伊斯法罕的旋转风筝：伊斯兰主题图案的几何变化

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

在中世纪，伊斯法罕是重要的文化、贸易和学术中心。在萨法维时代（16-17 世纪），伊斯法罕成为波斯首都，当时伊斯兰几何装饰的创作达到了顶峰。我们所知道的许多最复杂、最精巧的设计都装饰在波斯建筑上，其中包括多层次设计，在这些设计中，不同尺度的图案组合在一起，相互补充，相互丰富。在这篇文章中，我们研究了伊斯法罕的五个围绕一个共同主题的双层设计。这些设计展示了各种技术，分析揭示了调和不相容的几何图形和对称性所需的一些独创性和微妙的欺骗性，并制作出令人满意的艺术作品。

主题

风筝是伊斯兰几何艺术中的特色设计元素。风筝本身可以单独排列成图案，也可以为其他元素提供结构框架。图 1 展示了两种用正方形排列风筝的图案。(a) 部分显示了四个风筝围绕中央正方形追逐的有限构图。由于名称不详，我们将其称为旋转风筝图案。我们还将说这种方向的图案是顺时针方向的变体，而其镜像则是逆时针方向的变体。第（b）部分展示了一个可以扩展到填满整个平面的重复图案。它包含了旋转风筝图案的两种镜像形式。

图1：有限和无限旋转的风筝图案。

伊斯兰装饰有三种形式：书法、花草和几何。所有这些都作为次要装饰形式应用到了旋转风筝图上。图 2(a)中的隔间采用了风格化的Kufic书法装饰；该设计取自伊斯法罕哈基姆清真寺（Masjid Hakim）中的一块小拼块板；Wade藏品[17]中的照片IRA 1017 显示了原作。网站 [14] 是有关Kufic书法的有用资源，并提供了许多碑文的译文。图 2(b) 显示的是突尼斯凯鲁万乌克巴大清真寺木门板上浮雕的阿拉伯式图案。乌兹别克斯坦撒马尔罕 TillaKari 伊斯兰学校的另一个花卉图案可参见 [17] 或 [15, 第 236 页] 中的照片 TRA 0732。它是银镀金石膏制品，饰带上有简单的花饰。在伊斯法罕的伊玛目清真寺（Masjid-i Imam）（以前称为皇家清真寺（Masjid-i Shah））的一个大iwan的两侧，有两个更大、更精致的花饰。它们构成了一对镜像的旋涡风筝图案，并用多色彩绘拼块绘制而成。文献 [17] 和 [15, 第 260 页] 中的 IRA 0225 号照片展示了其全貌。稍后我们将看到几何图形的例子。

图2 应用于旋转风筝图案的简单装饰示例。 (a) Kufic书法。(b)花卉图案。

虽然图 1(a) 中的有限图形是本文的重点，但我们也将列举几个图 1(b) 中重复图案的例子。Wade的档案中包含阿格拉要塞石雕浮雕（IND 0404 和 IND 0407）和斋浦尔大君宫殿格子屏风（IND 1019）的照片。伊斯法罕汗清真寺的木质门板和砖砌壁画的实例见 [1]。

正如这些例子所示，旋转风筝图在伊斯兰世界非常普遍。除了本身是一个图案外，它还是组织大型构图的有用工具，因此，人们在这个简单的形式上运用了各种风格和技术来构建复杂的设计。

图 3 展示的是伊斯法罕星期五清真寺（Masjid-i Jami）的西侧iwan。iwan是一个开放式的高拱形门廊，提供了一个用于装饰的大门面。这个例子很有意思，因为它有五块三种不同设计的旋转风筝板：拱门两侧的高窄板上各有两块，拱门正面的整个高度上都有，内墙北侧还有一块。我们将研究这些设计和另外两种设计的构造。

图3 伊斯法罕星期五清真寺的西面iwan

旋转风筝的几何图形

风筝是一个凸四边形，有两对相邻的等长边。我们假设风筝不是等边形，因此它有两条长度为 s 的短边和两条长度为 t 的长边。如果θ是两条长边之间的锐角，那么两条短边之间的钝角就是 180°-θ。注意 θ=2tan-1(s/t)

旋转风筝图案的几何形状非常简单。将构成外正方形的四条线称为框架，将包围内正方形并从其辐射出来的四条线称为转子。假设 x 是框架的边长，y 是转子中小方块的边长。那么 x = t + s，y = t - s。事实上，任何一对 x、y、s 和 t 都决定了另外两个。如果忽略刻度，整个图形就是由θ决定的。

图 4 展示了摆放旋风风筝图案的一种方法。首先，取边长为 s+t 的正方形 ABCD，在每条边上标上一个点，将其分成长度为 s 和 t 的线段，这样长线段和短线段就会交替出现在正方形的四周。以 E 为圆心划一条半径为 EA 的圆弧，以 F 为圆心划一条半径为 FA 的圆弧。这两条弧相交于 G，AEGF 就是所需的风筝。

旋转风筝图的构造简单，但这一特性并不足以解释其作为装饰图案的起源。可能是数学图表提供了灵感。10世纪的波斯数学家和天文学家阿布·瓦法(Abu 'l Wafa)撰写了《关于工匠所需的几何结构》(On The Geometric Constructions for The Artisan)一书，其中提到了几何学家和工匠之间的会议，会上介绍了理论构造并讨论了实际应用[13]。在第 10 章中，使用了剪贴法来构造给定面积的正方形。例如，要构建一个面积为 5 的正方形，可以放置两个单位正方形，使它们共用一条边，然后沿对角线剪切所得到的矩形；两组这些碎片加上另一个单位正方形就可以组成一个面积为 5 的正方形--图 5(a)。移除虚线段后，就得到了图 1(b) 中的周期图案模板；通过在边界正方形的边上进行反射，可以重复该模板。

图4 在正方形中制作风筝

图5 可能的灵感来源为旋转风筝主题。在(a)中t: s = 2:1，在(b)中t: s = 4:3。

在毕达哥拉斯定理的众多证明中，也有类似的图形。中国古籍《周髀算经》中包含了以 3-4-5 三角形为例对该定理的讨论--图 5(b)。现存最古老的手稿是上海图书馆收藏的一份 13 世纪的副本，但其中大部分内容要比伊斯兰教早数百年。伊斯兰艺术受到中国的影响，因此中世纪的伊斯兰学者也有可能知道这个证明。

Ozdural 认为[13]，图 5 中的图形可能激发了工匠们的艺术想象力。一旦知道了周期性图案，就可以很容易地提取出旋转风筝图案。他举例说，星期五清真寺西厢房内壁上的旋转风筝图案就是一种可能的应用。像 "卍 "这样的手性图案广泛存在于许多文化中，而 "回旋风筝 "图案似乎是伊斯兰装饰中独有的。也许它的发现需要一些数学功夫。

变体1

图 6(c)显示的是以星期五清真寺西墙正面上嵌板为基础的几何设计。两个面板都是逆时针方向。在这里，风筝上装饰的是在三角形网格上构建的周期性图案的一部分。图 6(a) 显示了图案的六边形重复单元。黑色图案与 "阿里 "这个名字的常见方形Kufic文字有关。在这里，文字被截断并反射出来；在托普卡帕卷轴(Topkapi Scroll)[12] 第 91 板的中心位置，对文字进行了很好的六边形处理。图 6(b)显示了如何使用六边形来填充一个小角度为 60° 的风筝。虽然图 6(c) 并非清真寺镶板的真实再现（马赛克的布局并不精确），但这种方法或类似方法显然是其构造的基础。

图6 伊斯法罕星期五清真寺的双层设计。

在此，我们需要对术语做一些说明。图中红色线条表示设计的基本几何结构，但在成品中并不明显。我们将自始至终使用这一惯例。我们还将红线勾勒出的形状称为拼块，将拼块的集合称为拼块。这是为了将它们与单独的陶瓷形状区分开来，我们称其为 "嵌块"（tesserae），它们被组合在一起形成面板或马赛克。

图 6(c) 是一个简单的双层设计示例：在一个设计中使用了两种不同比例的几何图案。在伊斯兰装饰中可以找到许多多层次图案相互作用的例子。在早期的作品中，大型图案背景中的空隙会逐渐被花卉或几何图案填满，使图案没有空隙。在一些最优秀的双层几何设计作品中，细分等数学过程被用于生成密切相关的大尺度和小尺度图案 [3, 4, 6, 10]。

在本文介绍的图案中，旋转风筝图是大型图案的基本框架，并通过以下方式对其进行辅助装饰：

·用书法、阿拉伯式花纹或几何图案填充风筝和中央广场的内部

·用阿拉伯式花纹或几何图案带勾勒出格子的轮廓，加粗框架和转子的线条。

这两种技术（填充和勾勒）分别对应于Bonner [3]提出的 2 级设计分类中的 A 类和 B 类。

在双层次设计的最佳范例中，大尺度图案和小尺度图案是互补的，即其中一个图案的突出特征得到另一个图案的突出或支持。图6(c) 没有做到这一点：风筝的六边形细分为构建小尺度图案提供了良好的基础，小尺度图案中的两个方向与风筝的长边对齐，但图案的焦点不够突出，无法在需要的地方增加重点。此外，风筝是独立处理的，而不是作为综合图形的一部分，因此它们的边界没有连续性。我们将分析的其他例子表明，要找到一个与旋涡风筝图的特征相匹配的小型图案是一个具有挑战性的问题。

变体2

图 7 展示的是 Madar-iShah Madrasa（国王之母或皇家神学院）的 A 型 2 层旋转风筝设计，该学院也被称为 Chahar Bagh Madrasa。中央大庭院的每个角落都有一个拱门，拱门通向一个八角形的小庭院，可以通往学院的各个房间。概况见 [15，第 293 页]。旋转风筝的设计在小庭院的屋顶下方重复出现。该设计有两种镜像形式，小型图案的构成也各不相同。

图7 来自伊斯法罕 Madar-i Shah 伊斯兰学校的 A 型 2 层设计。

马赛克是采用 "切割拼块 "技术制作的：将涂有单色釉的大块拼块切割成小块拼块，然后将其拼接成马赛克面板。在这里，黄色的星形砖块标出了隔间的形状，并体现了风筝长边和短边 2:1 的比例。风筝内部由看似随意排列的黑色和绿松石组成。这种小规模的图案是基于一种模块化设计系统，它是许多伊斯兰图案的基础 [6, 7, 10, 11]。该基本系统由图 8 所示的三个等边拼块组成：一个规则的十边形，上面装饰有十个小风筝，组成一个{10/3}星形图案；一个形似领结的六边形，上面装饰有两个与十边形上的风筝相同的风筝；还有一个凸六边形，上面有一个梭形图案。这些底层拼块的边界在马赛克成品中并不明显，但可以从设计中复原：黑色拼块是拼块上的前景图案，黄色拼块是十角形的中心，而绿松石拼块则是由拼块边缘的背景区域融合而成。

图8 通用模块化设计系统中的元素。

拼块的排列是模块化系统在这种双层图案中的典型应用：十角形拼块的中心与大型图案的突出特征相吻合，其他拼块的边缘或镜面线与风筝的轮廓对齐--见图 9。然后用更多的拼块填充隔间的内部。在这种情况下，十角形图案的中心是大面积图案中线条的拐角和交界处，同时也是风筝长边的分界线。框架上的十角形中心将每条边分成三个相等的部分。

图9 图7的第一阶段分析。

如果风筝的长边和短边的比例是 2:1，那么风筝中的小角度θ大约是 53.13°。在马赛克背景下，这个角度与 54°--一个与模块化系统的 10 重几何形状相符的角度--无法区分。但是，它与旋转风筝图案的 4 重对称不符。请注意，所有的十角形都具有相同的方向（顶点在顶部），仅这一点就将整个设计的对称性降低为 2 重旋转。整个图案是不对称的，因为每个风筝都有自己的不规则填充物。

根据连接十边形拼块的两个顶点或两条边的不同，大型图案中的线条可分为两类。连接两个顶点的线条由两块拼块的对角线和一块拼块的边缘覆盖；其他线条（除底部中心外）则由两块弓形拼块和两块拼块的不同序列覆盖。事实上，这些拼块组合产生的两个长度并不完全相等，图 9 所示的结构是一种几何谬误。图 10 显示了左上角风筝的小尺寸图案及其自然几何形状，清楚地说明了这一点。请注意断口内端的两个半领结拼块。顶部中心的缝隙和边界错位都很小，只要对一些棋子的大小和形状稍作调整，就能使小比例图案适合可用空间，而不会引起注意。

图10 图7中的小比例图案的一部分，它没有被限制为适合风筝。

其他风筝的填充物也做了类似的调整--在右下角的风筝中，"问题 "被推到了风筝的小角度，影响到了框架（如图 9 中的不连续性所示）。

事实上，使用这种策略是不可能用拼块完全覆盖正方形框架的。现在我们将简要证明这一点--对技术不感兴趣的读者可以跳到下一节。

在任何由图 8 中的三块拼块组成的拼块中，所有的十边形拼块都有相同的方向，而领结和梭子形拼块都可以出现在以 36°的重数对齐的五个方向上。我们要求与正方形中某条直线相交的拼块必须与该拼块的边线或镜像线相交。

我们假设拼块的边长为 1。我们将用图 11(a) 所示的参数δ和λ来表示拼块之间的一些距离。回想一下，正五边形的对角线和边的长度都是黄金分割比τ。我们有：

首先，我们考虑图 11 中的垂直距离。

（v1）边长为1。

（v2）图11（a）中的五边形表明十边形的半径（中心到顶点）是其边长的τ倍。

（v3）图11（b）显示领结腰部的距离为1 - 2δ。

（v4）具有关系式（v2）的图11（c）显示线轴的长对角线为2（τ-δ）。

图11 图8中拼块的属性。

(h1) 图 11（b）显示领结的长镜面线的长度为 2λ。

(h2) 回顾图 11（b）中两条红线的长度之比为τ，我们可以推导出十边形的顶点（中心到边的中点）为λτ。

(h3) 利用图 11(c)和关系式 (h1) 及 (h2) 我们可以推导出梭子的短镜面线的长度为 2λ(τ-1)。

图9中正方形的垂直线必须被距离（v1）–（v4）的合理组合所覆盖。这些由δ和τ参数化，因此正方形边长必须属于Q[√5]。正方形的水平线必须被距离（h1）–（H3）的有理组合覆盖；这些由λ和τ参数化。双根号λ不在域Q[√5]中。因此拼块覆盖的垂直和水平距离是不可通约的。

变体 3

图 12 显示的是从星期五清真寺西侧iwan 正面拍摄的下一对 A 型双层旋转风筝中的一个。与上一对（变体 1）一样，两幅图案均为逆时针方向。马赛克以黑色和金色为主，风筝以白色勾勒。在 Madrasa 的设计（变式 2）中，由于使用了 10 点的星星而产生的问题在这里得到了避免，使用了 12 点的星星。这些星星与整个设计的 4 重对称性以及边框和内部正方形四角的 90° 角相吻合。

图12 伊斯法罕星期五清真寺的A型两层设计。

图 13 显示了设计的基本结构。12 点星形由圆形表示。以相邻中心之间的距离为单位，我们可以看到风筝的长边和短边的比例为 4:2，因此 θ≈53.13° 。面板被细分为 20 个单位方格和 8 个边长比例为 2:1 的小风筝。为了形成马赛克，每个小正方形都用标准的星形图案填充，四角的中心是 12 点星，中心是 8 点星。这种图案覆盖了整个面板的一半以上。小风筝上的装饰采用的是类似图 10 中的蝴蝶结拼块和梭形拼块的拼块，但根据十二角形拼块方案的角度进行了调整。12 点星与阴影圆中的局部几何形状不符（如果等距排列，则无法与风筝的边对齐），但这并不影响视觉。

我们已经看过三个 A 类型（填充）的例子，现在我们来看看 B 类型（勾勒）的例子。

图13 对图 12 的分析

变体 4

图 14 显示的是星期五清真寺西井湾内墙著名的双层旋转风筝图案。照片 IRA 0520、IRA 0604 和 IRA 0605 提供了更广阔的视角和一些细节[17]。

图14 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 层设计。

勾勒出框架和转子的条带由 10 点星形片段组成。如图 15(a)所示，将这些星星的中心点连接起来，就可以将条带分成近似正方形的单元条。以正方形的边长为单位，沿着带子的中心线测量，我们可以看到框架的每条边长为 15 个单位，而中央正方形的边长为 5 个单位。因此，每个风筝的边长（同样）是 2:1 的比例。

图15 对图 14 的分析

根据图15(b) 所示的模板，在每个正方形单元格中填充一个图案，就形成了小尺寸设计。这个图案是用另一个模块系统构建的，这次有四个装饰图案：一个带有{10/4}星形图案的正十边形、一个带有{5/2}星形（或五角星形）图案的正五边形、一个带有风筝图案的黄金分割等腰三角形和一个带有箭头图案的梯形。该模板可以重复使用，形成周期性的星形图案--请参阅 [17] 中的 IND 0705 号照片。将该模板应用于图 15(a) 中的正方形单元格是有问题的，因为模板本身不是正方形（高度约为宽度的 95%）。因此，需要对嵌块进行一些处理才能使其适合。五角星受变形的影响最大--它们在马赛克中明显不规则。

尽管大尺度图案具有 4 重对称性并被分解为正方形，但模板上的图案却只有 2 重对称性。在图 15（a）中，模板的方向用模板中心的双箭头图案表示；框架周围的副本垂直排列，而转子中的副本则从右上角到左下角排列。

转子中的条带与框架中的条带之间的夹角约为 54°，因此与模板底层的 10 重几何图形相吻合。这意味着小尺寸图案中的星星和其他图案有可能在整个设计中保持一致的排列（如变体 2）。然而，如果制作马赛克的工匠意识到了这一点，要么他们认为这一点并不重要，要么他们在设计布局时犯了错误。在马赛克中，框架中的星星有一个垂直的尖顶，而转子中的星星有一个水平的尖顶。如果将转子旋转 90°，所有的星星都会有相同的排列方式，而且在转子与框架的交界处，小比例设计也会兼容。在马赛克中，情况并非如此，需要进一步的变戏法来掩盖它。

星形摆放

当长度参数 x、y、s 和 t 为整数时，可以在旋转风筝图形上放置花朵或星星等离散图案，使其中心位于图形上，有些图案与线条的角和交叉点重合，并且沿图形所有线条等距排列。

图 16(a) 显示了旋风风筝设计的模板，其中 x = 11，y = 3。这意味着θ≈59.49°，这个角度在实际应用中与 60°无异。该图由正方形条带组成；在转子与框架相接处，条带被简单叠加，在每个交界处相接的两个正方形同心。

图16 带有 12 点星形图案的新型 B 型 2 层设计。

要创建 B 型图样，我们需要找到一个具有正方形重复单元，并且与 90°和 60°交点兼容的星形图样。我们在此不解释星形图案的构造，相关信息请参见文献[5, 8, 9]。不过，12 点星形显然是符合这些要求的候选图案。

图16(c)显示了一个传统图案的四个重复单元，该图案取自Bourgoin的第94版[2]。它采用了另一种装饰拼块模块系统：3 边、4 边和 12 边的正多边形，以及在等边三角形两边各竖起一个直角等腰三角形而形成的盾形拼块 [16，第 18 页]。图16(d)显示了在图16(a)的每个方格中放置该重复单元的结果；转子和框架之间的连接采用了图 16(b)所示的简单斜接。结果是一个 B 型 2 层旋翼风筝图案，12 点星星（图中为黄色）沿带状中心线等距分布。

尽管中世纪的艺术家们有可能绘制出这样的图案，但我们并不知道有哪件旋转风筝的主要星形图案是沿着边框的中心线排列的。最接近的是照片 [17] EGY 1609 中的边框图案，该图案显示了一个转角 90° 的带状 12 点星形图案。

在大多数 2 层设计中，小尺度设计是星形图案，大尺度设计的决定性特征（角和交叉点）位于小尺度设计的星形中心。在 B 型设计中，大尺度设计的决定性特征是带状边界上的角。

在图 14 的示例中，10 点星形图案的中心点尽可能沿带边均匀分布。框架的外角、中央正方形的角和风筝的 90°角都位于星形中心。风筝的钝角和锐角与星形中心并不自然重合，尽管星形被放置在框架上下两侧的锐角处。

图 17 显示，可以设计出所有带状边界长度都是整数的旋转风筝。在转子和框架的每个交界处都有一个 3-4-5 三角形，带宽为 4 个单位。沿带中心线测量，x = 36，y = 12。这意味着风筝的长边和短边之比为 2:1，θ≈53.13°。

图17 具有整数边界的带状网络。

当试图选择一个几何形状与旋风风筝设计相匹配的星星时，最好能找到一个近似于θ的 360°的分数。分母可以直接或通过简单的关系给出一个合适星星的点数。在这种情况下，3/20 是一个不错的选择。然而，要从多达 20 个点的星星上绘制图案是很困难的。小尺度几何图案最自然的选择是具有 10 重图案的星形图案。正如我们所见，这绝非易事。10重对称的图案与整个图案的 4重对称并不兼容：10 点星形图案在整个图案中具有相同的方向，因此一些带状边界会穿过相对的尖顶，而另一些则会穿过尖顶之间。此外，还存在制作一个正方形模板来覆盖带状图案，以及在垂直和水平方向上覆盖 3-4-5 三角形的问题。即使这样做了，小尺度的图案也可能会显得过于繁琐和复杂，不能有效地作为装饰--大图案和小图案之间的尺度和明显的复杂性差别太大了。

最后一个例子展示了解决星形摆放问题的另一种方法。

变体5

图 18 展示了星期五清真寺的另一个 B 型 2 层设计。其他视图见 [17] 中的照片 IRA 0721 和 IRA 0722。在这个例子中，将星星放在突出位置比等间距更重要。小尺度图案的基本结构如图 19 所示。将波段划分为单元的线条连接着星形中心。从左到右，沿着图框底部，我们可以看到四个正方形、四个矩形和最后一个正方形。每个矩形的宽度由其包含的等边三角形决定。这种排列在框架的其他边上重复出现。AB : BC = √3，因此 θ = 60°。

图18 伊斯法罕星期五清真寺的 B 型 2 层设计。

要制作转子，从 A 处架设一条线，与框架底部成 60°角。在框架的两侧重复上述步骤，并将四条线延长，直到它们相交。例如，从 A 开始的直线与从 D 开始的直线在 E 点相交。这四条直线在图形中间围成一个正方形，并将其细分为 3×3 的全等正方形阵列。这些正方形比框架中的正方形小：EF 约为 CD 的 94%。右下方的风筝由直线 CF 完成。注意 CF 和 DE 不是平行的，而是偏离框架的。将 CF 的中点标记为 G。

这种蜂窝状结构为布局小尺度图案提供了框架。主要的星形图案有 12 个点，因此与条带四角的 90°角和 60°角相匹配。中央阵列中的 16 颗星星排列整齐，使其尖顶位于晶格边界上；相邻星星的尖顶相触。框架中的 12 点星星排列整齐，使晶格边界在星尖之间通过--这种差异可能有助于掩盖它们比其他星星相距更远的事实。位于 G 处的星星标志着两种方向的过渡，共有 13 个点。框架中的正方形单元中心包含 8 个点的星形图案。三角形 CDG 几乎是等边的（C 处的夹角约为 62.19°），这对于应用其他三角形的装饰来说已经足够接近了。

每种晶格都有自己的填充物，而且这些填充物的应用始终如一。整个图案没有突兀的并列或突兀的变化，而是巧妙地展现了各种图案之间看似毫不费力的过渡。

结论

上面讨论的例子突出了在试图设计和制作两级旋转风筝设计时遇到的一些问题。设计离散图案（如B型图案中沿表带中心线均匀分布的花朵）所需的数学很简单，中世纪的工匠也能理解。研究星星图案更加困难，但通过实验发现旋转风筝的一些形状是可能的，它们的角度与星星的几何形状一致。尽管如此，应用星形图案来覆盖乐队仍然存在理论和实践上的挑战，中世纪的艺术家们提出了巧妙而有吸引力的解决方案。

参考文献

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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