压轴题研题活动第87场2022年湖州第24题

精彩点评一

2023年2月28日，学习夷陵区樟村坪初中孙连湘老师对2022年浙江省湖州市中考数学第24题的研究与分析，深受启发。
2022年浙江省湖州市中考数学24题是一道压轴题。本题是一道以直角三角形为基础的几何综合题，以勾股定理章节图为背景综合考查了学生对直角三角形、正方形、等边三角形等基本图形性质的掌握，学生需要掌握不同平面图形的面积计算方法，将图形面积间的等量关系转化为线段之间的等量关系来证明，然后利用相似、全等和面积等相关知识解决问题.本题的两问表面看似相互独立，实则紧密联系，方法相通，问题由易到难，由浅入深，通过不同设问考察了学生的观察能力、逻辑推理能力以及计算能力，孙老师准确地把握住了本题的综合性，使研题成为几何大综合复习教学的好案例。
第（1）问虽然图来自人教版数学课本八上17章勾股定理章节，但第一小问实质入手门槛低，根据小学学习正方形的面积公式易求得直角三角形的两条直角边，再根据直角三角形的面积公式即得。第二小问求证：s2-s1=2s．据第一小问学生比较容易联想到面积转化为线段，孙老师通过分析结论和条件，寻找二者之间的联系 ，抓住条件中垂直，从相似，平行等面积转化，勾股定理三个方向总结了4种解法。在这一小问中，当通过面积锁定要证明的线段间的等量关系后，通过分析垂直条件，可以找到相似、全等和面积法等多种不同的解法，通过这一小问研习让我对面积的处理方式又进行了一次系统的复习与整理。第（2）问继续爬坡，要自己探究发现面积之间的关系。这一问的图同样是源自八年级课本全等章节的课后习题，结合第（1）问第2小问的解题经验，容易找到解决问题的方法，围绕基本图形面积的表示方式，综合运用了很多知识，如相似、全等、等面积法证明了结论.孙老师进一步挖掘，舍掉垂直条件，就缺少了90°的角，可以进一步思考，换成其他角度这个问题的等量关系还成立吗？于是就有了后面的4个变式，引导学生进行一题多变，培养学生的发散思维和创造性思维，提高解题效率.经历过这种探索，学生就会成长。
纵观此题，发现此题中的3个图形都是动态几何图形变化过程中的特例，条件与结论结合紧密，图形的形状一旦确定，就会呈现特殊的性质，从而使图形之间的数量关系也变得更加特殊了.在解题过程中，孙老师围绕图形的面积寻找了条件和结论之间的联系，发现了几何中很多基本模型,让解题有了通性通法，这些模型的存在让学生有了更直观的认知，入模更要出模，孙老师通过“一题多解”和“一题多变”可以很好地培养学生的发散思维和创造性思维，探索问题的内在规律和本质。因此，在解题教学过程中，老师要善于运用大单元复习教学引导学生深入思考，拓宽学生解题思维的深度和宽度，最后做到归一.
独行快，众行远，每一次的研题，对老师都是一次全面的总结提高，对学生就是一次系统的思维训练。感谢张钦博士为我提供了学习、研究、思考的机会，感谢孙老师让我系统性整理了有关面积的转换方式，我会不忘初心，做更好的自己。

精彩点评二

学习完孙连湘老师的研题分享，收获颇丰。 2022年湖州第24题作为一道优秀几何压轴题，图形非常简洁美观，同时给人一种似曾相识的感觉，它源于教材八上的勾股定理这一章节，牵引出后续九年级教材中的相似和三角函数章节，与无数优秀的几何压轴题一样，“问渠那得清如许？唯有源头活水来”。

2022年湖州第24题的优秀除了简洁美观外，我认为更精妙的地方在于它的熟悉中透露着陌生，陌生之处充分考察了学生的数学思维及核心素养，不是简单的刷过同类题就会做这个题。作为一道优秀的中考数学压轴题，它带给我以下两个思考：

思考一？

第1小题的解法其实非常多，方法也都是大家所熟知的勾股定理、相似三角形、锐角三角函数、面积法。如果把此道中考题做为作业讲评课来上，讲授这道题的时候，教师应该基于怎样的学生的视角去打通学生思路？让学生真正有所收获，收获什么？这道题的问题常是故意隐蔽本质的，（1）问中求证S2-S1=2S，表面上看是求证面积的和差问题，只要学生大胆的将所证式子用题中字母a，b表示为a²-b²=ab，继续变形为a²=b²+ab=b（a+b），乘积式化为比例式a:b=(a+b):a，由此自然联想到相似，根据边长为a、b、a+b的三角形轻松找到相似三角形，有了这样的思考问题的方向，方法就应用在了题中，不再空洞。当然，除了相似三角形解决两条线段的比的关系，此问基于直角三角形我们想到了三角函数来解决问题，利用tan∠ABN=a/b，tan∠ANF=(a+b)/a，证明∠ABN=∠ANF。我们还可以继续思考a²-b²=ab还可以怎样变形呢？学生会有疑问刚才的变形我不一定能想到，学生第一反应想到的是直接用平方差公式因式分解，及（a-b）（a+b）=ab，这样的变形当然是可以的，继续乘积式换成比例式(a+b):b=b:(a-b)，进而发现就是证明△ANF∽△BMN.是不是很奇妙？不管怎么变形，都可以找到思路？这就是数学魅力。读者们还可以尝试不同的变形，都能找到解题方法。我在此想到了自己平时的教学，三角形的相似和三角函数这两种方法具有相通之处，都是边的比，不同的地方在于相似的适用范围更为广泛，适用于一般的相似三角形，它是不同三角形对应边的比值相等；而三角函数只适用于直角三角形，它是同一个三角形边之间的比值相等。通常遇到直角三角形的时候用三角函数会比用相似列的算式更为简便。因此，相同的思想，更为简便的计算是我们在平时的教学中就应该对学生有所引导、对比和发现的，这也是研题的初衷。

思考二：这道题重在对基本图形的探究，在日常的教学中，我们也带学生做这样的探究：例如在一个直角三角形的三边作正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆……寻找面积间的关系，那么这样的探究够了吗？我认为对部分学生是够了，对部分学生又没有够。课堂上面向全体学生的教学，课下可以还可以启发式的面向有需要的学生教学，引导学生去思考究竟在外加什么样的图形就有共同的规律？学生经过思考会找到是加正多边形。这样的师生对话还可以不结束，老师继续多维度加以引导，如果不是以直角三角形为模板，其他的三角形可以吗？答案是肯定的，学生自己去发现更深层次的问题，探究更一般的规律，得出更有深度的结论。表面上看这样的探究性作业费时费力，学生也没有刷多少题，但是类比的思想学生自己建立了；归纳的能力落地了；特殊到一般变成了多维度的绽放。

再次感谢孙连湘老师的精彩研题，给我很多启发和学习的方向，希望能有更多机会向孙老师学习，一起成长为一名优秀的初中数学老师。

精彩点评三

认真学习了孙老师对2022年浙江省湖州市中考数学第24题的研究与分析 深受启发。

此题是一道以直角三角形为基础的几何综合题，图形简单，条件明确，求值容易，本题的两问表面看似相互独立，实则紧密联系，方法相通。

第一问起点较低，也是勾股定理章节中的基本图形，不过赋予了不同的条件及意义；由正方形的面积求出边长分别为3和4，即a=4，b=3，所以S=6；

第一问中的的第二小问对于条件FH⊥AB，它起到的作用是固定了图形，确定了NF与AB间的位置关系，孙老师先从结论出发，将结论转化成我们熟悉的一个等式，然后分别从相似、全等＋相似、等面积法的角度精准剖析，得到结论，十分精彩，尤其是当我看到还可以用等面积法来证明这个结论时，我才幡然醒悟，这本就是证明面积之间的关系，为什么就没有想到去运用面积之间的关系去证明呢？反思自身还是平时对于题目的研究较少。

同时在这里我还有点小的思考，当我们将S2-S1=2S转化为a²-b²=ab时，如果进一步对这个等式变形，将其化为乘积式或者比例式，对于孩子们找相似会不会有更好的指引呢？因为题目中的垂直较多，相似三角形也很多，如果能将上述等式先化成比例式那么将直捣黄龙，必然事半功倍。

第二小问首先需要引入等边三角形的面积计算公式，即边长的平方乘以√3/4，这里我们在平时的教学中可以适时的补充，当然在九年级下册人教版85页最后一题当我们给孩子们证明了正弦定理以后，如果能顺势补充三角形的面积与正弦的关系，那对于孩子们解这题肯定会有帮助，在同学们分别用ab表示了三角形的面积以后，再来找这几个量之间的关系，似乎并不是很清楚，但请注意条件EF⊥CF，这意味着△CEF也是直角三角形，所以整个图形的位置相对确定了，边长之间的关系也相对确定了，动态图变成了静态图，所以我们在寻找图形之间关联的时候，多从全等、相似角度去思考，这就是所谓常规常法。结合我们平时的教学，在引导学生寻找解题思路的时候，一定要先从已知条件出发，去挖掘它背后的拓展关系，即发散思维。但发展的方向要有约束，不可天马行空，例如第2小题中的条件FH⊥AB，第3小题中的EF⊥CF，本小题各个小题之间，存在一种递进关系，即在解题方法上有相通之处，例如探究的数量关系是S2-S1和S之间，引导学生的思路朝面积方向。

最后简单说一下解题模型，解题模型在本题中的作用是帮助学生快速找到发散条件，例如手拉手模型，它本质上是全等三角形的一种特殊位置，即两个三角形绕某个顶点旋转后相互重合，使用模型要看题目大环境，在等边三角形、正方形等特殊图形组合中，手拉手模型的存在是普遍性的，因为等边三角形本身就可以看作一条边绕一个顶点旋转后得到另一条边，正方形同理，这就是图形的本质属性了。

我们在平时的教学过程中，正需要引导学生去认知这些本质属性，利用它们来解决问题，模型的归纳不过是这个过程中的附属产品，这个顺序不能错。

再次感谢孙老师的研题，给了我们很多启发和学习的方向，在今后的数学教学中，我一定多学习孙老师这种刻苦钻研，认真思考的精神，让自己一步一步的成长为更优秀的数学老师，最后还要感谢张钦博士为我们提供了这个互相学习的平台，能让我们对初中数学时刻保持热爱。

精彩点评四

认真学习了夷陵区樟树坪初中孙连湘老师的精彩讲题，受益匪浅。2022年浙江省湖州市数学中考第24题以课本《勾股定理》中“思考与探究”为源创编而成，以面积为主线贯穿始终，通过三个问题的解决考察了学生的数学核心素养。本期研题有以下三个鲜明特点。

一、孙老师的讲题注重学生的解题体验，站在学生解答的角度，从友好设计的第一问开始，分析题目条件的变化，经历图形从一般到特殊的变化，引导把握问题的本质，在增加垂直条件和图形由正方形变为等边三角形的过程中的过程中，关注变化，联系性质，顺势转化，多路突破。从不同角度、不同层次给出了相应的分析，及时搭好解决问题的梯子，让解题方法应运而生，问题解决水到渠成，整个过程给人感觉自然舒服。

二、湖州第24题以面积为“题眼”，对学生的推理能力和计算能力综合考察，孙老师紧紧抓住面积进行突破，不仅从面积角度寻找解题途径，还以寻找线段之间的关系为入口，从相似、全等和勾股定理的角度提供了不同的解法。在此基础上，对几何中的面积问题进行了全面梳理，把小学学段到初中学段的面积问题做了详细的整理，全面清晰地呈现了平面几何中的面积知识，形成了完整的知识体系，有大单元设计和项目化学习的意味。体现了孙老师的精心准备和深入研究，在初中阶段，与面积相关的问题比较零散，而面积又是几何研究重要内容，孙老师给出的全面系统的梳理，为面积问题的解决提供了很好的途径。

三、孙老师在研题中充分挖掘题目本身的变化，给出了多种变式，在对题目的改编中抓住解决问题的本质。“多题一法”、“多题归一”的实质就是“悟本质”，对本质的把握才是解题之道，也是研题之道。在对湖州24题的研题中孙老师注重“一题多变”和“一题多解”，并且还以课本八下《平行四边形》中的一道习题为例，给出了精彩的一题多解，在“一题多解”和“一题多变”中练就灵活的数学思维，这也是我们研题的目的，孙老师做出了很好的探索。

回看这道压轴题，以勾股定理为源，以面积问题为线，综合了几何推理和运算。勾股定理有着深厚的数学文化底蕴，面积则是其中的文化韵味，在第一问的第二小问中，面积之间的关系转为两个正方形边长之间的数量关系b2+ab-a2=0，这里的M点是线段BC的黄金分割点,代数的关系表达和几何图形的美感在这里完美体现，内在的逻辑关系和外在的美好感受有机组合，再现数学的“冰冷与美丽”。

宜昌市初中数学研题平台带给我太多的收获和成长，很享受向热爱初中数学的老师们学习的美好，感谢张钦博士给我们提供了交流学习的平台，感谢讲题老师给我们带来的精彩分享！

个人感言

作为一名农村初中数学教师，我深感自己的教学能力不足，很渴望有学习的机会，非常感谢张博士及其团队给我这次研题的机会，让我可以在研题中学习与思考。

选择浙江省湖州市的第24题，主要是因为初见此题时觉得图形简洁美观，文字精炼，有种似曾相识的感觉，脑海中顿时浮现十七章勾股定理和等边三角形的相关内容，细细研读此题，才发现题目的背后是出题者智慧的呈现，此题两问表面看似相互独立，条件独立，图形独立，但是在细细研读中却发现它们的解法是相通的，“形变而神不变”，无论基本图形发生怎样的变化，始终围绕直角三角形与其两条直角边向外做的图形之间的面积差关系展开。第一问的第1小问在给出两个正方形的具体面积后，要求直角三角形的面积，学生很容易根据正方形和直角三角形的面积计算方法求得，此问设计很友好，照顾了学生的情绪感受，其实学生答题到最后压轴题的位置时已经身心俱疲，当看到这样简单的设问时会眼前一亮，心理压力顿时减轻不少，能带着信心和勇气接着后续的探索，这体现了出题者的人文关怀。接着在第2小问中，问题的难度开始爬坡，延长EA交GB 延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB，求证：s2-s1=2s．在第一小问的基础上延长了EA与GB交于点N后，FH与AB不一定垂直，但题目给定了垂直，这个看似简单的条件却让动态图形变成静态图形了，图形的形状一旦确定，就会呈现特殊的性质，从而使图形之间的数量关系也变得更加特殊了。由图形的位置关系的变化导致图形数量之间的变化，体现了从一般到特殊的思想。在解题过程中，学生很难将条件和结论进行有效的联结，需要在教师的引导下进行相应的转化以达到目的。第2小问从表面来看是图形面积之间数量关系的证明，实则是对相似、全等、面积以及锐角三角函数等知识点的综合考查。在第一问的基础上，第二问对图形进行了改变，基本图形由正方形变为等边三角形，再一次给定垂直条件，EF⊥CF，试探索s2-s1与S之间的等量关系．此问难度接着爬坡，但是学生有了第一问的解题经验能够比较轻松地完成，会有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感触。正是有了前面的解题经验，才有了后面的问题改变，舍掉垂直条件，条件变的更一般，前面研究的结论还成立吗？纵观此题，它的最大魅力在于它不仅完美地展现了数学图形的简单美和文化美，而且体现了数学的变化美，由此及彼，由特殊到一般，万变不离其宗。

回头再看此次研题，还有很多欠缺的地方，比如，在第一问的第2小问中，学生很难将条件和结论有效联结，如何站在学生的角度思考问题：他们阅读题目后会在哪里卡顿？又会做何种尝试？最终又是怎样寻找突破口解决此题的？这些都是作为研题者应该想到的问题 ，而我在第2小问的讲解中缺少对学生思维突破的有效指导，没有打通学生的思路，从而使解法显得大而空，无法落地生根。如果能在等式的变形中再多下点功夫，解题的思路会呈现的更顺畅、更符合学生的认知。

回想研题过程，既艰辛又充实，从选题到解法探究再到研题反思，一路走来学习了很多知识，几何画板的使用以及课件的制作水平都得到了提高，通过研究问题的不同解法，解题能力也得到了提高。一路走来还得到了很多老师的帮助与指导，感谢张钦博士对我的信任，感谢夷陵区数学教研员高先敏老师提出的修改意见，感谢黄毅老师对研题反思和技术上的指导，感谢樟村坪初中冯文权老师及数学团队的大力支持，也感谢程雪琼老师、李玲老师、卢勇老师、唐斌老师的精彩点评，您们对本次研题作的更高层次的分析和解读，让我茅塞顿开。

宜昌市初中数学研题平台给我们广大老师提供了学习、交流、发展的机会，让我有幸见识到宜昌优秀数学老师们的风采。感谢张钦博士及其团队的辛苦付出，我一定会继续向各位优秀的老师们学习，不断钻研，提升自我，让更多的农村孩子爱上数学，学习数学，会用数学！

孙连湘老师简介

孙连湘，女，宜昌市夷陵区樟村坪镇中小学教师。从教10年来一直担任班主任和数学教学工作，曾多次参加区级数学优质课竞赛和市、省级班主任专业能力大赛，获一等奖。多次被评为夷陵区优秀班主任和优秀学科教师。从教以来，一直秉承爱心，耐心和责任心努力工作，力争做家长满意，学生喜欢、同行认可的好老师。让更多的农村孩子喜欢数学，学习数学、会用数学一直是她的奋斗目标！