现代函数分析学的核心——巴拿赫空间，一个令人惊叹的数学结构

巴拿赫空间（Banach Space）是数学中的一个重要概念，它是指一个完备的赋范线性空间，也就是一个具有范数和度量完备性的线性空间。这意味着在这个空间中，任何一个柯西序列都有一个极限，且该极限也在这个空间中。

范数（norm）是用来度量向量大小的函数。一般而言，范数可以看作是将向量映射到一个非负的实数。
度量完备性（metric completeness）是指一个度量空间中的柯西序列一定收敛于该空间中的一个点。更具体地说，一个度量空间是度量完备的，当且仅当所有的柯西序列都有一个极限，且该极限也在该度量空间中。
柯西序列（Cauchy sequence）是指在度量空间中，任意小的正数都存在一个自然数，使得该序列中任意两项之间的距离小于这个正数。换句话说，柯西序列是一种“逐渐收敛”的序列，虽然它可能没有一个确定的极限，但序列中的任何两个元素之间的距离会逐渐变得越来越小。

一个巴拿赫空间既是一个向量空间，又是一个度量空间。所以巴拿赫空间的研究就是线性代数和分析的混合物。但是，如果我们注意具有更多代数结构的巴拿赫空间，就会得到代数和分析的更复杂的混合物。特别是，虽然巴拿赫空间的任意两个元素都可以相加，而一般地不能相乘，但是有时候是可以的。 一个同时具有乘法结构的向量空间称为一个代数，而如果这个向量空间还是巴拿赫空间，且它的乘法还有下面的性质，就称它为一个巴拿赫代数：对任意两个元素x 和 y，

这个名称并不反映历史的真实，因为巴拿赫代数的理论并不是巴拿赫搞出来的，称它为盖尔范德（Israel Moiseevich Gelfand，前苏联数学家）代数更适当。

C*-代数就是一个带有对合（involution）的巴拿赫代数。对合就是这样一个函数，它让每一个元 z都对应于另一个元素 x*，并使对于任意两个元素x和y都有以下的性质成立：

C*-代数的基本的例子是定义在希尔伯特空间H上的所有连续线性映射T所成的代数B（H）。T的范数|T|定义为使得所有x∈H均有|Tx|≤M|x|的最小常数M。而所说的对合把T变为其伴算子T*。伴算子T*就是这样一个线性算子：对于H中任意两个元素x和y均有（x，Ty）=（T*x，3）（可以证明，恰有一个算子具有这样的性质）。如果H是有限维空间，则T可以想作一个n×n矩阵，n是一个整数，这时，T*是T的转置矩阵的复共轭。

希尔伯特空间（Hilbert space）是一个完备的内积空间，即一个具有内积运算的向量空间，其中所有柯西序列都收敛于该空间中的一个向量。具体而言，希尔伯特空间是一个实数或复数的向量空间，其中定义了一个内积运算，即一个满足线性性、对称性、正定性的双线性函数。希尔伯特空间中的向量可以是有限维的，也可以是无限维的，其中无限维的情况更加重要和有趣。

盖尔范德和奈马克的基本定理指出，每一个C*-代数都可以表示为某个希尔伯特空间的B（H）的一个子代数。