摩洛哥几何木制工艺品图案的对称

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

许多研究都涉及几何图案的分类和分析，尤其是在西班牙阿尔罕布拉宫发现的几何图案，但是很少有作者对摩洛哥图案感兴趣，尤其是那些制作在木头上的图案。对14世纪至19世纪不同时期的近千个摩洛哥木刻图案的研究和分析表明，尽管它们有很大的多样性，但只存在五个平面对称群。p4mm和c2mm是主要的，p6mm和p2mm不常见，而p4gm很少见。在这项工作中，它表明，使用一个称为Hasba的大师工匠的方法可能获得17个平面对称群。这组图案是通过Hasba方法从被认为是基本图案的n重玫瑰花结中产生的。这些基本元素之间的组合和重叠产生了其他基本元素。通过重复这些基本元素，有可能构建具有各种对称群的图案。在这篇文章中，只考虑未着色的图案，不考虑交织图案。

1. 介绍

20世纪早期，几位作者对各种文化的装饰和设计进行了对称分析(Polya, 1924; Speiser, 1927)。他们中的一些人对阿拉伯伊斯兰装饰图案特别感兴趣。在西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫发现的几何图案的对称群吸引了数学家和晶体学家的注意(Muller,1944;Makovicky & Makovicky, 1977)。对阿尔罕布拉宫图案的分析引起了关于17个对称群存在性的争论(Grunbaum & Grunbaum, 1986)

所有这些作者都把他们的工作集中在分类和分析阿尔罕布拉宫的图案上，他们使用了一套从瓷砖上手工切割出来的特征形状，称为zellijs (Makovicky & Fenoll Hach-Ali, 1997;Fenoll Hach-Alf & Lopez Galindo, 2003)。除了Castera(1999)和Makovicky & Makovicky(2011)，很少有作者对木质摩洛哥图案的对称性感兴趣。

摩洛哥的几何艺术(Tasstir)在11世纪非常繁荣，在马里尼德王朝(13-14世纪)时期达到顶峰，如Madrasa Attarine (Fez)这样的杰作。传统装饰中使用的雕刻或涂漆木材完全符合现代建筑的要求。雕刻或绘画的图案精美地装饰着陵墓、历史遗迹和豪华私人住宅的天花板和入口。

在马拉喀什和非斯古迹中发现的图案中，可以发现14世纪至19世纪不同时期的近1000种图案。这些图案是通过先前描述的一种称为Hasba的方法构建的(Thalal et al. 2011)。摩洛哥工匠广泛采用的Hasba方法，特别是那些在木材上工作的人，导致复杂的面板由图案组成，中央有对称的8x2P和12 x 2P，其中p = 0,1,2,3和5 x 2P，，(p' = 0,1,2)，被称为带的区域包围。玫瑰花结是图案中最重要的元素，预先决定了要创建的重复图案。

我们对摩洛哥木刻图案的研究表明，尽管它们有很大的差异，但只有5种平面对称群。p4mm和c2mm是主要的，p6mm和p2mm不太常见，而p4gm很少见(图1)。其他对称群的缺失可以解释为，工匠们已经达到了完成其他群的能力极限(他们没有对称群的知识或者他们没有高度发达的工具)，或者因为他们偏爱某些对称而忽略了其他对称。

目前的工作表明，用Hasba方法由n重玫瑰花结生成的17个对称平面群是可能的。通过重复被认为是基本主题的玫瑰花结，我们可以组成具有各种对称群的图案。本文给出的17个对称群的例子是用10重和12重玫瑰花形连续密铺平面得到的。这里只考虑未着色的图案，不考虑交织图案。

图1

(a)非斯Qaraouyine清真寺的对称群p4mm，(b)马拉喀什Medersa Ben Youssef的对称群c2mm，(c)马拉喀什Bahia宫的对称群p6mm，(d)马拉喀什一所私人住宅的对称群p2mm，(e)马拉喀什Dar Bieda的对称群p4mg。

2.用Hasba法构建10重和12重玫瑰花结

Hasba是工匠们最常用的几何图案制作方法。Thalal等人(2011年)对此进行了详尽的描述。工匠们从画出图案的大致框架开始工作，通常是正方形；矩形、八边形和其他多边形设计并不少见。在框架的边上，它们定义了经验单位划分q。因此，正方形的边的宽度L符合一个等式q:L = hq。比率h是图案的特定度量或Hasba。所获得的图案类型强烈依赖于h，h可以是大于8的整数或有理数(图2a)

在 "Hasba"的 h 值给定的情况下，绘制由四组交叉平行线构成的特定底层网格图案（图 2b、2c 和 2d）。这些线组通过位于正方形中心的四倍轴旋转、正方形边中点连接线的镜面反射和对角线的反射而两两相连。

图2

(a)正方形框架上的单元划分,( b)h = 16的网格,( c)(d)从非对称单元构建图案

如果 h 值较高，"Hasba"就会产生复杂的图案，其中包含一个中心为w重的玫瑰花结。这是一种星形图案，其中n是射线的数量。

n重玫瑰花结，例如n = 12，是图案中最重要的元素；它预先决定了要实现的设计，因此该图案根据其玫瑰花形对称性命名。

我们在此简要描述用12重玫瑰花结构建图案的过程，这允许获得下面生成的8个对称群。

我们从追踪h = 28的第一个网格开始。我们在其上连续叠加两个相同的网格，彼此成30度角。旋转轴位于网格的中心(图3a)。结果是一个新的网格，即所谓的12网格(图3b)。

然后，我们在线条上追踪中央玫瑰花结的一部分(图3c)和图案的一些元素。最后，我们通过应用镜面和四重对称轴构建整个图案(图3d)。

图3

(a)三个重叠网格。(b)12格网。(c)放大的公共区域;( d) 12重对称图案

通过Hasba方法获得的图案具有宽度等于以上定义的单位尺寸q的交错带。即使隐藏在构造的图案中，交错带也自然地出现在设计中；延伸构成图案的不同形状的边缘会显示出它们实际上，通过标出隐藏的丝带，更多的艺术交错图案会从初始图案中显现出来。该方法要求条带必须是无限连续的，并且它们的宽度在图案内以及在每个重复图案中必须是恒定的(图4)。这是Hasba的主要特点。

图4

(a)显示丝带：交错图案。(b)12层图案中的无限连续丝带。

其他n重玫瑰花结(其中n > 5)可以通过Hasba方法获得。它们构成了产生17个对称群的基本元素。在这篇文章中，我们将使用10倍(图5)和12倍玫瑰花结来建立17个对称群。

图5：十重对称图案

3 生成17个平面对称群

17个对称群是由Hasba方法构建的玫瑰花结生成的。为了描述组的生成，我们选择了两个图案系列。第一个系列是由一个十重玫瑰花结构建而成，第二个系列是由一个十二重玫瑰花结构建而成。

3.1.从十重玫瑰花结得到的对称群

如图6所示，包含十重玫瑰花结的摩洛哥图案包括互穿(IR)和非互穿(NIR)玫瑰花结的重复。

图6

(a)非斯Medersa Attarine的十重玫瑰花结(Sijelmassi，1991年)。

(b)非斯Medersa Bou Inania的十重玫瑰花结(Sijelmassi，1991年)。

十重玫瑰花结总是按照六种构型或它们的组合排列。在每一种配置中，Hasba规则要求带必须是无限连续的，并且它们的宽度必须是恒定的，并且等于单位分割q。

设x.y为平面的参考轴相对于x轴成90°、54°和18°取向的NIR分别称为R90、R54和R18。相对于x轴成90°的三个IR称为IRα、IRβ和IRδ(图7)。

图7 非互穿(NIR)和互穿(IR)基本元素。

最初的十重对称图案，我们从中提取了用于生成对称群的倾斜装饰，将角度值限制为54°和18°。这些角度不能任意选择，否则Hasba强加的连续性条件在要构建的图案中不再受尊重对于玫瑰花结的其他对称性，角度将明显不同。

这些构型被认为是包含产生图案对称群所需的最小几何信息的基本元素。

用这些基本元素或它们的组合来密铺平面，会产生包含对称元素的图案，这些对称元素决定了图案的对称群。

3 . 1 . 1 . p1、p1m和p2群。

具有基本元素IRα的平面的密铺给出了除平移之外没有任何对称元素的图案，并导致对称群p1。通过对图案p1的晶胞应用镜像，我们获得了群pm。此外，IRβ的密铺给出了具有双重轴的图案，并产生对称群p2(图8)。

图8

(a)p1 (b)p1m (c)p2对称群

3 . 1 . 2 . c2mm、c1m、p2mg和p2gg群。

基本元件R90和R54的组合给出了如图9(a)所示的在中心具有间隙的六个玫瑰花结的集合。通过根据Hasba方法的规则连接玫瑰花结的花瓣，我们可以用几种方法来填充这个间隙(图9b、9c和9d)。通过切掉它们的核心并丢弃其余的，我们得到三个单位拼块，称为UT1、UT2和UT3，如图9(e)、9(f)和9(g)所示。单位拼块UT1和UT2分别显示两个垂直的镜子(点组mm2)和单个镜子平面(点群m)，而单位拼块UT3不具有任何对称元素。

图9

(a)基本元素R90和R54的组合。(b)点群为mm2的主题·(c)点群为m的主题。(d)不含任何对称元素的主题，(e)、(f)和(g)单元拼块(UT)。

使用UT1和UT2的密铺分别生成c2mm和c1m1图案(图10)。

图10

(a) c2mm群的图案。(b)平面群为c1m1的图形。

元素UT3可以分成三个菱形(图11a)。仅从菱形I和II，我们可以构建三个主题。第一个是通过在菱面体II上应用垂直反射镜获得的(图11b)，第二个是由菱面体I和II形成的(图1lc)，并且其相对于垂直反射镜的图像给出了最后一个(图1 l1d)。通过应用双重轴，它们分别给出了三个具有对称群pmg的装饰FR1(图11e)、FR2(图11f)和FR3(图11g)。

图11

(a)分成三个菱形的元素UT3，(b)、(c)和(d)从UT3获得的三个图案。(e)、(f)和(g)三个图案FR1、FR2和FR3。

FR1拼接产生p2mg图案(图12)。z字形聚集体FR2-FR3给出了p2gg图案(图13)。

在图12和图13中，图案由基于玫瑰花形的板连接到仅具有对称性m的薄板构成。薄板的取向(向上或向下)给出不同的平面群(图14d)这是基于玫瑰花结的板具有比结构所需的更高的图案对称性的结果。因此，在图13中，平面群pgg没有示出基于玫瑰花结的板的垂直m平面。这些平面对整个结构无效：它们只是局部的。如果使用一次垂直m平面，我们得到一对pgg结构(图14b)。如果每次都使用它，从图13开始，并且薄板仍然只有m，我们得到平面群p1m1(图14c)。因此，玫瑰花结的超对称性导致孪生或其他平面群，如果定期发生的话。

图12

(a)FR1密铺 (b)平面对称群p2mg图案

图13

(a)z字形聚集体RF2-RF3 (b)平面群p2gg的图案。

图14

(a)上下薄板，(b)pgg孪生结构，(c)平面群p1m1

3 . 1 . 3 p2mm和p1g1群

遵循上一节中描述的相同的构造原理，R54和IRδ的组合给出了两个新的主题(图15a和15b)，从中我们提取了两个单位拼块UT4(图15b)和UT5(图15c和15d)。

图15

分别从图案(a)和(c)中提取新的单位拼块(b)和(d)。

用UT1密铺，接着是一行元素UT4，依此类推，得到图案p2mm(图16a)用UT5密铺得到图案p1g1(图16b)。

图16

(a) p2mm群的图案。(b)平面群p1g1·的图案

3·2·从12重玫瑰花结中获得对称群

3 . 2 . 1 对称群p4mm和p4gm。

通过使用Hasba方法，我们用两种类型的12重中心玫瑰花结构造了两个正方形拼块，称为单位拼块UT6和UT7(图17a)。用UT6或UT7密铺产生p4mm图案(图17b)。

2/3UT6和1/3UT7的组合生成混合图块HT1(点组4mm)(图18a)。基于HT1的密铺给出了p4gm图案(图18b)。

图17

(a)单元拼块UT6和UT7。(b)具有平面群p4mm的图案

图18

(a)旋转了45°角的混合单元拼块HT1。(b)具有平面群p4gm的图案。

3 . 2 . 2 对称群p6mm、p6、p3、p3m1和p31m。

从单位拼块UT6和UT7中，我们提取具有等边三角形形状的模板。如图19(d)和19(b)所示，通过绕穿过三角形顶点的六重轴旋转，我们获得两个六边形拼块UT8和UT9。用它们中的一个密铺给出p6mm图案(图19c)。

图19

(a)具有等边三角形形状的模板，(b)六边形拼块UT8和UT9。(c)具有平面群p6mm的图案。

不同比例的六边形拼块UT8和UT9的组合生成了混合拼块HT2(图20a)，其具有点群6，以及三个其他混合拼块HT3、HT4和HT5(图20b、20c和20d)，其具有位于中心的三重轴，它们的不同之处在于镜子的存在及其位置。

图20

具有点群6、3和3m的混合拼块(a) HT2、(b) HT3、(c) HT4和(d) HT5。

用这些拼块铺砌分别产生具有平面对称群p6、p3、p3m1和p31m的图案(图21)。

图21

(a)具有平面群p6的图案。(b)具有平面群p3的图案;( c)具有平面群p3m1的图案。(d)具有平面群p31m的图案

4.结论

Hasba是一种经验方法，在开始构建图案时应用严格的规则。这种方法经常被用来在木头上雕刻和绘画。对称性的概念在这种方法中无处不在图案由带有单位尺寸的网格支撑。即使隐藏在图案中，交错的丝带也自然地出现在设计中；它们的厚度是恒定的，等于单位分割q。从工匠的角度来看，丝带构成了检查图案艺术有效性的一种方式。丝带在图案内以及在重复图案中是无限连续的。这是哈斯巴的主要特征。

Hasba方法使得获得具有n重玫瑰花结的图案成为可能。图案的复杂性和玫瑰花结的对称性都随着Hasba值的增加而增加。玫瑰花结被认为是产生17个对称群的基本元素。

虽然在本文中，我们仅用10重和12重玫瑰花结构建了17个对称群，但其他n重玫瑰花结也可用于构建大量图案。图22显示了由9重玫瑰花结产生的p6mm图案。由于每个玫瑰都有自己的对称性，很难用相同的元素得到所有17个对称群。

图22 九重对称图案

此外，所有生成的图案都充满了对称元素。与它们所在的平面群的要求相比，玫瑰花形是超对称的。带有玫瑰花形图案的结构板可能有局部镜面，这对整个结构无效。这种超对称性可能会让制作zellige(陶瓷马赛克)的工匠在制作图案时感到困惑。然而，这个问题在制作木材的工匠中从未出现过，因为他们在制作图案之前，就开始在纸上画出他们的设计，并切割出被认为是基本单元的模板。

在我们的构建中，我们严格遵守摩洛哥工匠使用的规则，除了我们用绘图软件(Inkscape,http:// inkscape.org)。我们的图案展示给了摩洛哥几何艺术领域的著名工艺大师，如J. Benatia(传统艺术和书法教授)、S. Al Ouasrani和A. Boughali(马拉喀什“传统摩洛哥艺术”工作室的工艺大师)。他们从建筑和美学的角度验证了文章中提出的新图案。

在实践层面上，我们提出的方法结合了传统的构建图案的方法和对称群的概念，将为工匠提供新的创造性视野来发展这种古老的艺术。诚然，在摩洛哥，古老的技术仍然活跃和繁荣，但没有真正的重大创新可以观察到。

在学术层面上，这将是学生熟悉平面对称群，更好地理解和使用晶体学和固体科学中的对称群的机会。这里介绍的一些图案，虽然它们非常接近，但对学生和年轻的研究人员研究对称群的工作更有指导意义。使用各种n重玫瑰花结，我们可以生成非常不同的对称群(图22)。

参考文献

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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