李家春院士、周显初教授 |《数学物理中的渐近方法》全面修订啦！

“数学物理中的渐近方法”是数学物理方法的续篇，所以是一门应用性较强的基础数学课程。在现代科学研究中，主要是理论分析工作中，这类方法应用得相当普遍，它几乎已经成为力学、大气动力学、海洋动力学、声学、光学和其它物理专业研究人员必不可少的数学工具。在文献中，使用这类方法来解决一些重大的基础理论和工程实际问题也并不罕见。所以，如果不懂得这一方面的基本知识，从事上述领域的研究分析工作，阅读相关文献就会有一定的困难。在此背景之下，本教材的写作目的可归纳为两个方面：其一是系统介绍理论研究中常用的近似求解方法和技巧，其二是展现从应用数学观点分析物理问题的思想和方法论。

目前，国际上有关渐近理论与摄动方法的书籍大体上有两类：一类以Bender 和Orszag 的高等应用数学方法和Nayfeh的摄动法为代表。主要讨论数学方法和技巧，但一个明显的缺陷是没有使用有物理背景的实际例子，所以，对于从事物理领域研究的学生来说，由于不知问题如何归纳，方程如何导出，在科学研究中遇到实际问题往往仍然束手无策。另一类是以Van Dyke 的摄动法及其在流体力学中的应用为代表。主要以物理问题为红线来讨论摄动方法。这样做虽然比较直观，但数学理论不够系统与完整，没有讨论渐近分析，经验成分较多，不利于提高学生的数学理论基础。

笔者统观了目前渐近方法的教学状况，在编写教材时，注意发扬本学科现有书籍的优点，弥补其不足，体现了理论与实用并重的特色：既然渐近分析已成为一门应用数学的分支学科，我们必须要注意理论的完整性，应尽量涉及有重要理论意义与实际应用的诸多方面。在必要的地方，必须有严格的证明，使学生注意理论的严谨性。另一方面，我们又强调本学科的实用性。所以，笔者所著的《数学物理中的渐进方法》一书的安排是理论与应用部分相互交替的，所给出的例子不是抽象的，而是从实际问题中提炼出来的数学问题。这样做，不仅使学生懂得了相关领域内的物理概念，如: 色散、相速度和群速度、几何光学和物理光学、线性与非线性波、流动稳定性、量子力学等等。还学会了如何直接将物理现象归纳成数学问题，并求分析解的方法。

然而，本书无意灌输这一领域的全部知识，而将注意力放在培养学生分析能力上。所以内容详略适度，在着重阐明本学科若干最基本的概念和方法后，对那些在学习本课程后，可以自学读懂的，非基本的内容予以省略。更重要的是，使学生学会处理非标准的、无准确解的数学物理问题的方法和哲理，以及求近似解和近似结果的技巧，从而提高他们独立科学研究的能力。

——摘自《数学物理中的渐近方法》“绪言”，有修改

《数学物理中的渐近方法》

作者：李家春 周显初

ISBN：978-7-03-006109-6

最新印次（2023年2月），全面修订！

作者简介

李家春流体力学家、中国科学院院士。现任中国科学院力学研究所研究员，曾任所学术委员会主任，中国科学院大学工程科学学院院长，中国力学学会理事长等职。长期从事流体力学研究，在力学中数学方法和流体力学基础领域做出理论成果，用自然流动中的波、涡、湍流揭示环境与灾害发生和演化机理，解决相关海洋工程问题。获多项国家和中科院科技进步奖和自然科学奖、周培源力学奖。长期投身于基础课程教育，获李佩教师奉献奖和教学名师称号。

周显初曾任中国科学院力学研究所研究员，中国科学院大学、清华大学周培源应用数学中心兼职教授。长期从事流体力学和应用数学研究，主要从事非线性水波尤其是孤立波的研究，还对气泡及泥沙运动感兴趣。曾在美国麻省理工学院，澳大利亚、和香港访问研究。获国家自然科学奖、中国科学院科技进步奖。享受国务院政府特殊津贴。与人合著有《数学物理中的渐近方法》、《水波动力学》、《流体力学》等。

内容简介

本书讲述渐近分析和摄动方法的基本理论，其中包括：渐近积分的Laplace方法、驻相法、最陡下降法、求微分方程渐近解的主项平衡法、WKB方法、摄动展开的PLK方法、匹配渐近展开法、多重尺度法等。本书强调同科学研究和工程实践的结合，分别讨论了理论在波动、稳定性、流动问题中的应用。书中还专门论述摄动级数改进的理论和实用方法。

本书是一本适合研究生使用的应用数学教材。书中包括了作者多年的研究成果，可供力学、声学、光学、理论物理、大气动力学、物理海洋学、地球物理学、应用数学等专业的研究人员、工程师、高等学校的教师和高年级学生参考。

目录

第一章 渐近级数
1.1 引言
1.2 渐近级数的定义
1.3 渐近级数的性质
1.4 隐函数的渐近分析
第二章 积分的渐近展开

2.1 逐项积分与分部积分法
2.2 Laplace方法
2.3 驻相法
2.4 最陡下降法
2.5 Airy函数和Stokes现象
2.6 Watson引理及其应用
第三章 波动问题与渐近积分
3.1 波动概论
3.2 群速度与渐近分析
3.3 水波
第四章 微分方程的渐近解
4.1 微分方程的奇点
4.2 正常点与正则奇点附近的级数解
4.3 非正则奇点附近的渐近解
4.4 再论Airy函数和Stokes现象
4.5 微分方程组的渐近解
4.6 差分方程的渐近解
第五章 WKB方法
5.1 WKB解
5.2 有转向点时的一致有效渐近解
5.3 几何光学近似
5.4 焦散线附近的一致有效渐近解
第六章 流动稳定性与渐近解
6.1 平行流稳定性的O-S方程
6.2 0-S方程的渐近解
6.3 本征方程与中性曲线
6.4 广义Airy函数
6.5 流动稳定性的物理机理
第七章 奇异摄动方法
7.1 正则摄动和奇异摄动
7.2 PLK方法
7.3 平均法
7.4 多重尺度法
7.5 可解性条件
7.6 边界层理论
7.7 非线性方程的例子
7.8 偏微分方程的例子
第八章 摄动理论在流动问题中的应用
8.1 小Reynolds数流动
8.2 大Reynolds数流动
8.3 缓变任意截面渠道中的孤立波
8.4 非传播弧立波
8.5 Stokes波及其稳定性
8.6 气泡的参数共振
第九章 级数的分析与改进
9.1 发散级数求和
9.2 级数的分析
9.3 级数收敛性的改进
9.4 级数解的解析延拓
第十章 级数分析在流动问题中的应用
10.1 波与流的非线性相互作用
10.2 平板与圆球粘性阻力系数的改进
10.3 加速壁面槽道中的流动
附录
A.1 反函数的Lagrange公式
A.2 r函数
A.3 矩阵函数
A.4 差分方程
A.5 Hadamard有限部分
参考文献

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