原子模型：玻尔与索末菲的恩怨情仇

邢志忠｜撰文

原子的“太阳系模型”是由新西兰裔英国物理学家欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford）在1911年提出来的[1]，其要点其实很简单：原子的质量几乎全部集中于尺度极小、带正电荷的核心区域——原子核，而携带等量负电荷的电子则围绕原子核沿圆周轨道运动，电子的数目决定了该原子的化学性质。许多物理学家认为，这是卢瑟福一生中所做的最重要的科学发现，其意义甚至超过了他在1908年荣获诺贝尔化学奖的工作，即关于元素蜕变及放射化学的研究成果。不过卢瑟福的原子模型存在一个难以自圆其说的严重问题：围绕原子核作圆周运动的电子会由于不断辐射电磁波而损失能量，导致其轨道半径逐渐减小，直至最终落入原子核而造成原子结构的塌缩。但真实情况并非如此，因为原子是稳定的。令人信服地解决了这一难题的是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）和德国物理学家阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld），他们分别于1913年和1915年提出了量子化的原子模型，其中的电子分别沿圆周轨道和椭圆轨道运动。

1. 量子化的氢原子模型‍‍‍‍‍

19 07 年 5 月， 36 岁的卢瑟福从加拿大返回英国，出任曼彻斯特大学物理系主任。一年之后，自认为算是物理学家的他却莫名其妙地获得了诺贝尔化学奖。不管怎样， 卢瑟福的杰出科学成就和巨大个人魅力使得曼彻斯特很快就成为国际核物理学的主要研究中心之一，吸引了世界各地的年轻学子前来访问学习。

1912年3月，27岁的丹麦青年玻尔来到曼彻斯特大学，在卢瑟福的实验室开展了为期4个月的访问研究。他选择的研究课题就是卢瑟福的原子模型，而问题的关键在于如何理解原子的稳定性。玻尔假设经典物理学对原子是无效的，需要借助德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck）在1900年提出的量子假说才能正确地描述原子的结构 [2] 。电子在氢原子中只能处于某些确定的圆形轨道上，即所谓的定态轨道。处在定态轨道上的电子并不释放能量，而只有当电子从一条轨道跃迁到另一条轨道时，才会辐射量子化的电磁波，即光子。这就定性地解释了氢原子的稳定性问题，但这并没有让玻尔感到满意，因为该模型似乎还缺少定量的预言能力。

1913 年 2 月初，已经回到哥本哈根大学的玻尔受到同事的启发，开始关注描述氢原子谱线波长的巴耳末公式，后者是由瑞士数学教师约翰 ·巴耳末（ Johann Balmer ）在 1885 年总结出来的经验规律。玻尔惊喜地发现，定态轨道和量子跃迁的想法其实可以用来推导出巴耳末公式。他后来回忆道， “就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，茅塞顿开”。

于是玻尔完善了自己在曼彻斯特建立的氢原子模型，其要点如下：（ 1 ）电子在一些分立的定态轨道上围绕原子核作圆周运动；（ 2 ）可能的定态轨道取决于电子的角动量，后者必须等于 “约化的”普朗克常数 的整数倍；（ 3 ）电子在定态轨道上运动时既不发射也不吸收能量，只有当电子在不同的轨道之间跃迁时，才会发射或者吸收单频光子，相应的谱线波长满足巴耳末的经验公式。

1913年7月、9月和11月，经由卢瑟福的推荐，玻尔在久负盛名的英国《哲学与科学杂志》（Philosophical Magazine and Journal of Science）上连续发表了3篇主标题均为“关于原子和分子的结构”（On the constitution of atoms and molecules）的系列论文 [3] ，正式提出量子化的氢原子模型，从而成功地解释了原子的稳定性问题和实验上所观测到的氢原子光谱特征。

除了卢瑟福本人，率先对玻尔这个名不见经传的年轻人的新理论做出正面反应的大物理学家，还有慕尼黑大学的理论物理学教授兼理论物理所所长索末菲。在1914年6月1日写给法国物理学家保罗·郎之万（Paul Langevin）的信中，索末菲评论道，“玻尔的模型看起来很有道理，但我相信需要以更基本的方式重新诠释这一模型”。当时对玻尔的原子模型构成直接挑战的一个重要实验事实是“斯塔克效应”，即德国物理学家约翰尼斯·斯塔克（Johannes Stark）在1913年所发现的氢原子光谱线在电场的影响下会发生分裂的现象 [4] 。于是如何修改玻尔模型以解释新的实验结果就成了一个迫在眉睫的理论问题。作为一位已经45岁“高龄”的大学教授，索末菲在第一次世界大战爆发之际无需服兵役上前线，因此他利用1914和1915这两年时间推广了玻尔的理论，提出了自己的相对论性氢原子模型，从而合理地解释了氢原子光谱的精细结构 [5、6] 。

索末菲模型的主要新意在于：（ 1 ）引入电子的椭圆轨道代替圆周轨道，这与行星沿椭圆轨道围绕太阳运动的宏观实例是一致的；（ 2 ）将狭义相对论应用于描述高速运动的电子，而不是像玻尔那样忽略相对论效应，从而使得阿尔伯特 ·爱因斯坦（ Albert Einstein ） 的相对论和普朗克的量子论在原子模型中都有所体现；（ 3 ）发明了一种将多个自由度同时量子化的途径，即电子轨道的空间量子化方法。

不过老成持重的索末菲并没有马上发表他的理论，而是分别于1915年底和1916年初在巴伐利亚科学院的会议上报告了有关研究成果，并将基于报告总结出来的备忘录寄给了爱因斯坦、玻尔等同行。直到1916年7月，索末菲才在德文期刊《物理学年鉴》（Annalen der Physik）上正式发表了他的原子模型，论文的题目为“关于光谱线的量子理论”（Zur Quantentheorie der Spektrallinien） [7] 。在这篇具有里程碑意义的论文中，著名的 精细结构常数 首次现身，它描述了氢原子光谱线在电场中发生相对论性分裂的程度。一旦取 ，则有关解析结果将自动还原到玻尔模型的情形。

玻尔早期对索末菲的工作给予了极高的评价，他自己也曾尝试将相对论和椭圆轨道用于氢原子模型。1916年3月19日，玻尔在写给索末菲的信中说道，“不仅我本人，这里的每个人都对你的重要而美妙的结果表现出了极大的兴趣。我写这些的目的就是想告诉你，在我自己的论文发表之前，收到你的论文是多么令我喜出望外！鉴于你的工作让我眼界大开，我当即决定暂缓发表自己的东西，而是先把它从头到尾再仔细考虑一遍”。不过后来当很多著名科学家推荐玻尔和索末菲一同获得诺贝尔奖时，玻尔的态度却发生了令人意外的转变。1922年，玻尔一个人独自荣获了诺贝尔物理学奖。从50年后解密的诺贝尔基金会的相关文件中可以看出，当时玻尔本人强烈反对与索末菲分享诺贝尔奖，尽管两个人是好朋友 [8] 。

2.神秘的精细结构常数

索末菲在他的相对论性原子模型中所引入的精细结构常数α，也被很多物理学家称为索末菲常数。在高斯单位制中，该常数可由单位电荷e、真空中的光速c和 约化的普朗克常数ℏ 这3个非常基本的物理学参数表达出来，即 。它描述的是带电粒子之间发生电磁相互作用的强度，在较低能标的数值约等于1/137。2005年，慕尼黑大学物理系为了纪念索末菲这位杰出的科学前辈和培养了数位诺贝尔奖得主的大教育家，成立了索末菲理论物理学中心，并在办公楼内竖立了他的铜像，上面刻 着 α 的表达式。

由于早期对精细结构常数的实验测量存在一定的误差，这使得α的数值看起来更接近1/136。大约1929年前后，因在1919年5月29日观测到日全食而证实了广义相对论的英国天文学 家亚瑟·爱丁顿（Arth ur Eddington），做了一个大胆而天真的猜测：精细结构常数α的倒数很可能严格等于136。几年之后，当进一步的实验结果表明α的倒数更接近于137时，他又转而对幻数137 着迷起来，以至于他的学生和朋友拿他的名字造了一个谐音梗，戏称他为“Arthur Adding-one”（即137 = 136 + 1）。事实上，精细结构常数的大小是能标依赖的，当能量增至电弱对称性破缺的能标时，由于量子修正效应，该参数将增至1/128左右。因此对这样一个可变的“常数”作简单的数值游戏，其实是具有一定误导性的。

神秘的1/α ≈ 137 让一代又一代的物理学家既百思不得其解又钟爱有加。索末菲的两个得意门生魏纳 ·海森堡（ Werner Heisenberg ）和沃夫冈·泡利（ Wolfgang Pauli ） ， 终其一生都试图利用圆周率π 等简单且基本的数字表达出精细结构常数的倒数，但都没有获得令人信服的成功。当泡利于 1958 年 12 月 15 日在苏黎世的一家医院去世时，人们惊奇地发现他竟然死在了 137 号病房！这也许纯粹是个巧合，还是泡利本人生前自导自演的恶作剧？

生性幽默、甚至有点玩世不恭的美国实验物理学家利昂 ·莱德曼（ Leon Lederman ）面对幻数 137 也不甘寂寞。在 1979 年至 1989 年担任费米实验室主任期间，莱德曼擅自作主，给自己在实验室附近的独栋房子的门牌号取作 137 号，尽管周围的大街上其实没有这么多房子。尤其值得一提的是，大物理学家恩里科·费米（ Enrico Fermi ）有一张在黑板前讲课的著名照片，而黑板上赫然写着精细结构常数 的表达式。细心的读者会发现，费米把这个著名的常数错误地写成了 。 这不是在开玩笑吧？ 谁知道呢！ 其实写错了也没关系，因为一位科学巨匠记不准一些具体的公式或数字并不罕见，最重要的是他们的科学思想经常超乎常人的想象。

恩里科 ·费米（ Enrico Fermi ）在黑板前讲课的照片。图源：U.S. Department of Energy / Flickr

作为相对论性原子模型和精细结构常数的提出者，索末菲与诺贝尔奖失之交臂是一件物理学界倍感遗憾的事情。事实上，普朗克等大物理学家向诺贝尔基金会提名和推荐索末菲的次数累计多达80余次，比任何其他物理学家都多，但均无疾而终。或许诺贝尔奖评委会更偏好那些一举扭转乾坤的科学突破，而对索末菲一生积累的伟大成就的评价有些无所适从？无论如何，索末菲的名字都应该出现在二十世纪最伟大的物理学家的排行榜上。不仅如此，索末菲在教书育人方面的建树几乎无人能及：他的博士研究生中有四人获得了诺贝尔奖，他们分别是海森堡、泡利、彼得·德拜（Peter Debye）和汉斯·贝特（Hans Bethe）；而他的硕士研究生中也有三人荣获了诺贝尔奖，他们分别是莱纳斯·鲍林（Linus Pauling）、伊西多·拉比（Isidor Rabi）和马克斯·冯劳厄（Max von Laue）。这一点连爱因斯坦也不得不感到惊叹和佩服。慕尼黑德意志博物馆的米歇尔·埃克特（Michael Eckret）曾经如此这般地将索末菲与普朗克和爱因斯坦相提并论：“普朗克是权威，爱因斯坦是天才，索末菲是恩师” [9] 。

作为一位德高望重的老师， 索末菲特别讲究老派的德国礼仪，喜欢学生们在自己面前保持适度的恭敬，虽然他和年轻人在讨论物理问题时会把一切繁文缛节都忘掉。就连生性狂妄不羁的泡利对导师也是恭敬有加，甚至曾经一本正经地给索末菲写信道， “您紧锁的眉头总是让我深感敬畏。自从 1918 年我第一次见到您以来，一个深藏多年的秘密无疑就是，为什么只有您能成功地让我感到敬畏 …… ” 与泡利相比，海森堡对索末菲的感觉或许有所不同，毕竟自己和导师不仅拥有相同的星座，甚至连生日都是同一天： 12 月 5 日！作为射手座的一员，酷爱音乐和大自然的海森堡在亲历了第二次世界大战的风云变幻之后保持了乐观豁达的精神，并成功地将德国科学界从战后的废墟中重建起来。

作者简介:‍

邢志忠，中国科学院高能物理研究所研究员，研究领域为基本粒子物理学。著有原创科普图书《中微子振荡之谜》，译著包括《你错了，爱因斯坦先生！》《改变世界的方程》《希格斯》等。座右铭为“一个人偶尔离谱并不难，难的是一辈子都不怎么靠谱。”

参考文献：（上下滑动可浏览）

[1]E. Rutherford, The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom, Phil. Mag. Ser. 6, 21 (1911) 669—688

[2]M. Planck, On the theory of the energy distribution law of the normal spectrum, Verh. Dtsch. Phys. Ges. Berlin 2 (1900) 237—244

[3]N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules, Phil. Mag. Ser. 6, 26 (1913) 1—25; 6, 26 (1913) 476—502; 6, 26 (1913) 857—875

[4]J. Stark, Observation of the separation of spectral lines by an electric field, Nature 92 (1913) 401；

[4]A. Sommerfeld, Zur Voigtschen Theorie des Zeeman-Effects, Nachr. Ges. Wiss. Gӧttingen (1914) 207—229

[5]A. Sommerfeld, Zur Theorie der Balmerschen Serie, Sitzungsber. Münchener Akad. Wiss. (1915) 425—459

[6]A. Sommerfeld, Zur Quantentheorie der Spektrallinien, Ann. Phys. 51 (1916) 125—167

[7]H. Fritzsch, You are wrong, Mr. Einstein, Piper Verlag GmbH, München (2008)

[8]M. Eckert, How Sommerfeld extended Bohr’s model of the atom, Eur. Phys. J. H 39 (2014) 141—156