小乐数学科普：“此刻有数，世间无物”数学家瓦赞谈数学创造力

量子杂志Quanta Magazine对话2024年克拉福德Crafoord数学奖得主Claire Voisin（克莱尔·瓦赞），就数学作为一门艺术、语言、抽象思维进行探讨。另请参阅小乐数学科普：2024年克拉福德数学奖授予女数学家克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）

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作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志资深作家 2024-3-13

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-3-15

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克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）花了很长时间才爱上数学。

这并不是说她不喜欢这门学科。她在法国长大，是12个孩子中的第10个，她喜欢花几个小时和她的工程师父亲一起解决数学问题。到她12岁的时候，她已经开始自己阅读一本高中代数教科书，被书中概述的定义和证明迷住了。“有这么多的结构。”她说：“代数实际上是一种关于结构的理论。”

但她并不认为数学可以成为她的终身职业。直到她上大学的时候，她才意识到它是多么的深刻和美丽，而且她有能力做出新的发现。在此之前，她认真追求数学之外的几个兴趣：哲学，绘画和诗歌。（“当我20岁的时候，我想我只做数学和绘画。这可能有点过分，”她笑着说。）到她20岁出头的时候，数学已经囊括了一切。但绘画和诗歌继续影响着她，她把数学看作一门艺术，一种挑战和玩弄语言极限的方式。

几十年后，在成为代数几何领域的领导者后，Voisin再次找到时间绘画和制作泥塑。尽管如此，数学仍然占据了她大部分的注意力；她更喜欢把时间花在探索这个“不同的世界”上，在那里“就像你在做梦一样”。

Voisin是位于巴黎的法国国家科学研究中心的高级研究员。在那里，她研究代数簇（algebraic variety），即可以被认为是由多项式方程组定义的形状，一个圆是由多项式方程x²+y²=1定义的。她是霍奇理论的世界上最重要的专家之一，霍奇理论是数学家用来研究代数簇的关键性质的工具包。

Voisin因其工作赢得了一系列奖项，包括2008年的克莱研究奖（Clay Research Award），2015年的海因茨·霍普夫奖（Heinz Hopf Prize）和2017年的邵逸夫数学奖（Shaw Prize for mathematics）。今年1月，她成为第一位获得克拉福德数学奖（Crafoord Prize in mathematics）的女性。

量子杂志与Voisin交流谈到了数学的创造性。为清晰起见，采访内容经过浓缩和编辑。

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Claire Voisin在书桌工作

Voisin强调了数学语言对于理解旧概念和创造新概念的重要性。

“你可以把一个数学定理比作一首诗，”她说。

图源：Laurence Geai

Q：你小时候很喜欢数学，但却不想追求它。为什么不呢？

数学证明有一种魔力--当你理解它时，当你意识到它有多强大时，当它让你强大时，你都会感到这种情绪。作为一个孩子，我已经看到了这一点。我喜欢数学所要求的专注力。随着年龄的增长，我发现它在数学实践中越来越重要。做数学的时候，世间无物。你的整个大脑都是为了研究问题而存在的。这是一次非凡的经历，对我来说非常重要--让自己离开现实世界，去生活在一个不同的世界。也许这就是为什么我的儿子这么喜欢玩电子游戏。

但是，从某种意义上说，使我成为数学后来者的原因是，我对游戏绝对不感兴趣。游戏不适合我。在高中，数学就像一场游戏。我很难认真对待。起初我没有看到数学的深度。甚至当我高中毕业后开始发现非常有趣的证明和定理时，我从来没有想过我可以自己发明一些东西，我可以把它变成我的。

我需要一些更深刻，更严肃的东西，我可以做我的东西。

Q：在你发现数学之前，你在哪里寻找它的？

我喜欢哲学和它对概念的执着。此外，直到我22岁左右，我花了很多时间画画，特别是受几何启发的具象作品。我非常喜欢诗歌--马拉美（Mallarmé，1842 - 1898）、波德莱尔（Baudelaire，1821 - 1867）、勒内·夏尔（René Char，1907 - 1988）的作品。我已经生活在一个不同的世界。但当你年轻的时候，我想这是正常的。

数学变得越来越重要。它真的需要你所有的大脑。当你不在办公桌前处理某个具体问题时，你的大脑仍然在忙碌。所以我数学学得越多，画得越少。我只是最近才开始画画，现在我的孩子都离开了家，我有更多的时间。

Q：是什么让你最终决定把你大部分的创造性精力投入到数学上？

我对数学越来越感兴趣。作为一名硕士生和博士生，我发现20世纪的数学是非常深刻和非凡的。这是一个想法与概念的世界。在代数几何中，有著名的亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）领导的革命。即使在格罗滕迪克之前，也有令人难以置信的结果。所以这是一个离今天最近的领域，有着美丽但非常强大的想法。我研究的霍奇理论就是其中的一部分。

我越来越清楚我的生活属于那里。当然，我有家庭生活--丈夫和五个孩子--还有其他的职责和活动。但我意识到，有了数学，我可以创造一些东西。我可以把我的生命献给它，因为它是如此美丽，如此壮观，如此有趣。

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Claire Voisin认为自己是爱上数学的“后来者”。她现在是代数几何领域世界上最重要的专家之一。

图源：Laurence Geai

Q：你以前写过数学是一种创造性的努力？

我是一个专业的数学家，所以我的日常工作是围绕数学组织的。我坐在办公桌前；我在电脑上工作。但我的大部分数学活动并不是在这段时间内发生的。你需要一个新的想法，一个好的定义，一个你认为你可以利用的结论。只有这样，你的工作才能开始。我坐在办公桌前的时候就不会这样。我需要跟随我的思想，让自己思考。

Q：听起来数学对你来说很个人化的。在这个过程中，你有没有发现关于自己的一些事情？

在做数学的时候，大多数时候我不得不和自己做斗争，因为我很混乱，我不是很自律，而且我也很容易抑郁。我不觉得这很容易。但我发现，在某些时刻--比如早上吃早餐时，或者当我在巴黎的街道上散步时，或者做一些不需要动脑筋的事情，比如打扫卫生时--我的大脑开始自己工作。我意识到我在思考数学，却并非一开始就有打算为之。就像你在做梦一样。我已经62岁了，我没有切实的方法来做好的数学：我还是或多或少地等待我得到一些灵感的那一刻。

Q：你的工作对象是非常抽象的--高维空间，满足复杂方程的结构。如何看待这样一个抽象的世界？

其实也不那么难。最抽象的定义，一旦你熟悉了，就不再抽象了。那就像一座美丽的山，你看得很清楚，因为空气非常清澈，有光线可以让你看到所有的细节。对我们来说，我们研究的数学对象看起来是具体的，因为我们对它们的了解比对其他任何东西的了解都更多。

当然，有很多东西需要证明，当你开始学习一些东西时，你可能会因为抽象而痛苦。但是当你使用一个理论时--因为你理解了这些定理--你实际上会感到非常接近所讨论的对象，即使它们是抽象的。通过学习对象，通过操纵它们并在数学证明中使用它们，它们最终会成为你的朋友。

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Claire Voisin在树前

对于Voisin来说，数学是非常个人化的。“数学证明有一种魔力--当你理解它时，当你意识到它有多强大时，当它让你强大时，你都会感到这种情绪。”

图源：Laurence Geai

Q：这也需要从不同的视角来看待它们？

我本来不学代数几何。我研究的是复解析几何和微分几何。在解析几何中，需要研究一个更大的函数类和由这些函数局部定义的形状。它们通常没有整体方程，不像代数几何那样。

起初我并没有太注意代数的视角。但随着年龄的增长，我在这一领域的工作越多，我就越觉得掌握这两种不同语言的必要性。

有一个令人难以置信的定理，叫做GAGA，这个词有点像个笑话；它在法语中的意思是“年老糊涂的”（senile），但它也代表代数几何和解析几何（géometrie algébrique et géométrie analytique）。它说你可以从一种语言过渡到另一种语言。你可以在复解析几何中进行计算（如果它更容易的话），然后再回到代数几何。

其他时候，代数几何可以提供给你研究一个问题的不同版本的可能性，并给出非凡的结果。我一直致力于从整体上理解代数几何，而不仅仅是关注它的复几何方面。

Q：你把它们看成是不同的数学语言，这种想法很有意思。

语言至关重要。在数学之前，语言就存在了。很多逻辑已经存在于语言中。我们在数学中有所有这些逻辑规则：量词（quantifier），否定（negation），括号（parentheses）来指示正确的运算顺序。但重要的是要认识到，所有这些对数学家至关重要的规则已经处在我们的日常语言中。

你可以把数学定理比作一首诗。它是用文字写的。它是语言的产物。我们之所以有数学对象，是因为我们使用语言，因为我们使用日常词汇，并赋予特定的意义。所以你可以比较诗歌和数学，因为它们都完全依赖于语言，但仍然创造了一些新的东西。

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Claire Voisin坐在沙发上

Voisin有时会通过原创绘画（显示在她身后）和绘制著名肖像的复制品来放松，比如左下角的Amedeo Modigliani。

图源：Laurence Geai

Q：你被数学吸引是因为格罗滕迪克在代数几何上的革命。他创造了一种新的数学语言。

对的。

Q：你现在使用的数学语言是否仍需要改变？

数学家不断地修改他们的语言。这很遗憾，因为它使旧论文很难阅读。然而我们重新研究过去的数学，因为我们更加理解。这给了我们一个更好地写作和证明定理的方法。格罗滕迪克将层上同调（sheaf cohomology）应用于几何学时就是这种情况。真的很壮观。

熟悉你学习的对象是很重要的，对你来说，它就像一种母语。当一个理论开始形成时，需要时间来找出正确的定义，并简化一切。或者它仍然非常复杂，但我们对定义和对象变得更加熟悉；使用它们变得更加自然。

这是一个持续的演变。我们必须不断地重写和简化，对什么是重要的，什么工具是可用的进行理论化。

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书架前的Claire Voisin

Voisin被数学所要求的专注力所吸引。她说，在做数学的时候，“世间无物。”

图源：Laurence Geai

Q：你是否不得不在你的工作中引入新的定义？

有时在我和János Kollár的工作https://arxiv.org/abs/2311.04714中，有一个转折点，我们终于能够找到对问题的正确看法——通过某种定义。这是一个非常经典的问题，我们用的是经典的工具，但我们的证明是基于我们建立的这个定义。

在另一个例子中，Olivier Debarre、Daniel Huybrechts、Emanuele Macrì和我证明了一个关于称为超凯勒流形（hyper-Kähler manifold）的对象的很好的分类结果https://arxiv.org/abs/2201.08152。这个证明的出发点是引入一个不变量，我们最初称之为“a”。[笑]

你可能低估了定义在数学中的重要性，但你不应该低估它。

Q：定义和语言并不是数学中唯一的指导力量。猜想也是如此，可能是真的，也可能不是。例如，你在霍奇猜想上做了很多工作，这是一个克莱千禧年问题，解决它将获得100万美元大奖https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/

假设你想理解一个代数簇。那么你可以从复解析几何的角度，把它看作是一个复流形。你可以从整体形状或拓扑学的角度来思考复流形。有一个对象，叫做同调（homology），它给了你很多关于流形的拓扑信息。但它并不那么容易定义。

现在考虑原代数簇中的代数子簇。每一个代数子簇都有一个拓扑不变量，携带了与之相关的某些拓扑信息。通过观察这些拓扑不变量，可以得到复流形的同调的哪一部分？

霍奇猜想给出了一个具体的答案。答案很微妙。

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坐在长椅上的Claire Voisin

Voisin发现，最抽象的数学对象一旦熟悉了，就会变得具体起来。“那就像一座美丽的山，你看得很清楚，因为空气非常清澈，有光线可以让你看到所有的细节。”

图源：Laurence Geai

Q：所以数学家们不确定霍奇猜想最终是对还是错？

你需要相信霍奇猜想，因为它是代数几何中主要理论的指引。

你真的很想了解一个代数簇的主要性质。如果霍奇猜想是正确的，那将使你给予不可思议的控制力，来控制你的代数簇的几何形状。你会得到关于簇结构的重要信息。

有一些强有力的理由相信它。霍奇猜想的特殊情况是已知的。关于代数簇有许多深刻的命题结论，暗示霍奇猜想是正确的。

但对它的证明几乎完全缺乏进展，我还证明了没有办法将霍奇猜想扩展到另一个看起来很自然的设置情形。所以这有点令人震惊。

Q：在做了几十年的数学家之后，你觉得你现在对数学的研究更深入了吗？

现在我年纪大了，我有更多的时间把精力花在数学上，真正投入其中，我也有更好的能力四处走走。在过去，也许是因为我没有时间，我的流动性比较差--即使算得上流动的情形：只触及问题而不坚持下去，也不好。现在我更有经验了，我可以建立自己的图景。

你对你所不知道的事情有了更好的了解，对开放未解决的问题有了更好的了解。你可以端详你的领域和边界。变老总有好的一面。还有很多事要去做。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-on-creativity-art-logic-and-language-20240313/

https://arxiv.org/abs/2311.04714

https://arxiv.org/abs/2201.08152

https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/

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