用简单的单摆问题，深入理解三种力学—拉格朗日力学和哈密顿力学

在物理学的发展史上，牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学分别代表了三个重要的里程碑。这三者分别以伟大的科学家艾萨克·牛顿、约瑟夫·路易·拉格朗日和威廉·罗维尔·哈密顿的名字命名，它们在不同的历史时期逐步完善了我们对物理世界的认识。从牛顿力学的经典描述，到拉格朗日力学的分析数学方法，再到哈密顿力学的能量守恒原理，这三个理论在不同程度上揭示了自然规律的普适性，对物理学的发展产生了深远的影响。

这篇文章，我将为大家简要介绍经典力学的三种表述方式，即牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学。牛顿力学是每个人在上物理课时都会学到的内容，即将F=ma应用于简单系统。然而，现代物理学家更广泛使用的还有另外两种力学表述方式，它们对于理解量子力学至关重要。这就是拉格朗日力学和哈密顿力学。

我将用单摆（the simple pendulum）来说明每种方法。设有一个质量为m的粒子，悬挂在一个长度为l的轻杆上，杆的另一端固定在一个支点上。现在简要回顾一下牛顿力学方法。

首先，我们需要建立一些坐标来描述摆的位置。这里可以选择任何坐标系，但最简单的方法是选择沿着粒子运动圆周的弧长坐标s，

或者使用杆与竖直方向的夹角θ。

它们是完全等价的，任何一个都可以用来描述质点的位置。它们之间的关系就是弧度制角度θ的定义，即弧长s除以半径l。

我们希望预测摆在被拉起到某个初始角度后会如何运动，或者在受到一个小推力后会如何运动。根据牛顿力学，首先要写出作用在粒子上的所有力。这里只有两个力，一个是垂直向下的重力mg，另一个是沿径向指向圆心的杆的张力T。

然后牛顿告诉我们要把所有的力相加，写出F=ma方程，即总力等于质量乘以加速度。

F=ma是一个矢量方程，但我们实际上关心的是切向分量。张力在这里不起作用，因为它直接指向圆心，与切线方向垂直。所以唯一相关的力实际上是重力的切向分量。通过一些几何计算，你可以看到是mg sinθ，指向单摆的平衡位置方向。

对于弧长坐标s，F=ma方程简单地表示为

我这里用点表示关于时间的变化率。所以，如果s(t)是关于时间的位置函数，那么s点等于ds/dt是速度，s双点是加速度，即关于时间的二阶导数。

我想用θ表示所有内容，所以我将使用s双点等于l乘以θ双点这个事实来重写F=ma方程，得到

这称为θ的运动方程，它是一个控制摆运动的微分方程，在这种情况下，由于右侧的sinθ因子，它实际上相当复杂。

事实上，这个方程过于复杂，以至于我们无法写出一个简单的通用解。但是，在一个特殊情况下，我们可以得到解：当θ很小的时候，即摆离平衡位置不远。在这种情况下，解就是一个正弦或余弦函数。

以上是我们使用牛顿力学和F=ma理解单摆运动的快速回顾。但力学不仅仅是F=ma，在牛顿力学之后，约瑟夫·路易斯·拉格朗日和威廉·罗文·汉密尔顿发展了新的力学方法。

拉格朗日和汉密尔顿的方法提供了关于力学结构的新的见解，它们在量子力学研究中尤其重要。拉格朗日和汉密尔顿力学方法在数学上比牛顿方法更复杂一些，但它们都非常有趣。

拉格朗日力学（Lagrange mechanics）

接下来让我们看看拉格朗日形式。牛顿告诉我们首先要写出总力，而拉格朗日则告诉我们首先要写出动能、势能，然后求它们的差。这定义了一个称为拉格朗日量的L函数。

让我们看看单摆的拉格朗日量。动能K当然只是

其中v等于s点，所以，

我想用θ表示所有东西，所以我将用l乘以θ点来替换s点，那么动能就是

与此同时，势能U是mg乘以y，y是粒子的高度。我要把地面高度放在支点的高度处。

然后，粒子的y坐标是-l cosθ，势能是

而单摆的拉格朗日量是动能和势能之差，即

牛顿告诉我们从总力开始并将其设为ma，拉格朗日则告诉我们从拉格朗日量开始，然后使用它来写出所谓的欧拉-拉格朗日方程，即

我不打算深入探讨这个欧拉-拉格朗日方程从哪里来，我只是想把它写下来，然后研究它的结果。欧拉-拉格朗日方程是作用量S的最小化条件，

作用量（action）定义为拉格朗日量的积分。在粒子可能遵循的所有可能路径中，它实际选择的路径是使作用量最小化的路径。这被称为最小作用量原理（principle of least action），其含义是轨迹满足欧拉-拉格朗日方程。

现在，将单摆拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程时会发生什？欧拉-拉格朗日方程的右侧是关于θ的拉格朗日量的导数，我们在求这些导数时将θ和θ点视为独立变量。这意味着∂L/∂θ中的唯一贡献来自拉格朗日量中的cosθ项，得到

对于左侧，我们需要知道∂L/∂θ点是多少，从动能项得到

然后取该项的时间导数，将θ点变为θ双点。

顺便说一下，这里的∂L/∂θ点被称为与坐标θ对应的动量p，

∂L/∂θ被称为广义力，

用这个术语的原因是，欧拉-拉格朗日方程使人想起了牛顿第二定律：力是动量的变化率。

将单摆拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程的结果表明，

取消共同因子，我们再次得到

这是我们之前使用f=ma得到的相同的运动方程，但这次我们使用了基于拉格朗日量和欧拉-拉格朗日方程的截然不同的策略。

如果你以前从未遇到过拉格朗日量，那么所有这些可能看起来有点抽象，但实际上，它是一种快速获得系统运动方程的非常有用方法，通常比使用f=ma更容易。当我面对任何力学问题时，我通常会先写下拉格朗日量。首先，我们不必处理f=ma中出现的任何烦人的向量，我们可以选择任何我们喜欢的坐标来描述系统，包括潜在的非惯性坐标系，写下拉格朗日量，然后为每个坐标写下欧拉-拉格朗日方程。拉格朗日形式还使得处理约束和理解对称性变得更加容易。

哈密顿力学（Hamiltonian mechanics）

最后，让我们使用哈密顿力学来看看单摆问题。这次，我们不是从拉格朗日K-U开始，而是写下总能量K+U。对于单摆，得到

再次出现负号是因为势能是负的。现在，我们通过ml²θ点来定义动量P，

我将使用该表达式将能量的第一项重写为P²/2ml²，

这意味着我们可以将总能量写成θ和P的形式，即

这个量被称为哈密顿量（hamiltonian），它是哈密顿力学的起点，正如拉格朗日量是拉格朗日力学的起点。

我们用拉格朗日量来写欧拉-拉格朗日方程，我们将使用哈密顿量来写哈密顿方程，它们表示为：θ点等于关于P的H的导数，

而P点等于关于θ的H的负导数

请注意，虽然F=ma和欧拉-拉格朗日方程给出了一个二阶微分方程，但哈密顿方程给出了一对关于θ和P的一阶方程。

顺便说一下，在这个简单的例子中，哈密顿量只是总能量，但这并不总是必然的情况，所以在我们继续之前，让我给出一个完全通用的定义。请记住，动量P是由速度的拉格朗日量的导数定义的，

哈密顿量是通过取P乘以速度，然后减去L来定义的，

然后像之前一样，用P替换所有的θ点，

让我们看看从单摆中可以得到什么。关于P的H的导数只是第一项的P除以ml平方，

关于θ的导数，我们从cosθ的导数得到-sinθ，得到-mglsinθ，

哈密顿方程告诉我们，

这第一个方程只是动量的定义。如果我求它的变化率，它表示为

现在，将它插入哈密顿的第二个方程，得到

消去公共因子，我们再次得到

因此，哈密顿方程等价于我们从F=ma或欧拉-拉格朗日方程得到的原始运动方程。它们只是将单个二阶微分方程分解为一对关于θ和P的一阶方程。一阶，因为我们只有一个导数作用在θ和P上。但这对我们有什么好处呢？哈密顿的一对一阶方程并不一定比单个二阶运动方程更容易解。然而，我们确实获得了一个新的几何观点来看待单摆的力学，将其与所谓的相空间上的流相联系，现在我来解释一下。

为了在任何给定时刻指定单摆的运动，我们只需要给出它的位置和速度，或者等价地说，它的位置和动量θ和P。有了这个初始数据，我们可以通过求解关于θ（t）和P（t）的哈密顿方程来计算单摆在任何以后的时间的行为。θ和P的对定义了一个平面，这个平面称为系统的相空间（the phase space ofthe system）。

我们从初始条件θ（0），p（0）开始，随着时间的推移，坐标在这个θP平面上移动，沿着这个相空间上的一条曲线，这条曲线被称为流（flow）。

这些流非常特殊，它们不会沿着θP平面上的任何旧曲线运动。特别是因为单摆的能量是守恒的，如果我们在沿流的任何时间t计算哈密顿量，我们保证总是得到相同的数值，能量是流的常数。这里是单摆的一些等能量线，

由于单摆的能量是恒定的，我们知道初始点在随时间演变时必须沿着这些等能量线移动。特别注意，这里有两种不同类型的等能量曲线。在相空间中心附近有这些闭合的环，而在远离中心的地方有开放的波状线。尝试设置初始条件，使粒子位于其中一个波状线上，找出这两种相空间流的物理差异。

这只是拉格朗日和哈密顿力学的冰山一角，我希望已经激发了你的好奇心，让你想要自己去了解更多。这些不仅仅是对经典力学非常有趣和非常有用的方法，它们也是我们对量子力学思考的基础。例如，在经典力学中的相空间上的函数会变成量子力学中的状态空间上的算符。所以如果你继续学习物理，我保证你会在各个地方看到拉格朗日和哈密顿。