如何证明√2是无理数？大学学历未必会，看完这个初中学历足矣！

像是很多希腊神话中的英雄一样，哲学家希帕索斯曾被天神处以致命的惩罚，但他到底犯下了什么罪行呢？希帕索斯的罪过是一个数学证明，他发现了无理数！

希帕索斯属于一个被称为“毕达哥拉斯主义数学家”的群体，他们对数学有着宗教式的崇敬，他们的格言是“一切都是数学”，数字是构建宇宙的基石。

而这个信念其中一条就是从宇宙学，形而上学，音乐知道道德的一切，都遵从不变的规则，称之为数字的比值。因此，任何一个数字都可以被写成比例的形式。

比如，5等于5/1，0.5等于1/2。即便是无限循环小数，比如0.3333（无限循环），也可以被精确地表达为1/3！所有的这些，我们现在都称之为有理数。

但是希帕索斯发现了一个违背这个和谐的规则的数字，它被认为是不应该存在的，比如说π和√2。

这个问题起始自一个非常简单的图形，一个边长为一个单位的正方形。根据勾股定理，正方形对角线的长度是√2.但是在尽力尝试后，希帕索斯无法将其表达为两个整数的比值，但与其因此而放弃，他决心证明这是不可能做到的事。

首先，希帕索斯假设毕达哥拉斯的世界观是正确的，即可以用两个整数的比来表达√2，他用p和q表示这两个假设的数，假设这个比值已经被公约到其最简形式，p和q之间就不存在任何公约数。

为了证明√2不是有理数，希帕索斯只需要证明p/q是不存在的，所以，他在等式两边都乘以q，然后将两边平方，就得到这样一个等式：2q²=p²

任何一个数乘以2都将得到一个偶数，所以p的平方只能是偶数。如果p是奇数，那p的平方就不可能是偶数，因为奇数的平方永远是奇数，所以p也是偶数，因此p可以写成2a（这里a是一个整数）。我们把2a代入等式并简化，就得到这个等式：q²=2a²

再说一次，2乘以任何整数都将得到一个偶数，所以，既然q²一定是偶数，那么q也一定是偶数，这样p和q都是偶数！

但如果真的是这样，它们就有了公约数：2，这和最初的假设（p和q不存在任何公约数）相矛盾。希帕索斯就是如此证明这样的比值是不存在的！这叫做反证法。但是据传说，天神并不喜欢被认为是矛盾的。

尽管我们不能以整数比值的形式来表现这些无理数，我们却可以在数轴上把其中的一些标绘出来，比如说√2，我们需要做的就是画一个两边长为一个单位的直角三角形，斜边的长度就是√2，它可以被延伸到数轴上！

这里的关键就是，小数和比值仅仅是表达数学的方式，√2只是一个两条边长都是1的直角三角形的斜边！

同样地，π这个有名的无理数，永远精确地等于它代表的圆周率，也就是圆的周长和其直径的比值，它的近似值约等于22/7，或者355/113，但永远都不能精确地等于π。

我们永远都不会知道希帕索斯最终的结局，但我们知道，他的发现带来了一场数学的变革。所以无论传说是什么样的，都不要惧怕去探索那些所谓不可能的事！