海森堡不确定性原理是如何从傅立叶变换中得出的？

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在量子力学的早期，物理学家们试图围绕电子等亚原子粒子的双波粒子特性展开研究。这部分是由于需要找到对在电子双缝实验中观察到的衍射图案和观察到的原子离散频谱的解释，这表明只存在离散的“允许”电子轨道。为了解释这些实验观察结果，物理学家路易斯·德布罗意(Louis de Broglie)向前迈出了一步，并假设每个物质粒子都有一个相关的波，后来被称为物质波或德布罗意波，具有相应的德布罗意波长。这种物质波，后来被薛定谔发展成波函数的概念，然后将捕捉粒子的波动特性。

然而，物理学家随后面临着在数学上调和这两种截然不同的物质描述的挑战。在物质的粒状粒子描述中，物质粒子在空间中具有精确定义的位置和轨迹，但粒子相关的物质波似乎像池塘中的涟漪一样在整个空间延伸。

为了调和这两种描述，在量子力学中，我们利用局部波函数（也称为波包）来同时捕获量子粒子的粒子和波特性。局域化是指描述粒子位置（或动量）概率分布的波函数不会在所有空间方向上无限延伸。相反，它仅在特定的有限空间区域内有效地非零，而在其他任何地方都为零。例如，典型的局部波函数是高斯波包的波函数，如下所示：

原型局部一维高斯波包。

在这里，我们有一些在位置x = 0处找到粒子的峰值概率幅度，并且随着我们离这个原点越来越远，概率幅度迅速下降并且在空间的其他任何地方都有效地为零。

为了在数学上表示高斯波包或任何任意波包，我们使用傅里叶变换。对于那些已经熟悉傅立叶变换的人来说，这可能是完全直观的，但是对于那些不是核心概念的人来说：

任何任意波包形状都可以分解为许多具有不同波长和振幅的正弦波之和。

然而，在实践中，我们处理的是具有不同波长的连续波，因此我们使用积分而不是总和。我们也可以将这个想法改写如下：

任何任意波包都可以分解为具有不同德布罗意波长和振幅的不同物质波的叠加。

因此，使用傅立叶变换，我们可以将任意波包表示为 [1]：

其中复指数定义了一个正弦平面波，波矢为k，角频率为 。正如我们所见，傅里叶变换将波包从空间域转移到“波矢量”域，反之亦然，其方式与将时域信号变换到频域的方式完全相同。

在这一点上，我们应该弄清楚物质波的波矢、它的德布罗意波长和相应粒子p的动量之间的联系：

由于波矢和动量成正比，我们也可以说傅立叶变换将波包从其位置x-表示(x)转移到其动量 p-表示(p)。如前所述，波包在其位置表示中描述了在任何位置找到粒子的概率幅度分布，并且以完全相同的方式在其动量表示中的波包给出了测量粒子的概率幅度分布给定的势头。

现在让我们考虑特定时间t的波包，因为我们不关心描述它的时间演化，而是描述它的静态、静止特征。因此，在t = 0时，我们有以下与时间无关的波包描述：

由于波包的波矢量表示只是位置表示的傅里叶变换，反之亦然，因此我们还有：

因此，波包的位置表示作为复振幅（x）用于波包的波矢量表示中的傅里叶分解。因此，我们可以清楚地看到，这两种表示形式相互依赖，密不可分。

现在让我们回过头来考虑我们的一维高斯波包。例如，我们将在其波矢量表示中定义我们的高斯波包，如下所示：

其中指数前面的系数只是一些归一化常数，σ 有效地描述了高斯波包的“宽度”。我们还可以看到，高斯概率振幅在某个波矢k₀处达到峰值。现在，通过简单地执行上述表达式的傅立叶变换，我们得到波包的位置表示：

然后我们可以绘制出波包在其位置|(x)|²和波向量 |(x)|² 的概率分布。(k) | ²使用任意值表示峰值波矢量k₀和高斯波包宽度 σ：

波包概率分布在其位置和波矢量表示中的图。

从这里我们可以通过观察改变高斯波包宽度 σ 的影响，对这两种表示如何相互依赖获得一些直觉。这是下面的动画：

具有不同高斯波包宽度的位置和波矢量概率分布的动画。

当我们考虑概率分布时，我们现在可以将波包的宽度视为不确定性。因此，上面的动画显示，随着位置空间中波包的不确定性降低，波矢或动量表示的不确定性增加，反之亦然。如果我们考虑两个波包表示的指数中的波包宽度 σ 项，这种反比关系也很清楚：

因此，如果位置波包的宽度接近于零，那么我们就可以精确定位粒子的位置。然而，与此同时，粒子动量的不确定性必然增加并趋近于无穷大。

因此，在粒子位置的不确定性和动量之间存在一个基本的权衡。不能同时以任意精度知道粒子的位置和动量。

所以，接下来让我们开始了解海森堡测不准原理的基础。

显示了具有半宽不确定性的位置和波矢量概率分布图。

现在让我们对不确定性原理进行更数学化的描述。要做到这一点，让我们定义位置 Δx和波矢量 Δk 的不确定性，定义为距高斯波包中心的“距离”，此时概率已降至最大概率的exp ( — 1/2) 。这些位置和波矢量的不确定性在上图中以图形方式呈现，并在数学上描述为：

现在，让我们将高斯波包表达式代入上面的等式。对于位置和波矢量波包，我们得到：

因此，如果我们使指数相等并重新排列，我们将得出以下两个不确定性的表达式：

在这里我们可以更清楚地看到两个不确定性之间的反比关系。因此，将两个不确定性相乘得到以下不确定性关系：

最后，我们可以应用粒子物质波的波矢与粒子动量之间的关系：

得出海森堡的量子不确定性关系：

现在，在实践中，海森堡的量子不确定性关系通常表示为不等式：

我们推导出等式关系的原因是我们考虑的高斯波包代表了最低不确定性的波包形状，因此我们的不确定性等式关系代表了不等式关系的最低限度 [1]。因此，高斯波包通常也称为傅里叶限制或变换限制波包形状。因此，所有其他波包形状都具有不确定性，其乘积总是大于ℏ/ 2。

参考:

[1] N. Zettili，“量子力学、概念和应用”，威利，奇切斯特，2001 年。