解读微积分之谜，看看天才数学家是如何思考的！

微积分的历史可以这样描述：一条来自柏拉图（Plato，前427—前347），经阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴罗的积累，到牛顿发生根本质变，形成了运动学特征的微积分；另一条来自德谟克利特（Demokritos， 前460～前370），经开普勒、费马、帕斯卡和惠更斯的积累，到莱布尼兹发生根本质变，形成了原子论性质的微积分。牛顿(Isaac Newton，1643—1727)在1665—1667年间所做的工作和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)在1673—1684年间所做的工作就分别是这两条主线上的各自的质变。它们是微积分演化史上不朽的里程碑。

李文林老师的《数学珍宝》一书，收录了古今中外最经典的一百篇数学著作。其中，在“微积分的制定与分析的形成”一章中，收录有开普勒、卡瓦列里、费马和沃利斯等先驱们的启发性著述，以及牛顿和莱布尼茨发明微积分时的详细文献资料。这使得我们可以一睹先贤的风采，进而了解历史上伟大的数学家们是怎样思考问题的。

开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）不仅在天文学上闻名于世，其在数学上也是积分学的先骑。他的《测量酒桶的新立体几何》一文，系统整理了阿基米德（Archimedes，前287—前212）的几何学研究，对其主要结论给出新的证明方法——“夹逼法”，例如圆周率约是22/7，圆与其外切正方形面积之比是11：14等。而且，开普勒进一步推广了他的“夹逼法”，对一般旋转体比如椭圆的体积进行了有效地估计。

开普勒之后，卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647）发表《不可分量的几何学》一文，是对阿基米德的“穷竭法”尝试进行原理上的解释。卡瓦列里认为，点的大小和线段的面积等都是不可分量，不可分量的累加形成宏观几何体。不可分量思想直接启迪了后世的牛顿和莱布尼茨。

随着笛卡尔（Rene Descartes，1596—1650）和费马（Pierre de Fermat，1601—1665）发明解析几何，几何与代数融汇，微分法进入几何中，其中以法国业余数学家费马的《求极大值与极小值的方法》一文（1637年手稿）为代表。费马引入了增量的概念，然后让总的增量为零，略去高次方项，便得到求极大值与极小值的方法。并且，费马将这个方法用于切线研究，成功给出了抛物线在任意一点处的切线公式。

另一方面，不借助几何的无穷算术也在牛津大学几何教授沃利斯(John Wollis，1616—1703)的天才直觉下蓬勃发展，他的《无穷算术》一文，是分析进入数学的标志。下面的实例将说明这一问题。

在巴罗（Isaac Barrow，1630—1677）的教导下，在上述著作的影响下，牛顿横空出世，他的数学和力学思想成为开启近代科学之门的金钥匙，其著作《自然哲学的数学原理》更是科学研究的范本。1665年，牛顿开始研究切线问题，切线的斜率对应运动学上的速率，牛顿发现，假如路程和时间各自增加自身的小o倍，那么方程依然成立，并且在略去小o的高次方项后，增量的比正好是速率。

牛顿的小o法可以推广到任意方程之中，而方程对应几何曲线，于是，任意曲线在任意点处的切线问题便被牛顿完美地解决了！牛顿还发现了小o法的逆过程，可以由速度方程求出位移方程。他将这两种计算方法整理成流数法，并且认为，小o便是卡瓦列里所说的不可分量。

流数法的第一部分，被称为“正流数术”，是已知流量间的关系求流数间关系的问题，牛顿通过实例给出了一般的计算方法。这对应之后的隐函数求导问题。流数法的第二部分，被称为“反流数术”，是已知流数间的关系，求流量间关系的问题，牛顿也通过实例给出了一些计算方法。这便是之后的微分方程的求解问题。

由于小o的无限小特性实在难以把据，牛顿在晚年抛弃了不可分量思想，改用“首末比不是无穷小增量之比，而是比的极限”来描述流数，极限的概念被柯西（Cauchy，1789—1857）所继承，成为应对第二次数学危机的重要工具。

牛顿的流数法很晚才正式发表，在此之前，只有他一人了解这种算法。而对于微积分的传播，莱布尼茨居功至伟，他发明的微分和积分符号，至今沿用。1684年，莱布尼茨发表了第一篇微分学论文，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。此文系统阐释了他1673年以来的思考结果，定义了微分，给出了微分的一般算法和应用。

莱布尼茨认为，微分dx，dy等是实实在在的无穷小量，它与相应的x,y的瞬时增量成正比，将方程中的项以微分算式表示便得到微分方程，而微分方程的求解则是逆转微分算法。

两年后，莱布尼茨的第一篇积分学论文发表，其中定义了积分符号是sum中s的拉长，代表微分的和，积分与微分是互逆的运算，求面积求路程是积分问题，求切线求速度是微分问题。莱布尼茨证明，任意曲线与横坐标组成的曲边梯形的面积，其随坐标的变化速率曲线，正好是本曲线沿坐标轴的平移结果，这一定理在后世被称为牛顿-莱布尼茨公式。它标志着微积分的正式发明。

岁月悠悠，一晃五十年，正当人们为微积分的强大与精准而惊叹时，一位神学大主教贝克莱（George Berkeley，1685—1753）以其严谨的形式逻辑，指出了微积分计算过程中的致命错误：小o或微分到底是不是0，为什么可以忽略高次项。它动摇了微积分的逻辑基础，引发了历史上第二次数学危机！