俄罗斯最伟大的数学家—康托尔，现代数学的奠基人，重新思考无穷

乔治·康托尔是历史上最著名的数学家之一，他在1845年出生于俄罗斯的圣彼得堡。他的大部分成年生活是在德国的哈雷（萨勒）市度过的。在哈雷，康托尔非常受欢迎，这座城市甚至有一所高中和一座大学建筑是以他的名字命名的。2006年，为了庆祝哈雷市建城1200周年，上演了一部以康托尔为主题的歌剧《康托尔——测量无限》。（"Measuring the Infinite"）。

• 2006年，在哈雷市上演的歌剧《康托尔——测量无限》。

康托尔以创立集合论而闻名，这对现代数学至关重要，并且他重新定义了无限。但他也饱受心理健康问题的困扰，这给他的生活蒙上了一层阴影。

康托尔的生活

乔治·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔于1843年2月19日出生于圣彼得堡，当时是沙皇俄国的首都。他的家庭搬到了德国，康托尔在苏黎世、哥廷根和柏林学习数学。1867年他从柏林大学获得博士学位后，担任了几年数学教师。然后他于1869年加入哈雷大学，并于1877年成为正教授。康托尔在那里度过了他的余生。他的心理健康状况恶化，生命的最后一年在精神病院度过，于1918年去世。

• 1894年哈雷大学的教授乔治·康托尔。

集合论

康托尔因朴素（Naive）集合论而闻名。这里的“朴素”是指该理论用自然语言描述，而不是用形式化语言。1895年，他在《超穷数集合论的基础》中定义了：

集合是将我们感知或思考的确定、不同的对象汇集成一个整体——这些对象被称为集合的元素。

康托尔的定义并未限制什么可以是一个集合或集合的元素。定义集合元素的属性可以自由选择。

如今，集合论常常使用文氏图来介绍。下图显示了两个集合A和B，以及它们的并集和交集。形式上，我们写x ∈ A表示对象x是A的元素。

有限集和无限集的基数

集合的一个重要属性是其基数，即集合中包含的元素数量。包含数字{1, 2, 3, 4, 5}的集合的基数为5，这是一个自然数。实际上，所有有限集的基数都是自然数。空集{ }的基数为0。

但可以构造非有限的集合。例如，

• 所有自然数的集合：ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n, …}
• 所有有理数的集合ℚ，定义为两个整数的商
• 所有实数的集合ℝ，用于测量连续变量

为了表示这些集合的基数，康托尔开始使用希伯来字母Aleph（א）。

自然数是一个无限集，但是可数的，意味着可以从0开始，无限次加1，就构成了完整的集合。它们的基数如下：

根据康托尔，这个数字是超限的（transfinite），因为它大于任何有限的自然数。任何可以与自然数一一对应的集合都具有相同的基数。这包括偶数和奇数。

如果你觉得偶数集{0, 2, 4, 6, 8, 10, …}与自然数集{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}具有相同基数的说法违反直觉，请考虑如下对应关系：我们可以通过将自然数逐个乘以2来形成偶数集。因此，建立了一一对应关系。

有理数的基数：无限且可数

有理数是两个整数的分数。限制在正有理数，康托尔的第一个对角线论证表明，它们可以与自然数对应。

可以通过构建一个特殊的矩阵来展示有理数是可数的。在这个矩阵中，每一行的分子会逐一递增，同时每一列的分母也会逐一递增。这样就形成了一个包含所有正有理数的矩阵。接着，从矩阵的左上角开始，沿着对角线对数进行计数。在这个过程中，如果遇到重复的有理数，比如2/2和1/1（实际上都是1），就会跳过它们。这样，每个不同的有理数都能被唯一地映射到自然数上，证明了有理数集是可数的。这说明即使有理数看似无限且庞大，它们也可以与自然数集建立一一对应关系。

• 图片来源：维基百科。

有理数是无限的，但可数的。

实数的基数：无限且不可数

有些集合不仅是无限的，而且是不可数的（uncountable）。康托尔通过反证法证明，0到1之间的实数集与自然数不存在一一对应关系。

证明从任意无限序列的实数开始，这些数大于0但小于1。为简单起见，考虑下列只包含0或1的数字序列。

然后我们构造一个新数字，这个新数字的第i位数字由序列中第i个元素的第i位数字决定：如果第i位数字是0，则选择1，如果第i位数字是1，则选择0。因此，新数字与原始序列中的每个数字至少有一位不同，我们至少构造了一个位于0和1之间但不包含在上述可数序列中的数字：

由于这适用于所有可能的可数序列，实数集是无限且不可数的。它的基数由另一个超穷数“aleph-1”表示：

因此，康托尔确立了无限的不同种类。可数和不可数的无限集是不同的数学对象。他提出了连续统假设（continuum hypothesis），即不存在基数在“aleph-0”和“aleph-1”之间的集合，但他未能证明这一点，尽管花了几年时间在此上。

康托尔悖论

集合论的早期版本存在一个逻辑悖论，称为康托尔悖论，它涉及到集合的基数。基数是用来表示集合中元素数量的概念。这个悖论出现在考虑所有基数形成的集合时：按理说，这个集合应该包括所有可能的基数，包括最大的基数。但根据集合论的原则，任何集合的基数都可以被一个更大的基数超越，因此没有所谓的最大基数。

为了解决这个悖论，数学家们引入了“类”的概念。类是一种比集合更广泛的概念，不受集合论的标准规则约束。将所有基数形成的集合视为一个类而非集合，从而避免了悖论的发生。这种方法区分了集合和类，使得集合论能够避免内在的逻辑冲突，同时也允许数学家更加精确地处理无限性的概念。

争议与接受

集合论现已得到很好的确立，在其形式化符号中，它是现代数学的基础。超限数是大学数学课程的标准内容。然而，当康托尔发表他的理论时，他受到了严厉的批评。

在康托尔的时代，基督教神学家和一些数学家对于无限概念持有不同的看法。基督教神学家认为，唯一可以被视为无限的存在是上帝，任何其他类型的无限存在都被视为不可接受。对他们来说，无限是一种专属于神的属性，不应用于其他领域。而康托尔的同行数学家们则对他将无限概念形式化表示怀疑。他们倾向于将无限视为一个抽象的概念，而不是一个可以具体定义和操作的数学术语。对这些数学家来说，无限更多地是理论探讨和思想实验的基础，而不是数学中可以明确定义的对象。这些争议被认为是导致康托尔心理疾病倾向的原因之一。

在20世纪，康托尔的工作被接受并进一步发展。大卫·希尔伯特创造了“康托尔天堂”的说法：

没有人能将我们从康托尔创造的天堂中驱逐出去。