新定义“α对称旋转”——2024年西城区九年级数学期末第28题

新定义“α对称旋转”

2024年西城区九年级数学期末第28题

数学中的对称，在初中阶段通常指轴对称和中心对称，属于图形变化版块，无论哪种对称，全等是其中最重要的关系，毕竟轴对称和中心对称，也是特殊的全等图形。在新课标中，对于图形的旋转，有如下要求：通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。当旋转角为180°时，即为中心对称。

在2024年西城区九年级上学期的期末试题中，“α对称旋转”利用这些旋转特性，构建出新的概念，呈轴对称（或中心对称）的两个点分别作为旋转中心，按不同方向旋转相同的角度，从而完成某个图形的变换，对学生理解旋转变换提出了较高的要求。

题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点S(-1,0)，T(1,0).对于一个角α(0°<α≤180°)，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”.

(1)点R在线段ST上，则在点A(1,-1)，B(3,-2)，C(2,-2)，D(0,-2)中，有可能是由点R经过一次“α对称旋转”后得到的点是_____________________；

(2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q.

①当α=60°时，PQ=______________；

②当α=30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；

(3)以点O为圆心作半径为1的圆，若在圆O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围.

解析：

01

(1)从新定义的描述中，发现“α对称旋转”较为简洁，旋转中心分别是两个定点S和T，旋转方向分别是顺时针和逆时针，旋转角同为90°；

点R在线段ST上，意味着线段ST上所有点都有可能是点R，因此我们在考虑点R的“α对称旋转”时，不妨把所有可能的点都考虑到，即线段ST的“α对称旋转”，如下图：

线段ST先绕点S顺时针旋转90°，得到ST'，再将线段ST'绕点T逆时针旋转90°，得到线段S'B，即图中红色线段，于是所有可能的点R经过一次“α对称旋转”后的点，都在这条红色线段S'B上，本小题结论一眼可知，B点和C点；

02

(2)①当α=60°时，x轴上的点P经过一次“α对称旋转”：点P绕点S顺时针旋转60°得到点P'，点P'绕点T逆时针旋转60°得到点Q，如下图：

由于旋转角是60°，因此△SPP'和△TP'Q都是等边三角形，这便是常见的“手拉手模型”，所以可以得到△STP'≌△PQP'，于是ST=PQ=2；

②当α=30°时，x轴上的点P经过一次“α对称旋转”：点P绕点S顺时针旋转30°得到点P'，点P'绕点T逆时针旋转30°得到点Q，如下图：

新增条件QT⊥x轴，又因为∠PSP'=∠P'TQ=30°，于是∠STP'=90°-30°=60°，于是△STP'是含30°角的直角三角形；

ST=2，得到SP'=√3=SP，最后得到点P坐标为(-1+√3，0)；

03

(3)作为本题难度“天花板”，我们仍然遵从题目中描述的“α对称旋转”定义，对于圆O上存在的点M，不妨先考虑整个圆作为一个整体进行一次“α对称旋转”，只要变换后的圆与x轴有公共点，即可得到点M；

先作圆O，将它绕点S顺时针旋转α得到圆O'，再将圆O'绕点T逆时针旋转α得到圆O"，随着α从0°变化到180°，全过程动画如下：

绿色的是圆O'，红色的是圆O"，我们重点观察后者，发现它与x轴有公共点的时间段有两个，第一段是α从0°开始，到30°结束，第二段是从150°开始，到180°结束，当然这是动画演示的结果，并不能代表学生也能这样精确去构思。

对于学生来讲，只需要明白圆O"与x轴有公共点时，即存在点M，而圆O"的半径是1，所以我们观察圆心O"的位置，当O"与x轴距离小于等于1的时候存在点M；

整个过程中，我们需要求解的α值其实只有两个，即当圆O"两次与x轴相切时的旋转角；

第一次，如下图：

为了方便观察，我们将圆都隐去，只保留圆心，在实际解题时，也鼓励学生使用这种作图草稿的办法，只关注核心要素，如下图：

由于旋转角均为α，因此对于等腰△SOO'与等腰△TO'O"，它们是相似三角形，且顶角均为α，底角为90°-1/2·α，它们各自的腰与底之比相同，可得SO':O'O=O'T:O'O"，即△SO'T与△OO'O"的一组对应边成比例，同时易证∠SO'T=∠OO'O"，所以△SO'T∽△OO'O"，从而推导出∠O'OO"=α，我们需要作出点O"到x轴的距离，同时也过点O'作x轴的垂线段，如下图：

继续前面的推导，∠O'OC=90°-∠SOO'=1/2α，则∠O'OO"=α，于是∠O"OC=1/2α，所以∠O"OB=90°-1/2α，所以∠O'OA=∠O"OB，可证△O'OA∽△O"OB，其中O"B=1，于是O'A=1/2，最后回到Rt△SAO'中，sinα=1/2，于是∠α=30°；

由此我们得到第一段的范围是0°<α≤30°；

第二次，如下图：

我们采用同样的推导方式，如下图：

结论也类似，当EO"=1的时候，DO'=1/2，我们仍然能求出∠DSO'=30°，于是α=150°；

由此我们得到第二段的范围是150°≤α≤180°；

综上，α的范围是0°<α≤30°，150°≤α≤180°.

解题反思

在2024年各区期末数学试题中，西城区这道新定义压轴题难度较高，基本上前面不再“无脑送”，而是需要去认真理解“α对称旋转”，通常情况下解这类压轴题，有句俗语叫“磨刀不误砍柴功”，别急着去看第1小题，在草稿纸上任意取点，按定义描述去画一画，想一想，只要这一步做踏实了，后面无论图形位置、大小如何，画草图就容易得多。

解这道压轴题的时候，需要学生较强的手动作图能力，虽然作为老师可以利用几何画板、GGB等工具精准绘图，但仅限于解题研究，如果给学生讲题，则必须切换作图思维，在纯手工作图环境下，如何得到本题所需的图形，即培养学生的作图能力。所以在解读新定义环节，需要以“任意点”来进行尝试，分别以S、T为旋转中心，“任意α角”进行顺时针或逆时针旋转，在作图过程中，脑子里也需要进行图形动态化处理，从而形成动画过程，当这种尝试遇到困难时，第1小题提供了特殊化处理，也是为了降低学生理解难度，显然第2小题则在前面的基础上对理解加深了一层，深度是否足够，则第3小题来检验。

在网上也搜索到了部分这道题的讲解视频，这些视频大多推出较早，基本上在考试结束后便出现了，对于第3小题为什么α临界值是30°和150°，只是简单用绘图工具演示或猜测，并没有进行严格几何推理，这对于中等生理解十分不友好，其实学霸理解也要遵循这些推导，只是速度较快罢了。如果是给学生讲，还是浅显一点的好。

数学老师研题，不是简单把题目解出来，把自已的方法告诉学生这么简单，而是要分析题目从条件推导出结论的全过程，将整个思维显现出来，再引导学生沿这条路走，告知和引导，是两种完全不同的教学，因此，强烈推荐《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》丛书，上册已出版，中册即将出版，它将为初中数学老师推开一扇教学研究的大门。