融市场上的成功。

只要问问艾萨克·牛顿。1720年牛顿77岁， 很富有。他作为剑桥大学的教授工作了几十年，赚了很多钱， 并且他还有一个副业，作为皇家铸币局的主管。

他的净资产是30,000英镑相当于今天的600万美元。为了增加他的财富，牛顿投资于股票。 他的一大赌注是南海公司。他们的业务是运送被奴役的非洲人穿越大西洋。 生意兴隆，股价迅速增长。到1720年4月，牛顿的股份价值翻了一番。 所以他卖掉了他的股票。但股价继续上涨，到了6月，牛顿又买回了股票并且在股价达到顶峰时继续购买股份。当股价开始下跌时，牛顿没有卖出。 他买入更多股份，认为自己是在买入低点。但是没有反弹， 最终他损失了大约三分之一的财富。当被问及为什么他没有预见到这一点时，牛顿回答说，

我可以计算天体的运动，但不能计算人们的疯狂。

那么西蒙斯做对了什么而牛顿做错了什么呢？首先，西蒙斯能够站在巨人的肩膀上。使用数学对金融市场进行建模的先驱是路易·巴舍利尔（Louis Bachelier,），出生于1870年。

他的父母在他18岁时去世，他不得不接管父亲的葡萄酒生意。几年后，他卖掉了公司，搬到巴黎学习物理学， 但他需要一份工作来养活自己和家人，他在巴黎证券交易所找到了一份工作。里面就是牛顿所说的“人们的疯狂”的最原始形式。成百上千的交易者大声喊价，做手势， 并进行交易。吸引巴舍利尔兴趣的是一种被称为期权（Options）的合约。

最早已知的期权是公元前600年左右由希腊哲学家米利都的泰勒斯购买的。 他认为即将到来的夏天会带来大量的橄榄收成。为了从这个想法中赚钱， 他本可以购买橄榄压榨机，如果他是对的，这些压榨机将非常抢手，但他没有足够的钱来购买这些机器。 所以他转而去找所有现有的橄榄压榨机所有者，并支付他们一点钱以确保在夏天以指定价格租用他们的压榨机的选择权。

当收获季节到来时，泰勒斯是对的， 橄榄如此之多，以至于租用压榨机的价格飙升。泰勒斯支付给压榨机所有者他们预先约定的价格， 然后以更高的价格出租这些机器并收取差价。泰勒斯执行了已知的第一个看涨期权（call option）。

期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个特定日期以特定价格买入或卖出某种资产（如股票、债券、商品等）的权利，但不是义务。期权分为两大类：
看涨期权（Call Option）：给予持有者在未来某个日期以特定价格买入某种资产的权利。
看跌期权（Put Option）：给予持有者在未来某个日期以特定价格卖出某种资产的权利。

期权可以说是一种极其有用的投资工具，但巴舍利尔在交易大厅所看到的是混乱， 特别是当涉及到股票期权的价格时。即使它们已经存在了几百年， 人们还没有找到一个好的定价方法。交易者只是通过讨价还价来达成关于价格应该是多少的协议。

考虑到在未来购买或出售某物的选择，这似乎是一种非常不确定的交易。 因此，为这些相当奇怪的对象定价一直是一个挑战，困扰了许多经济学家和商业人士几个世纪。

巴舍利尔认为这个问题必须有一个数学解决方案，并将其作为他的博士论文题目提出给他的导师亨利·庞加莱。 那时候研究金融的数学并不是人们真正做的事情，但令巴舍利尔惊讶的是，庞加莱同意了。

要准确定价一个期权，首先你需要知道股票价格随时间的变化。 股票的价格基本上是由买家和卖家之间的拉锯决定的。当更多人想买股票时，价格上涨。 当更多人想卖股票时，价格下跌。但买家和卖家的数量 几乎可以受到任何事情的影响，比如天气等等。 因此巴舍利尔意识到，几乎不可能准确预测所有这些因素。 所以你能做的最好的事情是假设在任何时间点股票价格上涨和下跌的可能性一样大。因此从长远来看，股票价格遵循随机漫步（random walk），上下移动，就好像它们的下一步动作是由掷硬币的结果决定的。随机性是有效市场的标志。 有效市场通常意味着通过交易无法赚钱。

任何人都不应该能够通过购买一项资产并立即以更高的价格出售来获得利润，因为资产的当前价格已经包含了所有相关信息，没有任何未被市场考虑的信息可以用来获取超额回报，这一观点被称为，有效市场假说（Efficient Market Hypothesis）。越多的人试图通过预测股市，然后根据这些预测进行交易，这些价格就越不可预测。如果你和我能够预测明天的股市，那么大家都会这样做。因此，在一个完全有效的市场中，明天的价格不可能被有效预测。如果可以，我们今天就会利用它。

上图是一个盖尔顿板（galton board）。它有一排排以三角形排列的钉子，每次球撞到一个钉子，它有50%的机会向左或向右。因此，每个球在穿过这些钉子时都遵循一个随机漫步，这使得基本上不可能预测任何单个球的路径。

但是，你可以看到，所有的球一起总是会创建一个可预测的模式。那就是一系列随机漫步形成了正态分布。

巴舍利尔认为股票价格就像球穿过盖尔顿板一样。

每增加一层钉子代表一个时间步骤。 所以在短时间内，股票价格只能稍微上升或下降，但在更长时间后，更宽范围的价格是可能的。 根据巴舍利尔的观点，股票的预期未来价格由一个正态分布描述， 以当前价格为中心，随时间展开。

巴舍利尔意识到他重新发现了 描述热量如何从高温区域辐射到低温区域的确切方程。

这最早是由约瑟夫·傅里叶在1822年发现的。 所以巴舍利尔称他的发现为概率辐射（Radiation of probabilities）。 由于他是在写关于金融的内容，物理学界没有注意到，但随机漫步的数学将继续解决物理学中近一个世纪的谜团。

在1827年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察花粉颗粒时， 他注意到悬浮在显微镜载玻片上的水中的颗粒随机移动。

因为他不知道这是否与花粉是“活的”有关，他测试了非有机颗粒，如熔岩和陨石岩的灰尘。他再次看到它们以相同的方式移动。 因此布朗发现，如果颗粒足够小，任何颗粒都会表现出这种随机运动， 这被称为布朗运动。但是它的原因仍然是一个谜。

80年后的1905年，爱因斯坦找到了答案。 在过去的几百年里，气体和液体是由分子组成的观点变得越来越流行。 但并不是每个人都相信分子在物理意义上是真实的。只是这个理论解释了很多观察结果。 这个想法促使爱因斯坦假设布朗运动是由数万亿个分子从每个方向撞击颗粒引起的。

偶尔，一侧会有更多的撞击，颗粒会暂时跳动。为了推导出数学公式，爱因斯坦假设作为观察者我们无法看到或确定地预测这些碰撞。所以在任何时候我们都不得不假设颗粒很可能朝 一个方向移动和另一个方向一样。所以就像股票价格一样，微观颗粒移就像球落在一个盖尔顿板一样，颗粒的预期位置由一个正态分布描述。 这就是为什么即使在完全静止的水中，微观颗粒也会扩散。

通过解决布朗运动之谜，爱因斯坦找到了确凿的证据表明原子和分子的存在。当然，他不知道，巴舍利尔在五年前就发现了随机漫步。当巴舍利尔完成他的博士学位时， 他终于找到了一种数学方法来定价一个期权。

期权交易通常有四种基本策略：

1. 买入看涨期权 (Long Call): 交易者购买看涨期权时，他们预期标的资产的价格将上涨。如果价格上涨，期权的价值也会增加，交易者可以以更高的价格卖出期权，从而获利。买入看涨期权是一种有限风险、有限收益的策略。
2. 卖出看涨期权 (Short Call): 交易者卖出看涨期权时，他们预期标的资产的价格将下跌或保持不变。卖出看涨期权的交易者会收取期权的卖价作为收益。如果价格上涨超过一定程度，交易者可能面临不限量的亏损。卖出看涨期权是一种有限收益、无限风险的策略。
3. 买入看跌期权 (Long Put): 交易者购买看跌期权时，他们预期标的资产的价格将下跌。如果价格下跌，期权的价值也会增加，交易者可以以更高的价格卖出期权，从而获利。买入看跌期权是一种有限风险、有限收益的策略。
4. 卖出看跌期权 (Short Put): 交易者卖出看跌期权时，他们预期标的资产的价格将上涨或保持不变。卖出看跌期权的交易者会收取期权的卖价作为收益。如果价格下跌超过一定程度，交易者可能面临不限量的亏损。卖出看跌期权是一种有限收益、无限风险的策略。

巴舍利尔通过将每种结果的利润或损失乘以其概率，计算了期权的预期回报。 那么它应该价值多少呢？如果期权的价格太高，没有人会想买它。 相反，如果价格太低，每个人都会想买它。巴舍利尔认为公平的价格是使买方和卖方的预期回报相等的价格。双方都应该有赚有赔。 这是巴舍利尔准确定价期权的洞察力。

当巴舍利尔完成他的论文时，他在发明随机漫步方面领先于爱因斯坦，并解决了期权交易者 几百年来一直未能解决的问题。但没有人注意到，物理学家们不感兴趣，而交易者还没有准备好。

在1950年代， 一位年轻的物理学毕业生，埃德·索普，在洛杉矶攻读博士学位，但几小时车程之外， 拉斯维加斯正迅速成为世界赌博之都，索普看到了一种赚取财富的方式。 他前往维加斯，坐在二十一点游戏桌前，那时候，荷官只使用一副牌， 所以索普可以记住他看到的所有已经打出的牌。

这让他能够算出自己是否具有优势。当赔率对他有利时，他会押注更大部分的资金，当赔率不利时，则押注较少。他发明了记牌法，这让他赚了很多钱。 但赌场意识到了他的策略，并增加了游戏中的牌数以减少记牌法的好处。

所以索普拿着他的赢利去了他所说的地球上最大的赌场： 股票市场。他开设了一个对冲基金，接下来的20年每年都会有20%的回报， 那时是有史以来最好的表现。他通过将他在二十一点游戏桌上磨炼的技能转移到股票市场上来实现这一点。 索普开创了一种对冲类型，一种通过平衡或补偿交易来保护免受损失的方式。 索普是通过数学方法做到的。他看了赢和输的赔率，并决定在某些条件下，通过使用某些模式，实际上可以通过下注来使赔率倾向于你。

假设鲍勃卖给爱丽丝一只股票的看涨期权， 假设股票上涨了，所以现在对爱丽丝来说是有利的。那么现在，每当股票价格上涨1美元， 鲍勃将损失1美元，但他可以通过拥有一单位股票来消除这种风险。 那么如果价格上涨，他将从期权中损失1美元，但从股票中赚回那1美元。

如果爱丽丝的股票跌出了有利可图的区域，他会卖掉股票，这样他就不会因此而冒着损失任何钱的风险。 这被称为动态对冲（Dynamic Hedging）。这意味着鲍勃可以通过波动的股票价格以最小的风险获利。 在任何时候，对冲组合π将以一定数量的股票delta来抵消期权V。

这基本上意味着我可以卖给你东西而不必承担交易的相反一方。 而要考虑的方式是，我已经为你合成地制造了一个期权。 我通过动态交易，动态对冲，从无到有地创造了它。

正如我们在鲍勃的示例中看到的，他必须持有的股票数量会根据当前价格而变化。 在数学上，它代表当前期权价格随股票价格变化的程度。

但索普对巴舍利尔定价期权的模型不满意。我的意思是，股票价格并不完全是随机的。 如果企业经营得好，它们会随着时间增长，如果经营得不好，它们会下跌。巴舍利尔的模型忽略了这一点。 因此，索普提出了一个更准确的定价期权模型。

他的策略是，如果根据他的模型，期权很便宜，就买入。 如果它被高估了，就做空它。这样，通常情况下， 他会在交易中获胜。这一直持续到1973年。

那一年，费舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯提出了一个改变行业的方程式。

罗伯特·默顿独立发表了他自己的版本，该版本基于随机微积分的数学。

像巴舍利尔一样， 他们认为期权价格应该为买家和卖家提供公平的赌注，但他们的方法完全不同。 他们说，如果可以像索普通过他的delta对冲那样构建一个由期权和股票组成的无风险投资组合， 那么在一个有效的市场、一个公平的市场中，这个投资组合的回报不应该超过无风险利率，例如国债。

假设是，如果你没有承担任何额外的风险，那么就不应该获得任何额外的回报。 为了描述股票价格随时间的变化，布莱克、斯科尔斯和默顿使用了一个改进版本的巴舍利尔模型，就像索普一样。这表明我们预期股票价格随时都会随机移动， 加上一个总体趋势上升或下降，即漂移

通过结合这两个方程，布莱克、斯科尔斯和默顿提出了金融领域最著名的方程式，布莱克-斯科尔斯公式/默顿（The Black Scholes/Merton formula）：

它将任何类型的合约价格与任何资产联系起来。就在他们发表这个方程式的同年，芝加哥期权交易所成立了。 为什么这个方程式如此重要？对于金融来说，它是如何改变游戏规则的？

因为当你解这个偏微分方程时，你会得到期权价格的显式公式

而且第一次，有了一个显式表达式，只需插入参数，就会弹出这个数字，以便人们实际上可以用它来进行交易。

短短几年内，布莱克-斯科尔斯公式就被作为华尔街交易期权的基准而被采纳。交易所交易的期权市场已经爆炸式增长，现在是一个数万亿美元的行业，这个市场的交易量大约每五年翻一番。 所以这是金融领域的摩尔定律。还有其他一些行业同样迅速地增长，如信用违约互换市场、 场外衍生品市场、证券化债务市场。所有这些都是数万亿美元的行业，以某种形式或另一种形式利用了布莱克-斯科尔斯期权定价的想法。

这开启了一种全新的对冲方式，而且不仅仅是对冲基金。 如今，几乎每家大公司、政府甚至个人投资者都使用期权来对冲他们自己的特定风险。

假设你经营一家航空公司，你担心油价上涨会侵蚀你的利润。那么，使用布莱克-斯科尔斯方程，有一种准确且高效的方式来对冲那个风险。你可以对购买某种跟踪油价的产品的期权进行定价，如果油价上涨，那个期权就会有收益这将帮助你补偿你必须支付的更高的燃料成本。

所以布莱克-斯科尔斯方程可以帮助降低风险，但它也可以提供杠杆作用。

用一美元的现金， 你可以购买一美元的股票；但用一美元的现金购买期权，影响的股票价值远超一美元，在某些情况下可能是10美元或20美元的股票价值对应一美元的期权。所以这些证券中自然包含了杠杆。 因此，购买股票和期权的组合导致价格迅速上涨。这导致这些对冲基金经理迅速损失了大量资金。这个衍生品市场有多大？这个源于布莱克-斯科尔斯的整个领域有多大。

首先，让我们明确什么是衍生品。衍生品是一种金融证券，其价值来自 另一种金融证券。所以期权就是衍生品的一个例子。 总的来说，全球衍生品市场的规模大约是几百万亿美元。 这与它们所基于的基础证券的规模相比如何？它是基础证券的几倍！这看起来有点疯狂，你在基于某物的东西上投入的资金比这个东西本身还要多。

因为期权允许你做的是，把基础东西变成5、10、20、50个东西。 所以我们称之为期权和衍生品的这些东西，它们基本上允许我们创建许多、 许多不同版本的基础资产，这些版本由于个人的风险回报偏好而更受欢迎。

这是否使市场和全球经济更稳定、更不稳定，还是没有影响？

三者都有。事实证明，在正常时期， 这些市场是非常重要的流动性来源，因此是稳定性的来源。 在非正常时期，我指的是市场压力时期， 所有这些证券可能会朝一个方向走，通常是下跌， 当它们一起下跌时，会造成非常大的市场崩溃。 在这种情况下，衍生品市场可能会加剧这种类型的市场失调。

1997年，默顿和斯科尔斯获得了诺贝尔经济学奖。布莱克因他的贡献受到了认可，但不幸的是他在两年前就去世了。

由于期权定价公式现在供所有人查看，对冲基金需要发现更好的方法来发现市场的低效率。

进入吉姆·西蒙斯时代。

在西蒙斯接触股票市场之前， 他是一位数学家。他在黎曼几何上的工作在数学和物理学的许多领域都起到了关键作用，包括结合理论、 量子场理论和量子计算。陈-西蒙斯理论为弦理论奠定了数学基础。

1976年，美国数学学会授予他几何学奥斯瓦尔德·韦布伦奖。 但在他的学术生涯的顶峰，西蒙斯开始寻找新的挑战。 当他于1978年创立文艺复兴科技（Renaissance）时，他的策略是使用机器学习来寻找股票市场中的规律。 这提供了赚钱的机会。

真正的事情是，收集大量的数据在早期我们必须亲手获取，我们去了联邦储备银行抄写利率历史等等，因为那时它们还不存在于计算机中——西蒙斯

西蒙斯的理由是市场过于复杂，任何人都不可能有把握地做出预测。 然后他雇用了他能找到的一些最优秀的科学家。

其中一位是隐马尔可夫模型的先驱伦纳德·鲍姆。就像爱因斯坦意识到的那样，虽然我们不能直接观察到原子，但我们可以通过它们对花粉颗粒的影响来推断它们的存在， 隐马尔可夫模型旨在找到那些不是直接可观察的因素，但确实对我们能观察到的事物有影响。

不久之后，文艺复兴科技推出了他们现在著名的梅达利安基金。使用隐马尔可夫模型和其他数据驱动的策略，梅达利安基金成为有史以来回报率最高的投资基金。 这使得加州大学洛杉矶分校的布拉德福德·科尼尔在他的论文《梅达利安基金：终极反例？》中得出结论，也许有效市场假说本身就是错误的。

如果你有正确的模型、正确的训练、 资源、计算能力等等，是可以击败市场的。

发现股市规律和随机性的人通常是物理学家和数学家， 但他们的影响已经超出了仅仅让他们变得富有。通过对市场动态建模， 他们为风险提供了新的见解，并开辟了全新的市场。 他们确定了衍生品的准确价格，并因此帮助消除了市场低效率。讽刺的是，如果我们能够发现股市中的所有规律，知道它们是什么将使我们能够消除它们。 然后我们终于将拥有一个完全有效的市场，其中所有的价格变动都是真正随机的。