物理和数学最完美的结合——规范不变性，精确地预测了很多新粒子

这个普通人很少知道的原理实际上决定了整个物理宇宙的性质。物质之间的相互作用就是宇宙的一切。规范不变性（Gauge invariance）精确地预测了这一点。

规范不变性

与相对论一起，（对于外行人来说几乎无人知晓的）规范不变性原理统治着宇宙。

规范不变性指的是物理定律在某种局部变换下保持不变的性质。换句话说，当我们对一个物理系统的某些局部参数（如相位）进行变换时，物理定律的形式不会改变。这种对称性导致了一些重要的物理现象，如守恒定律。

在现代物理学中，规范不变性在描述基本相互作用（电磁、强核、弱核相互作用）的规范场论中起着关键作用。例如，电磁相互作用的描述依赖于U(1)规范对称性，弱相互作用依赖于SU(2)规范对称性，而强相互作用依赖于SU(3)规范对称性。这些对称性对应于规范场的局部变换，它们引入了规范玻色子（如光子、W和Z玻色子以及胶子），这些玻色子负责传递基本力。

简单来说，这就意味着通过对称性的局部实施，我们可以得到一个理论，该理论能够精确描述基本力之间的相互作用。这是一种令人惊奇的现象，因为它意味着我们可以通过数学手段来预测现实世界中的物理现象。在这个背景下，规范不变性在量子场论和基本粒子物理学的研究中具有核心地位。

通过利用规范不变性原理，我们可以从理论上预测某种力的相互作用形式，而无需进行实验。并且，它所提出的相互作用形式通常与现实世界中的观察结果相符。有时这种相符程度甚至是非常精确的。这意味着，尽管我们并没有进行实验来证实这些相互作用形式，但规范不变性原理允许我们从纯理论角度推导出正确的物理现象。

例如，分别考虑电子和光子，规范不变性会告诉你这些东西是如何相互作用的。因此，如果你只知道电子存在，规范不变性会告诉你电子是如何与电场（相当直观）和磁场相互作用的。甚至还会告诉你光子应该存在，如果你之前还不知道的话。而对于其他基本力，它的预测更加复杂。

普遍性

事实上，四种基本相互作用都受到规范不变性的支配：

• 重力
• 电磁相互作用
• 负责粒子衰变的核弱相互作用
• 负责将原子核保持在一起以及将夸克聚合成质子和中子的强相互作用

诺特定理

1915年，诶米·诺特（Emily Noether） 向我们展示了著名的能量、动量和角动量守恒定律与自然观察到的对称性之间的精确等价关系。

例如，物理定律并不关心位置，它在平移对称性下不变。结果证明，这与动量守恒完全等价！同样，物理定律并不关心一个过程发生的时间，它具有时间平移对称性，这等同于能量守恒。旋转对称性意味着角动量守恒。

“规范化”对称性

1918年，赫尔曼·魏尔（Hermann Weyl）提出了“规范不变性”的概念，作为广义相对论中不变性的推广。他认为，空间的实际尺度（因此是“规范”）与物理无关。物理学在变换：

下具有对称性，其中λ为常数。

他发现，如果允许λ变换局部化，即让空间和时间依赖，λ(x,t)，那么你所研究的物理定律突然不再保持不变，但他可以添加一个看起来像电磁场相互作用的数学项，使总体保持不变。对于广义相对论和电磁学，这个方法并不完全奏效。他试图（但失败了）通过引入这个概念来统一电磁学和广义相对论。

实际上，对于这两种力分别来说，这个方法是有效的。因此，这个基本思想后来得到了复兴，并彻底改变了量子物理学。它被称为“规范不变性”（“规范”是空间大小的概念）。

规范不变性的工作原理如下：

• 找到一个对称性（根据上述诺特定理，它需要与该力的电荷守恒相关）；
• 对其进行规范化（使其局部化）；
• 不对称的部分告诉你需要添加什么新部分来修复它；
• 这个新部分就是与该对称性相关的新力；
• 对称性的轴数甚至会告诉你在量子化时，力需要多少玻色子来传递。我们称这些为规范玻色子。

令人兴奋的是，我们成功地从对称性的轴数（称为生成器）中预测了电磁、弱和强相互作用情况下规范玻色子（力载体）的数量。然而，在引力方面，情况比较复杂。引力可能根本没有规范玻色子，这意味着我们还不能肯定地判断重力是否也遵循类似的规律。

量子力学

在量子力学（ QFT）中，从一个没有电子和电磁场相互作用的理论开始：

选择一个让理论保持不变的对称性，例如，量子力学在波函数的相位变换下是不变的（这种对称性与电荷守恒有关）：

不变性仅仅是因为

中的相位和反相位抵消。然后对这个对称性进行规范化（即，让变化依赖于 x（在这个相对论术语中包括时间）：

当进行这个更严格的变换时，你会发现除非添加了电子、光子 A 和电子ψ之间的电磁相互作用项，否则它是行不通的：

最后得到的具有局部变换不变性的相互作用理论如下：

非阿贝尔模型（Non-Abelian model）

量子电动力学（QED）的发展过程与强核力和弱核力理论的发展过程并不完全相同。量子电动力学是通过一系列历史性的发现和实验逐步建立起来的，但强核力和弱核力理论的发展却是基于规范对称性的思想，这种思想最早由杨振宁和罗伯特·米尔斯提出。

但是现在可用的类似额外对称性更为复杂，例如，SU（2）对称性可以将一个粒子的波函数在三个非物理维度中“逐渐”旋转成另一个粒子（例如质子变成中子），它们都是“非阿贝尔”的。

“非阿贝尔”是指这种对称性不满足阿贝尔群的性质，也就是说，对称操作的顺序是重要的，交换顺序可能会导致不同的结果。

正如任何一个魔方玩家都知道，魔方的旋转是非阿贝尔的。例如，LF与FL的结果不同，其中L = 左侧顺时针旋转，F = 前侧顺时针旋转）。

因此，当涉及到非阿贝尔对称性时，量子理论的数学变得更加复杂。在这种情况下，规范玻色子（即传递力的粒子）不仅会与其他粒子相互作用，而且还会与自身相互作用。这意味着规范玻色子可以相互影响并改变其他规范玻色子的性质。这种自相互作用和相互作用的现象使得量子理论变得更加复杂和难以处理。

1954 年，杨振宁和米尔斯尝试构建一个基于 SU(2) 的强相互作用模型，该模型源于质子和中子之间的近似对称性。它们的质量相差无几，并且在强力观测方面表现相似。但电荷却非常不同！

SU(2) 有三个轴，所以他们将已知的三个 π 粒子：π+，π-，π0 与三个规范玻色子联系起来。这种方法效果不是很好，因为这种对称性并不是绝对的。而且计算是可重整的（涉及无穷大）。但这是第一次尝试构建非阿贝尔规范理论。

非阿贝尔真实示例：弱相互作用

上面这三位——温伯格，格拉肖和 Salam——非常重视规范不变性。这让他们获得了1979年的诺贝尔奖。他们在1961-1967年之间，成功地建立了一个弱相互作用模型，该模型基于比杨和米尔斯所尝试的质子-中子模型更近似（就是更不精确的意思）的对称性。

尝试使用非常不精确的对称性来构建弱相互作用模型，在当时看起来非常不可思议。但考虑到他们是在了解“自发对称破缺（spontaneous symmetry breaking）”的概念后构建的，就没那么不可思议了。自发对称破缺是指一个理论在最初状态下具有完美的对称性，但随着时间推移，这种对称性会被打破。希格斯机制是一种描述这种对称性破缺的过程的方法，它涉及到希格斯场和希格斯玻色子。这种机制允许科学家使用不完美的对称性来建立有效的弱相互作用模型，最终成功地描述了这种基本力量。

因此，温伯格等三人是半独立地将杨和米尔斯理论应用于电子和中微子之间非常糟糕的对称性，然后成功地从中构建了一种弱相互作用理论。

出于娱乐，他们得出了一个轻子代（即电子和中微子）的弱相互作用“拉格朗日量”（涉及夸克的完整理论还有一个额外的复杂性）：

竟然行得通！

不仅如此，使其真正有效的唯一方法是将其与电磁学统一起来。在“自发对称破缺”之后，质量为零的光子 A 以及质量为 W 和 Z 玻色子被识别为：

非阿贝尔规范玻色子的独特自相互作用包含在上面的拉格朗日量的 L1 部分中，源于 W 张量与传统光子张量 F（在 QED 拉格朗日量中可见）相比更复杂的非阿贝尔形式。

如果不是杨和米尔斯在1954年提议尝试非阿贝尔对称性，我们根本不可能预测到这些细节，包括看似不必要的重中性 Z 玻色子。

此外，现有的弱相互作用理论根本行不通，因为要对短程力进行建模，你需要给它们想象中可能存在的单个 W 规范玻色子赋予质量。

但是质量较大的规范玻色子总是导致无穷大。希格斯机制解决了这个问题，看似巧合地（实际上并非如此）添加了抵消无穷大的相互作用！

这个理论预测了当时尚未观察到的3个W+、W-和Z0力携带玻色子，它们的质量，以及希格斯玻色子的存在。这导致了许多最终被观察到的预测，包括：

• 预测质量的W+、W-和Z0玻色子
• 希格斯玻色子
• 非阿贝尔规范玻色子的自相互作用（见下图）

这些都是非平凡的预测。

所有规范理论都被证明是自动可重整化的：计算中没有无穷大。

物理动力学和数学一致性的力量是不容低估的。我们似乎生活在一个数学宇宙中。在我看来，这些理论实际上并非仅仅是“模型”。相反，它们就是“真实发生的事情”，好像我们正在窥视宇宙的源代码。我认为这是由于实验与理论的定性匹配（例如，正确数量的规范玻色子）以及这些复杂理论所暗示的荒谬数量级的准确性，这些理论纯粹是基于规范不变性的坚持。

在我看来，如果没有规范不变性原理，我们可能永远都不会了解W和Z玻色子或希格斯玻色子。自20世纪70年代末以来，我们不再把时间花在那些不是相对论性和规范不变性的理论上。