多菌株传染病建模理论与方法 | 生物数学丛书

纵观传染病史长河，从早期的雅典大瘟疫、伤寒、天花、麻疹、黑死病到近现代流行的疟疾、艾滋病、严重急性呼吸综合征(传染性非典型肺炎，SARS)、甲型H1N1流感、禽流感亚型病毒H5N1等类型的传染病，传染性流行病一直是威胁人类健康和社会经济的大敌。随着全球经济一体化、交通网络现代化，以及世界旅游业高速发展，流行病传播的广度和速度都有了大幅度的提升，因而也增加了此类疾病的防控难度。截至2003年8月7日，全球累计非典型肺炎病例共8422例，死亡919人，死亡率近11%，涉及32个国家和地区。非典型肺炎传播速度之快，死亡率之高超出了人们的想象。据报道非典型肺炎导致全球经济损失达300亿美元，使亚洲经济增长下降6%。其他流行性疾病也都不同程度地给人类健康带来巨大危险和经济发展造成巨大损失。为了有效预防、控制此类传染性疾病的传播，人们迫切需要对它们的传染规律、发展趋势和防治策略做深入研究。这是当今世界需要亟待解决的一个共同问题。

数学模型是研究传染病传播的强有力工具。Bernoulli 于1760年利用数学研究了天花的传播。Hamer于1906年通过构建离散的数学模型研究麻疹的反复流行。1911年, Ross利用微分方程模型研究疟疾在蚊虫和人群中的动态传播。1927年, Kermack 和McKendrick首次利用“仓室模型” 的思想研究黑死病在伦敦的传播及瘟疫在孟买的流行；1932年, 他们通过仓室模型的研究提出阈值理论，为传染病动力学的研究奠定了理论基础。随后，传染病动力学得到了空前的发展并取得了一系列有价值的成果。

▲仓室模型 (a) SIR 模型流程图；(b) SIS 模型流程图。仓室模型的核心是针对某种疾病依据其传播特征将某地区的人群分成不同的状态, 例如：(1) 易感类S(t)：表示t 时刻尚未染病但有可能被该病的病菌或病毒感染的数量；(2) 染病类I(t)：表示t 时刻被感染且具有传染性的染病者的数量；(3) 康复率R(t)：表示t 时刻从染病者中康复的数量。

已有的研究表明，引起疾病病原体的菌株(细菌或病毒) 表现形式呈现出多样性，如登革热病毒有4种不同表现形式；已测得的引起细菌性肺炎的肺炎球菌有60多种形式；每年都有新的流感病毒被发现；等等。2014年第20届全球艾滋病大会报告指出，33%的艾滋病毒携带者同时感染结核杆菌，25%的艾滋病患者直接死因是感染结核杆菌。全球艾滋病主要在异性间传播，这就增加了丙型肝炎(HCV)、乙肝(HBV)、疟疾和人体梅毒以及艾滋病毒共同感染的机会。高致病性禽流感亚型病毒H5N1是从低致病性亚型禽流感病毒演化而来，其中的演化过程通过交叉免疫实现。由于对结核病治疗不彻底而产生结核耐药菌株和药物敏感菌株之间的重叠感染，这些不同菌株之间的各种相互作用形式为共同感染(coinfection)、交叉免疫(cross-immunity)、重叠感染(super-infection) 及变异(mutation) 等。

由于传染病传播实验的不可重复性，因此对传染病传播的研究主要利用统计和描述性方法，再经过定性和定量分析研究其传播机理和流行规律，以及通过数值模拟的方法预测流行趋势。近年来，传染病动力学是定性和定量分析研究传染病传播规律的一种重要理论和方法。有众多学者用该理论揭示传染病的传播规律，预测流行趋势，分析影响疾病传播的主要因素，设计控制策略。

▲ 免疫-传染病模型示意图。实际上，对传染病的进一步理解取决于对免疫和传播过程以及两个过程相互关系的了解程度。从个体免疫和传染病传播机制来看，病原体侵入宿主后，宿主内病原体首先攻击易感细胞，随后免疫系统接收到被攻击细胞信号，启动一系列免疫反应建立免疫屏障抵御病原体入侵。在群体水平上，宿主可以通过多种途径感染病原体导致疾病传播，传播能力取决于宿主内部病原体浓度。上述两种过程在传染病传播中是相互联系的。从公共卫生角度来说，将传染病学和病原体演化过程相结合可为疾病控制策略，甚至精准治疗提供理论依据。

在自然环境中，不同种群能稳定地相互作用或相互制约而共存。多菌株传染性疾病在生物学和公共卫生领域都引起了广泛的关注。多菌株传染病研究的核心问题包括竞争排斥原理及何种机制导致菌株共存。菌株间的竞争是指多种菌株竞争同一资源(易感细胞或个体)，最终结果是只有其中一种菌株存活，其他菌株都灭绝。已有论著表明共同感染、交叉免疫、重叠感染及变异是不同菌株共生的主要机制，往往能导致多菌株疾病产生复杂的动力学性态。

（杨俊元等著. 北京：科学出版社，2024.1）一书主要以多菌株传染病传播发展为切入点，帮助读者系统深入掌握多菌株传染病建模思想，掌握分析高维动力学模型的研究理论及方法，了解疾病防控的关键因素和防控手段。

作者从2003年起一直从事多菌株传染病的建模与理论分析。本书凝结了作者及合作者近期大量的研究成果，重点介绍多菌株传染病模型理论分析方法、竞争排斥原理及共生机制的生物学解释。全书共6章：

• 第1章主要介绍要用到的基础理论工具——算子半群、积分半群理论、分支理论及解的适定性；

• 第2章系统阐述多菌株传染病传播的建模框架、研究理论及方法；

• 第3章主要介绍计算传染病模型基本再生数和侵入再生数的基本理论及方法；

• 第4章系统介绍年龄结构多菌株传染病模型的建模方法及理论分析工具；

• 第5章系统介绍多菌株传染病网络建模框架和理论分析工具；

• 第6章系统给出多菌株免疫-传染病模型的建模框架和理论分析方法。

本书可供生物数学、统计物理、公共卫生等方向研究生使用，也可供从事传染病动力学和生态数学的科研工作者使用。

本书的出版得到国家自然科学基金(No. 61570316，No.12001339 和No. 12271143)、教育部人文社会科学基金(No. 22YJAZH129)、山西省自然科学基金面上基金(No. 20210302123454)、山西省自然科学基金青年基金(No. 201901D211413)、山西省研究生教育教学改革优秀教材改革项目(No.2022YJJG036)、山西省回国留学人员教研教学项目(No. 2023-024)、疾病防控的数学技术与大数据分析山西省重点实验室、山西省科技创新团队、山西大学数学重点学科的资助。

本文摘编自《多菌株传染病建模理论与方法》（杨俊元等著. 北京：科学出版社，2024.1）一书“前言”“第3 章多菌株传染病模型建模框架”，有删减修改，标题为编者所加。

(生物数学丛书 32)

ISBN 978-7-03-076755-4

责任编辑: 胡庆家 范培培

（本文编辑：刘四旦）

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