学生为何想不到？——函数压轴题思维困局探讨

学生为何想不到？——函数压轴题思维困局探讨

九年级复习备考过程中，对于二次函数压轴题的解题教学，所有教师追求的境界，无一不是让学生获得突破思路，从而完成解答，我们在历次研题过程中，一直在探索如何让学生想到。作为数学教师，自身能解题，能讲题，是两个不同的层次，能解是基础，能讲是目标，学生学会是结果，在多数情况下，学生想不到，因此有很必要研究一个问题，那就是学生为何想不到，以一道九年级测试压轴题为例。

题目

如图1，已知抛物线C1：y=-x²+3x+4与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，交y轴于点C.

(1)直接写出AC的中点D的坐标；

(2)直线y=kx+b(k，b为常数)过AC的中点，与抛物线C1交于E，F(E在F的右侧)，若点E，A的水平距离与点F，B的水平距离相等，求k的值；

(3)如图2，将抛物线C1向右平移得到过原点的抛物线C2，抛物线C2的对称轴为直线l，直线y=mx+n(m,n为常数且m≠0)与抛物线C2有唯一公共点P，且与直线l交于点M，点M关于x轴的对称点为N，PQ⊥l于Q，求线段NQ的长.

解析：

01

(1)在读题过程中，求出点A(4,0)，点C(0,4)，利用中点公式得到D(2,2)；

02

(2)逐句解读题目条件：

“直线y=kx+b过AC中点”，我们将点D(2,2)代入，得b=2-2k，它的作用是消元，则直线y=kx+2-2k；

“与抛物线C1交于E，F”，我们联立方程kx+2-2k=-x²+3x+4，显然这个方程不能求数值解，只能得到含参解，并且较为复杂，虽然这也是一条路，但我们有更好的选择——韦达定理，整理后得到x²+(k-3)x-2k-2=0，得x1+x2=3-k，x1·x2=-2k-2；

“若点E，A的水平距离与点F，B的水平距离相等”，我们需要表示出点E，F的坐标，尤其是横坐标，不妨用x1和x2，由于并不清楚E，A或F，B的左右位置，需要加上绝对值，得|x1-4|=|x2+1|。于是可分类讨论，得到x1-4=x2+1，或4-x1=x2+1；

当x1-4=x2+1时，得x1-x2=5，则(x1-x2)²=25，利用韦达定理得到的两个等式，(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1·x2=(3-k)²-4(-2k-2)=25，整理得k²+2k-8=0，解得k1=2，k2=-4；

当4-x1=x2+1时，得x1+x2=3，于是3-k=3，解得k=0；

综上，k有三个结果，分别是0，2，-4；

03

(3)当抛物线平移时，原抛物线C1的顶点是(3/2，25/4)，平移后经过原点，相当于原抛物线上的点B平移到了原点，即向右平移了1个单位，则新抛物线C2的顶点为(5/2,25/4)，于是解析式为y=-(x-5/2)²+25/4；

直线y=mx+n与抛物线C2有唯一公共点P，我们联立方程mx+n=-(x-5/2)²+25/4，整理得x²+(m-5)x+n=0，其中△=(m-5)²-4n=0，于是n=1/4·(m-5)²；

将其代回到联立方程中，解得x=(5-m)/2，即点P横坐标，于是P((5-m)/2，(5-m)m/2+n)，而点Q纵坐标与点P相同，于是Q(5/2，(5-m)m/2+n)；

抛物线C2的对称轴为x=5/2，则直线y=mx+n与它的交点M为(5/2，5m/2+n)，由对称性得N(5/2，-5m/2-n)；

现在我们得到了Q与N坐标，所以能表示出NQ=(5-m)m/2+n-(-5m/2-n)，推导如下：

最后发现参数m全部消掉，只剩下NQ=25/2.

解题反思

我们发现，在学生寻找解题思路的过程中，存在三处难点待突破：

第一个难点是在第2小题中，理解E，A的水平距离与F，B的水平距离相等这句话，水平距离即两点横坐标的差，在不清楚左右位置关系的前提下，需要加绝对值，然后分情况讨论；还要与韦达定理结合起来，这又回到我们何时该使用韦达定理的问题上了，通常情况下含参一元二次方程，不能得到数值解时，会使用韦达定理来寻找两根和与积的关系，这也是当初我们在课堂上学习韦达定理时，要向学生明确的事实，即告知学生这个定理的使用条件；

第二个难点是直线与抛物线有唯一公共点，解读为联立方程，然后判别式△=0，得到一个含m，n的等式后，不知道如何用，当我们得到含两个参数的等式，一般会利用其中一个参数来表示另一个，这也是我们在学习二元一次方程组解法时的重要数学思想——消元。

第三处难点，就是学生在面对一个含多参的代数式时，会出现畏难情绪，我们发现本题实质上并没有对二次函数本身的图像性质有多么深入的探究，仍然是基于动点的线段长度研究，这在宜昌历年中考压轴题中都有出现，算是宜昌特色的考察方式。无论是存在性问题、定轴动区间类问题、定点定长问题、恒过定点或恒不过定点问题等，都以较复杂的代数恒等变换、多参数闻名，而这些所谓的“难”，在熟练掌握了以上技巧的学生面前，显得非常容易，所以我们在很多次中考后，听学生评价，这种题目，死算即可，不禁感到有些悲哀，数学可不仅是死算，素养也不仅是技巧。

学生在面对这些难点时，需要从题目条件出发去分析，在平时课堂上，总有少数学生，在看到题目之后，先问老师“有辅助线吗？”在得到肯定答复后，便开始猜在哪里画线，这种做法是本末倒置，条件都未开始分析，便去寻找辅助线，除了盲猜浪费时间，没有别的用处。

更有部分学生，特别是中等生，面对参数，手足无措，毫无头绪，这和平时课堂上听讲关系很大，可以断定他们在听老师分析题目时，没有认真或没有理解，只是抄写老师板书，然后认为自已懂了，课后也没有反思，所以那些解题方法，没有被大脑记录下来，只留下了“老师讲过”这种最浅显的意义。

对于课堂的意义则在于，教师在分析题目条件时，需要从学生认知出发，而不是自已的认知，很多解题高手，不一定是教学高手，原因正在于此。教师解题的思维模式和学生解题不尽相同，教师积累了大量解题经验，反复多年进行教学，“看出”辅助线在何处，然后用口诀让学生去记，并没有完成授业传道，更不用提解惑。很多解题模型，教师研究得非常深入，但学生没有，当我们把研究很深之后的结论给学生，其实是把压缩包给了学生，没有解压缩，里面的内容学生没有理解，只记住了压缩包的名称。不妨问下自已，在教学生之前，这些解题模型能够自已归纳完整，自已是如何归纳的，这才是需要教给学生的东西。

2023年部分省市优秀函数压轴题如下：

安徽省考卷

福建省考卷

河北省考卷

湖北武汉卷

上海卷

天津卷

北京卷

这些都属于比较有代表性的二次函数压轴题，它们的难度各不相同，有些比本题简单，但思维含量很高，即区分度很优秀。

当然，作为一套科学的中考数学试卷，不会把区分度押宝到最后的几道题目上，难度应呈斜锯齿状分布，科学命题，任重道远。