知识点&计算思路&解题技巧，高等数学细节全梳理！

高数作为理工类学生的必修基础课，对于学过或正在学习的同学，高数就是贯穿他们整个大学的学习内容，时不时就要拿出来用一用。

新学期开始，今天在这里不妨给大家再梳理一下高数的相关内容。大家伙儿试试看到标题，看相关考点能不能浮现出来，进而再细化到计算方法，解题技巧上。

01

函数极限连续部分

函数极限定义、保号性，有界性、等相关性质。

函数极限计算（此处最重要的部分）

第一步先化简：提出极限不为0的因式，合理运用等价无穷小替换，提取公因式，拆项，合并，分母有理化，取对数，取倒数，换元（真正打开局面）等......

第二步判断极限类型，七种未定式，尤其是1的∞次方，我就不再强调了。

第三步选择适合的方法进行计算，洛必达，泰勒，夹逼准则......

注意！这里说几点比较容易犯错的地方：

第一个：非0因子一定是因子才可以提出来，如果混入加减法，是不能先把它等价无穷小的，如果那样就100%会漏项导致结果错误，计算要按照“游戏规则”。

第二个：两个东西相加，极限存在，但拆开极限不一定存在所以拆的时候要注意哦！

第三个：洛必达的使用条件是洛了之后，极限存在，千万不要乱洛，而且题目如果说了n阶可导，那就只能洛到n-1阶哦~

最最最让大家头疼的数列极限证明题，用单调有界证极限，用压缩映射证极限，用第一数学归纳法证极限......以及“每天起床第一件事，先背一遍展开式”的泰勒公式，在求极限，求某个函数的n阶导数，后面高阶导数证明题都会用到它。

相对比较简单的间断点问题，通常会搞一些参数ab，有时还会搞一些积分来吓唬大家，都是玩的是假动作。

02

微分概念与计算、几何应用、物理应用、中值定理

概念这里不再重复

计算包括：一大坨的基本求导公式，复合函数求导，隐函数，反函数，分段函数，对数，幂指函数，参数方程，高阶导数的求导。

其中最比较难的是高阶导数的计算，这里给大家做一个提醒：如果说，题目问我们的是f（x）的n阶导数，那就只能选择找规律法，或者拆成两项乘积用莱布尼茨求导法则，如果问我们的是f（a），也就是函数在某一点的导数，那就可以考虑用泰勒公式，具体过程：具体展开，抽象展开，对比系数，得出答案！

几何应用包括函数切线，法线，截距（这部分经常和微分方程联动，建立微分方程进而求解），研究函数极值，单调性，根据图像判断函数性态，判断函数一阶导数的性态，等等......

进而判断极值点，拐点，函数的增减区间，凹凸区间（这部分有很多二级定理推论，大家有必要记一下）

最后一部分是渐近线和曲率，曲率半径的问题，公式记住会正常用就好，不要去乱学那种泰勒公式展开秒杀渐近线的方法，简单题用不上，计算繁琐的题又不敢用。

物理应用就是变化率的问题，不难。

中值定理证明题，不等式证明，我觉得这部分还是有迹可循的，大家多做题多总结方法，记住罗尔，费马，拉格朗日，最值，介值定理，而且出题一般不会在创造辅助函数上难为。以及一些常用的基本不等式，比如两个数相加的绝对值比各自绝对值相加小这种放缩创造不等式。

03

积分计算、几何应用、物理应用、积分等式不等式证明题

不定积分，定积分计算多重要应该不用我强调了吧，包括换元，分部积分法，有理函数拆分等等......（务必多练！）

每天早晨第二件事，背一遍积分公式

常见有积分比大小，求极限时会用到定积分定义（往形式上凑），或者是夹逼准则和定积分定义一起用，反常积分判敛散性的问题（把握住本质，直接秒杀敛散性判别）

至于几何应用这部分就偏向于记公式往里套公式了，当然套公式的前提是你足够理解“微元法”到底是在干嘛，明确是绕x还是绕y，分别对应哪个公式，有：面积，体积，平均值，弧长，侧面积，形心。

物理应用有位移问题，路程问题，变力做功问题，静水压力，细杆质心，这部分做题就是根据“物理公式”，列出d（ ）＝****d（ ）的式子，再明确是从哪到哪开始积分，最后计算即可，我觉得重点是琢磨透微元法的意义，物理应用千变万化，死记公式是没用的。

积分等式不等式问题，相比于中值定理部分要简单许多，也有些固定的套路，大家多练多总结。

04

多元微分、二重积分、常微分

这三章节是高数下册的内容，灵活度相比于上册要小，计算有固定的方法，尤其是常微分方程，只要确定好它是那种线性方程，确定形式直接按部就班计算就可以了，微分方程的难点是在于建立微分方程，因为万物都可以和微分方程扯上关系，这方面能力要多练，比如题干说某曲线法线和y轴的交点等于这个点到原点的距离。

二重积分，记住，出题老头给你的积分你想正常算是肯定算不出来的，一定要经过换序才能做，把握好什么情况下选择极坐标，什么时候选择直角坐标，极坐标直角坐标互换，极坐标互换，直角坐标互换，要充分利用奇偶性，对称性来极大简化运算。还有一点就是各种心形线，双曲线，摆线，斜着放的双曲线......对应的直角坐标系下，极坐标系下的表达式一定要记住。

多元微分有极限，连续，偏导数，判断是否可微，判断偏导数是否连续是这部分的常考题型，以及复合函数求导法则一定要确定好那个“链”到底是怎么确定的，举个例子，如果题目结果问的是df/dx，而题干中是f（x，y，t），那么我们就可以判断，y和t一定是有关于x的函数表达式。

最后呢就是条件极值和无条件极值的问题，当AC-B²失效时，可以尝试从区域边界讨论或者转化成一元积分再讨论最大值最小值。拉格朗日乘数法重点在于算，想方设法消去限制条件，求解即可。

学过的知识不用就会忘掉，在学的知识不去做题就会掌握不牢靠。对于大家而言，在校学习的高数内容相对基础，今天给大家推荐一个数学竞赛，希望大家可以在准备竞赛的过程中得到成长。

竞赛介绍

为贯彻关于国家高新技术产业发展的重要指示精神，进一步明确“十四五”国家高新区的发展思路和重点任务，国家一级协会下属分会中国国际科技促进会物联网工作委员会，面向全国大学生举办“2024全国大学生高新技术竞赛—数学竞赛”。

报名方式

-扫描下方二维码进行报名-

或点击下方链接进行报名：

https://www.saikr.com/vse/49652?ces=Public

竞赛亮点

01

具有挑战性的赛题

大学的学习不应该仅仅停留在课堂学习与课后作业当中，一些优质的学科竞赛是各位同学见识更多可能性的机会。更具有挑战性的赛题，有助各位同学在准备竞赛的过程中提升自己，竞赛交流也可以帮助同学们拓宽学习视野。

02

备战数竞国赛

本次数学竞赛的竞赛形式、考试难度与全国大学生数学竞赛相似。对于有意参加下半年全国大学生数学竞赛的同学而言，可以在本次竞赛中早做准备，见识赛题难度、赛题题量。

03

检验考研数学复习状况

对于有意考研升学的学生而言，本次竞赛赛题是由名校教师参考教学大纲出题，在保证数学竞赛赛题少而精的特点同时，还可以充当考研学生在考研数学科目的模拟考试。

04

共享学习资料

竞赛特别设置学习资料下载处，其中各类与数学相关学习资料将不定时更新，学生报名后可自行添加。

竞赛奖励

本次竞赛分组别、分考场进行评奖，设立一、二、三等奖及优秀奖，获奖比例（根据实际参赛人数计算）：

一等奖：5%；

二等奖：15%；

三等奖：30%；

优秀奖：若干（成功参赛即可获得优秀奖）

-证书样图-

优秀指导教师：

根据指导报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的高校老师，颁发优秀指导教师荣誉证书。

优秀组织单位：

根据单位报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的单位，颁发优秀组织单位荣誉证书。

各院校(系)、学校社团均可申请优秀组织单位。

竞赛规则

（1）竞赛为个人赛，分为研究生组、本科生组、专科生组，报名时请根据个人实际情况选择组别参赛。（竞赛考题分为数学类和非数学类，报名时无须选择类别，考试时可直接选择想要参加类别的考场）

（2）竞赛题目来自竞赛资深专家、企事业单位实际应用场景应用题目。

（3）竞赛全程线上进行，需要提交电子版作品（手写图片拍照上传即可）。

（4）赛题将于竞赛开始时在竞赛官方主页以及竞赛报名网站上同时公布，分为数学类和非数学类两个组别，不邮寄书面题目。

竞赛须知

01

参赛对象

普通高等院校、高职院校、二级学院、独立学院、本、专科在校大学生及研究生均可报名参加，专业不限；其他社会人员也可以报名参赛。

02

时间安排

报名时间：即日起至2024年4月19日

竞赛时间：2024年4月20日10:00至12:00

联系方式

QQ：1451942322（陈老师）

微信：19822023476（陈老师）

竞赛交流2群：777424730

BONUS TIME

数学建模资料、视频讲解、历年赛题

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