费马的遗产：探究素数的猜想和可构造多边形

在 17 世纪的法国，数学家皮埃尔·德·费马其是一位法官，但他作为业余数学爱好者，以其对数学的深厚热情和在数论领域的突出贡献，在数学史上占据了不可忽视的地位。

费马的许多猜想和定理不仅在当时引起了轰动，而且至今仍是数学家研究的焦点。他没有发表正式的论文，而是通过与同一时代的其他数学家进行书信来交流他的发现，这些书信以及个人笔记后来成为数学历史上无价的财富。

费马素数

费马对数论和数学问题的研究非常热衷，他致力于研究素数和它们的性质。特别地，他对于形如 2^(2^n)+1 的数表示出了极大的兴趣。这类数后来被称为费马数，它们由于特殊的形式和数学属性，引起了费马的极大关注。

费马研究这类数与他对寻找更大的素数的愿望有关，在研究这些数的过程中提出了一个猜想：所有这样的数都是素数。最初的5个费马数也都验证了他的设想：

然而，随着 n 的增长，费马数的大小呈指数级增加，验证它们是否为素数也随之变得极为困难。在费马那个时代，还没有有效的算法或足够的计算能力来处理这么大的数。这也是他猜想再往后这样 2^(2^n) + 1 形式的数也都为素数。

直到 18 世纪，伟大的数学家欧拉对费马的这个猜想进行了挑战。他发现了就在下一个费马数 F_5 = 2^(2^5) + 1 就并非素数(只能称为费马数)，因为它可以被 641 整除(如下式所示)，这个结果一经发现就推翻了费马的猜想。

费马数与尺规作图的关联

数学家们的探索并未停步，另一位数学巨匠高斯将费马数的研究与几何学的另一项千年挑战联系起来，这其就涉及了古希腊数学中尺规作图的一个著名问题：如何构造出任意正多边形。高斯在这个问题上取得了突破，并发现了费马数在构造正多边形中的决定作用。

✪ 请见[遇见数学]之前发布过的《1801 年高斯解开了千年之谜：可作图多边形问题》一文。

尺规作图是一种古老的数学问题，涉及到使用无刻度的直尺和圆规来绘制几何图形。古希腊数学家十分感兴趣于如何才能把任意的正多边形通过尺规作图绘制出来。

他们先是发现，正三角形（3 边）和正方形（4 边）可以很容易地用直尺和圆规来构造。

更进一步，古希腊人通过中心角倍分法来构造更多正多边形。如果能够构造出一个正多边形的中心角，那么相应的正多边形就可以用尺规和圆规构造出来。通过连续把中心角分成两份，他们能够构造出具有 4, 8, 16, 32,...,4n 边的正多边形，以及 3, 6, 12, 24,..., 3n 边的正多边形。

除了中心角倍分法，古希腊人还知道如何构造正五边形。由于正五边形的中心角是 72°，他们利用这个角度，再结合正三角形的 120° 中心角，构造出正十五边形。这是通过几何方法得到一个新的中心角：2 × 72 - 120 = 24°。因此，他们还可以构造出 15, 30, 60, 120,...,15n 边的正多边形。

然而，对于更一般的正 n 边形，如 7、9、11 这样的正多边形，古希腊数学家束手无策出。

这个问题一直悬而未决，直到两千年后的 19 世纪初，年轻的数学家高斯彻底解决了这个古老的问题。高斯在他的著名著作《算术研究》中证明了：一个正 n 边形能否使用圆规和直尺作出，当且仅当 n 是一个费马素数或是不同费马素数的乘积。

就这样，高斯不仅解决了问题，而且还给出了完整的理论：哪些正多边形可以用尺规作图，哪些则不能。

这个结果对于理解尺规作图的可能性和限制具有深远的意义，不仅展示了数论在几何构造中的应用，也展现了数学中不同领域之间的深刻联系。

高斯的这个发现对人们对费马数的研究产生了新的兴趣，数学家们试图找到更多的费马素数，但直到现在，依旧没有新的费马素数被发现。这引出了一个自然的问题：我们所知的五个费马素数是不是已经全部的了？

对此，现代数学家倾向于认为不再有其他的费马素数了，尽管这还没有被严格证明。费马数的稀有性和它们在数论中的特殊地位，使得这个问题至今仍然是数学界的一个研究热点。