自然数原理及其应用（投稿退稿版）

自然数原理及其应用（投稿退稿版）

作者：李铁钢

摘要：本文用初等的方法，初步探讨研究了自然数里面的一部分规律。是利用几组等差数列公式，获得了自然数规律探讨的一套理论体系。并且对哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想的证明有了结果。最后还有对自然数规律更深入研究的扩展公式。本文中最核心的公式就是“仰韶公式”。

关键词：自然数基本公式；仰韶公式；含素数公式；哥德巴赫猜想；孪生素数对猜想。

MR（2010）主题分类号： 中图分类号：

文献识别码： A 文章编号：

1 引言

在这个宇宙里，有两样东西就像房屋的骨架一样重要。一种就是数，另一种就是几何图形。而数字和几何图形，在远古人类智慧的初期就已经开始使用和研究了。

早在公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得就把前人使用地几何经验，总结整理上升到了理论的高度，写了一部书名字叫《几何原本》。

自然数在几千年来，人类虽然不断地研究探讨，但是始终没有一个工具用“初等的研究方法”对自然数的规律进行理论的研究和探讨。

近300年来世界级的大数学家们也对自然数进行了艰难地探索，虽然有了一门古老的数学《数论》，就是研究自然数里面的规律的。但是它的研究方法过于高深和复杂了，以至于许多问题一般人都无法学习和研究。

我这里给出一个初等的方法，研究自然数里面的规律。这个方法里面有几个重要的理论和公式，可以对自然数进行深入的探讨和研究。

2 自然数基本公式

2.1 全部自然数只需要用1、2、3三个数，用三个等差数列组成一组的公式来表示即可。如下。

（公式 2.1）

这个公式我们把它命名为自然数基本公式。

用这个公式我们可以建立一个表格，如下。

（图2.1）

推论，自然数依据数的性质和我们研究使用的需要，可以用不同数量的等差数列组成一组公式。

2.2自然数基本公式一个应用就是它的前9个数改变一下位置，就是中国古老的“洛书”。

（图2.2）

以9个数为一页 即从9（n-1）+1 至 9（n-1）+9 可以组成一组等差数列。

如果从10（n-1）+1 至 10（n-1）+10组成一组等差数列，个位数上的数字就都一样了。

3 自然数分类公式

由自然数基本公式可知，项数N就有奇、偶性，代入公式得到下面的由六个等差数列组成一组的自然数分类公式。

（公式3.1）

这个公式我们称之为“自然数分类公式”。

由这个公式建立一个数表如下图，

（图 3.1）

分析这个数表，我们可以把自然数分成四大类。

1、数列6（n-1）+1和6（n-1）+5都是奇数，但是它们包含了自然数里的全部素数和由这些素数形成的合数。

2、数列6（n-1）+2和6（n-1）+4都是偶数。

3、数列6（n-1）+3里面都是3的倍数。

4、数列6（n-1）+6是偶数，是2或3的倍数。

这个“自然数分类公式”它对学习自然数和理解自然数的性质有用。

这个公式最大的好处在于它包括了自然数里面所有的数，每一个自然数都有一个唯一的公式和项数N相对应。

这个公式最大的特点是“包含了全部自然数”。

4 仰韶公式

把“自然数分类公式”用一种特殊的形式来表示，对研究自然数里面的规律就很方便了。

仰韶公式如下。

（公式4.1）

用这个公式写一个表格如下，

（图 4.1）

在这个数表里有许多奥秘，我们只研究了一部分，我们分别研究一下。

如果把这六个公式看成6个数字，从下往上分别记住A、B、C、D、E、F 六个数，这六个数可以进行四则运算，比如

B+D=(6N-1)+(6N+1)=2(6N)=2C。

B+2=(6N-1)+2=(6N+1)=D。

或表示成，6N+2=(6a+1)+(6b+1)=6ab+2 其中 a、b都是项数。

6N= (6a+1)+(6b-1)=(6b-1)+(6a+1)=6ab

这里面还有许多内容，不再多讲。

4.1数列6N±1 里面包含了除2、3外的全部自然数里的素数和这些素数的合数。观察这个表会看到素数出现的原因和形成合数的原因。比如，在数列6N+1里面，项数N=1时，数列是7。当N=8时，就出现了7的第一个合数49.用公式表示就是，7K+1 K=1、2、3……比如 K=1时，N=8 从第8项开始第17项，第22项一直下去都是7的倍数的合数。

以此类推有，13K+2、19K+3等等都是出现一个素数后，到了自身倍数的项后，后面都是出现这个素数的合数项。

由此我们可以观察到出现素数的原因：项数N的位置，在素数的周期中出现了空缺，必然就会有素数来填补。由此也可以看到素数的合数是如何出现的。

4.2数列6N+2、6N-2和6N都是自然数里的偶数。我们观察这个数表可以看到一个规律。比如，在偶数数列6N+2里去一个项数N，N=15，相对应的偶数是92。

92=7+85=13+79=19+73=25+67=31+61=37+55=43+49

如果我们把这些两两相加的数看成一个数对，那么在偶数数列里，每取一个项数N，在相对应的数列6N+1或6N-1里，总会有一组素数对相对应。

随着项数N的增大，这个对应的数对组里的数对也在增多。关键问题是，这些数对有这几种情况：素数与素数、素数与合数、合数与素数、合数与合数。

我们知道素数在自然数里是有无穷多的，这个前人已经证明了。所以在数列6N+1和6N-1里素数也是有无穷多的。

4.3用这个“仰韶公式”初等方法证明哥达巴赫猜想。

4.3.1哥德巴赫猜想的简单表述。

不论原文如何讲，后来有多少种说法，其实核心的东西就是：“在自然数里，任何一个偶数都可以表示成两个素数之和。”

我们只要用数学的方法，证明这句话就行了。

我们的证明使用“仰韶公式”里面的偶数数列6N+2和含素数数列6N+1。

4.3.2看下面这个表

（图4.2）

N=0时 6N+2 = 2

在数列 6N+1 上有 1+1 。

N=1时 6N+2 = 8

在数列 6N+1 上有 1+7 。

N=2 6N+2 =14

在数列 6N+1 上有 1+13、7+7 。

N=3 6N+2 = 20

在数列 6N+1 上有 1+19、7+13 。

N=4 6N+2 = 26

在数列 6N+1 上有 1+25、7+19、13+13 。

每当在偶数列6N+2选取一个偶数时，在含素数数列6N+1上就会相应地出现首尾相加的一组数对。

如果项数N按顺序依次增加，这组两两相加的数对也会依次增加。

数列6N-2和数列6N-1 也是同样的情况。

数列6N 与数列6N±1 是交叉相加，原理一样，这里我们不再讲。我们只研究

数列偶数6N+2和数列6N+1的关系，即可证明哥德巴赫猜想。

4.3.3看下表

（图4.3）

由这个表可以看到随着项数N的增大，偶数在增大，此时两两相加的数对也在增多。这两两相加的数，是首位相加，分为前项和后项。项数N是连续的自然数，而数对的数量基本上是N的一半。

关键问题是它们首尾相加，以中心数据是对称的。当总数不能两两相加时，中心那个数就是自身相加。比如，偶数26时，中心数是13+13。

4.3.4我们为了明确简练，不再用加号表示，而用数对表示两数相加。

随着项数的增加，偶数在变大，而两两相加的数对也在增多。

可以这样表示：

1跟这些数分别相加 7、13、19、25、31……6N+1……

7跟这些数分别相加 13、19、25、31、37……6N+1……

13跟这些数分别相加 19、25、31、37、43……6N+1……

19跟这些数分别相加 25、31、37、43、49……6N+1……

我们会看到前项里面的素数，随着N的增大，总会与后项里的一个素数相遇。

当N为偶数项时，数对中间一项就是自身相加。比如13+13=26。此时如果遇上中间一项是素数，那么就是一个素数对了。

这可以说：当很大和趋近无穷大时，哥德巴赫猜想是成立的。

4.3.5有一个问题如何证明两两相加的数对里面的素数总是可以相遇的。

看下表

（图4.4）

在数列6N±1里面的合数是有周期性的，这些合数由合数方程求出或用合数数列筛出。这些合数的周期，就是素数本身。比如素数7，而它的合数在项数N上都是7的倍数，这样表示N=7k+1 ,K是自然数1、2、3……,1是它的初始相位数。

素数的合数在数列6N+1里面是有周期的，而偶数数列6N+2在数列6N+1里面形成的两两相加的数对是对称分布的。

我们可以看到一个画面：项数在依次逐渐增大，数对的数量在增加，和合数是周期性波浪出现的。

这就保障了不会出现极端的情况发生，整租两数对相加中不会有素数对相加出现。

4.3.6上面我们知道N趋近无穷大时，哥达巴赫猜想是正确的，问题是我们看一看在一组数对中，素谁对是如何产生的，它们的数量是递增还是递减？

（图4.5）

随着项数N的增大，两两相加的总数对是增多的。由于是合数是非对称周期出现，而两数两数相加的数对是对称出现。里面前项的素数与后面的素数总会相遇，这样一来素数对必然也是增多的。这可以用统计方法看一看素数对增加的趋势。这一点理论和逻辑上没有问题。

哥德巴赫猜想证毕！

5 含素数公式

5.1含素数公式

（公式 5.1）

从“仰韶公式”可以直观地看到，这个公式包含了自然数里除2、3以外的全部素数。这点不需要证明。当然这个里面也包含了由素数形成的合数。

用这个公式做一个表格，如下

（图5.1）

我们详细的分析这个表格，一步一步的做

5.1.1这个表格上面是项数N，它是全体自然数1、2、3……直到无穷。它是连续的不间断的，这一点很重要。

5.1.26N+1是一个特殊型的等差数列，取不同的项数N就会出现一连串的数。比如，7、13、19……它们相差6。

5.1.36N-1 同上。

它们的共同点就是包含了自然数里面除2、3外的全部素数，也有这些素数形成的合数。

5.1.4我们看在数列6N+1里面的合数是如何产生的？

7X7=49、7X13=91、7X19=133、7X25=175……

13X13=169、13X19=247、13X25=325、13X31=403……

19X19=361、19X25=475、19X31=589……

后面的数以此类推，可以用公式表达 。

6N+1=（6a+1）(6b+1)

整理化简后就是，N=a(6b+1)+b(公式5.2 )

N是项数，取值范围是1、2、3……全体自然数，它是连续的不间断的。

a是第一个数所在的位数，取值范围是1、2、3……全体自然数。

（6b+1）的取值范围就是数列里的数7、13、19、25……

b是（6b+1）所在的位数。

举例， a =1 就是 7 ，b=3 就是19 。

a(6b+1)+b = 1X19+3 =22 N=22 6N+1=6X22+1=133

若 a=2 b=2 a(6b+1)+b=2X13+2 =28 6X28+1=169

这是数列6N+1里面的数，自身相乘产生的合数。还有一类是数列6N-1里面的数相乘后，在数列6N+1里面成生的合数。

（6c-1）(6d-1) =6N+1 化简整理后，得

N=c(6d-1)-d(公式5.3)

5.1.4在数列6N+1 的项数 N 减去这两个合数方程的N后，留下的那些项，就是素数项。设，Sk 是数列6N+1相对应的素数项。N是数列6+1的项数，N′和N″

是两个合数公式的项，那么有，

Sk = N-N′-N″= N- a(6b+1)-b-c(6d-1)+d

=N-a(6b+1)-c(6d-1)-(b-d) (公式5. 4 )

这个就是在数列6N+1里面的“素数项”公式，虽然可以精确地描述合数的位置，但是也可以看到素数产生的原因和素数的分布规律。

注意，它是“素数项”公式，不是直接描述的素数。转换成素数需要代入6N+1里面去。

5.1.5下面我们探讨一下在数列6N-1里面合数分布的情况。

就是数列6N-1里面的每一个数，分别与6N+1里面的每一个数相乘的结果。

如，5X7=35、5X13=65、5X19=95……

11X7=77、11X13=143、11X19=209……

用公式表示 就是（6e-1）（6f+1）= 6N-1 或 （6e+1）（6f-1）= 6N-1

这两个公式如果不考虑数字的前后位置，可以用一个公式表示就够用了。但是必须注意与上面的公式1、2不同。后面的数必须与6+1全部数相乘。比如

11X7=77、11X13=143、11X19=209…… 不能11直接与13相乘。用公式表示就是6N-1里面的每一个数（包括合数）必须与6N+1里面的每一个数相乘。

化简整理后得到，

N=e(6f+1)-f(公式 5.5 )

N=g(6h-1)+h（公式5.6）

5.1.6同样，数列6N-1 的素数项公式，是

Sk =N-N′-N″=N-e(6f+1)- g(6h-1)-(f-h)(公式 5.7 )

5.2合数方程有无解得判定式

5.2.1设Sk是数列6N-1里面的素数项，合数方程和它们有无解的判定式。

分析这4个“合数项方程式”就可以知道，项数N是连续取数，是1、2、3……的自然数，而产生的合数却有周期性。那些不被合数项覆盖的项数N就是素数项。代入数列6N±1里面就可以得到一个素数。

这样我们就看到了自然数里素数产生的原因，还有素数在数列6N±1里面是有无穷多的。

5.2.1这4个“合数项方程式”可以有4个“判定式”，来判别这4个“合数项方程式”有没有解。有解相对应的数就是一个合数，无解相对应的数就是一个素数。判定式如下

在数列6N+1里面

（N-b）/ (6b+1) =K (公式 5.8)

（N+d）/ (6d-1) =K （公式5.9）

在数列6N-1里面

（N+f）/ (6f+1) =K (公式 5.10)

（N-h）/ (6h-1) =K （公式 5.11）

K必须是正整数，方程才有解。

从这4个判定式中我们可以看到，取一个项数N后，这个N所对应的数，如果是前面“根素数”的合数，那么方程就有解。否则就无解，就是一个新出现的素数。

那些使判定式成立的N，都是6N±1里面的“根素数”形成的合数。而使判定式不成立的N所对应的数，就是一个新的素数。

根素数是指5、7、11、17…….。

5.3使用合数数列在数列6N±1中筛选出合数

在数列6N±1中，由素数5、7、11、13、17、19……形成的合数。找见每一个素数的合数，第一次出现在数列里的初始位置很重要。这样在数列里就会有以这个素数的值，形成的合数的周期N，形成一个合数数列。

在数列6N-1里面，由

5K+1

7(K-1)+6

11K+2

13K(K-1)+11

17K+3

19(K-1)+16

K为自然数，取1、2、3……

初始位置数，如果素数在数列6N-1中，就直接写上它所在的项数即可。比如，

17K+3，17的项数N等于3直接写出就行。

如果素数在数列6N+1中，就是素数在数列6N+1上，它的值减去它所在的项数即可。比如， 13（K-1）+11，素数值13减去它所在的项数2，13-2等于11。

在数列6N+1里面，有

5（K-1）+4

7K+1

11(K-1)+9

13K+2

17(K-1)+14

19K+4

K为自然数，取1、2、3……

初始位置数，如果素数在数列6N+1中，就直接写上它所在的项数即可。比如，

7K+1，7的项数N等于1直接写出就行。

如果素数在数列6N-1中，就是素数在数列6N-1上，它的值减去它所在的项数即可。比如， 17（K-1）+14，素数值17减去它所在的项数3，17-3等于14。

以上就是在数列6N±1简单的筛去合数的方法，而剩下的合数都有一个项数N相对应。

5.4孪生素数对的证明

5.4.1第一种证明方法

参看图5.1

5.4.1.1不论在数列6N+1里面和数列6N-1 里面，都有“根素数”形成的合数。比如，根素数是5、7、11、17、19……等等。它们形成的合数就是 5K+a、7K+a、11K+a、13K+a等等，K是项数，是自然数1、2、3…，而a是这个根素数出现在数列6N±1里面合数的初始位置。

因为我们在“仰韶公式”（参看我有关文章）里看到，数列6N±1里包含了除2、3外的全部素数。

这个不需要证明，可以从“仰韶公示表格”里直接看到。

5.4.1.2这些根素数形成的合数，它们都是周期性出现的，都有自己的周期。周期就是这个根素数的值。比如根素数13，它形成的合数，在数列6N±1里面是以13为周期的（可以直接数出来）。但是它们在数列6N±1里面出现的初始位置是不同的。

5.4.1.3我们可以做一个假设，如果这些根素数形成的合数。在数列6N±1里面的初始位置都是一样的，那么在数列6N±1里面形成的数对，只能有两种，就是合数与合数、素数与素数。而数列6N±1里面的素数是有无穷多的，所以形成的素数对也就是无穷多的。

5.4.1.4合数对多于素数对，因为项数N趋于无穷大。但是无穷大不能比较多少，所以素数对在自然数里也可以是无穷多。

5.4.1.5因为相同周期的合数，比如7，出现在数列6N±1里面的初始位置不同，这样就增加了两种情况的出现。就是合数与素数、素数与合数的数对。这样一来数列6N±1里面就有了四种情况的出现：合数与合数、合数与素数、素数与合数、素数与素数。

5.4.1.6合数与素数、素数与合数这两种情况是从项数N一定时的总数里分化出来的，但是不可能把素数与素数的数量挤占完。当N趋于无穷大时，素数与素数的数对还是有无穷多的。

5.4.1.7 结论：这个方法就证明了“在自然数里的孪生素数对有无穷多对”。

5.4.2第二种证明方法，这次每一步都力争没有质疑之处。注意我过去讲的基础知识在这里不再重复。

5.4.2.1数列6N±1里面包含了自然数里，除2、3以外的全部素数和由这些“根素数”形成的周期性的合数（看图4.1，这无质疑不需要证明）。

5.4.2.1在数列6N+1里面的合数方程。为

N=a(6b+1)+b (公式 5.2)

N=c(6d-1)-d （公式5.3）

其中，N、a、b、c、d都是项数 ，取值范围都是自然数1、2、3……∞

在数列6N-1里面的合数方程。为

N=e(6f+1)-f (公式 5.5)

N=g(6h-1)+h （公式 5.6）

其中，N、e、f、g、h都是项数 ，取值范围都是自然数1、2、3……∞

5.4.2.2分析这4个“合数项方程式”就可以知道，项数N是连续取数，是1、2、3……的自然数，而产生的合数却有周期性。那些不被合数项覆盖的项数N就是素数项。代入数列6N±1里面就可以得到一个素数。

这样我们就看到了自然数里素数产生的原因，还有素数在数列6N±1里面是有无穷多的。

5.4.2.3这4个“合数项方程式”可以有4个“判定式”，来判别这4个“合数项方程式”有没有解。有解相对应的数就是一个合数，无解相对应的数就是一个素数。判定是如下

在数列6N+1里面

（N-b）/ (6b+1) =K (公式 5.8 )

（N+d）/ (6d-1) =K （公式5.9）

在数列6N-1里面

（N+f）/ (6f+1) =K (公式 5.10)

（N-h）/ (6h-1) =K （公式 5.11）

K必须是正整数，方程才有解。

5.4.2.4从这4个判别式中我们可以看到，取一个项数N后，这个N所对应的数，如果是前面“根素数”的合数，那么方程就有解。否则就无解，就是一个新出现的素数。

5.4.2.5我们要证明在“自然数里的孪生素数对有无穷多对”，就需要证明这4个判别式，在取相同的项数N时，都无解。当N无限增大后也都无解，即可。

这样就把证明孪生素数对的问题，转化成了这4个判别式有、无解的问题了。

（Nk-b）/ (6b+1) =K

（Nk+d）/ (6d-1) =K

（Nk+f）/ (6f-1) =K

（Nk-h）/ (6h+1) =K

5.4.2.6在我们看见的范围内，孪生素数对是存在的，我们选一个比较的大项Nk代入判别式。

这组方程是无解的，这个可以理解。

5.4.2.7在我们看不见的范围内，取一个要多大有多大的项数Nm，让Nm趋于无穷大，代入判别式，有

（Nm-b）/ (6b+1) =K

（Nm+d）/ (6d-1) =K

（Nm+f）/ (6f-1) =K

（Nm-h）/ (6h+1) =K

我们看到这4个判别式结构没有任何变化，说明它们同时无解还是成立的。

5.4.2.8 结论：证明了“在自然数里的孪生素数对有无穷多对”。

证毕。

6“含素数公式”的一个扩展公式

看数列6N-1的个位上的数字，从N=1到第五项，分别是5、1、7、3、9。

看数列6N+1的个位上的数字，从N=1到第五项，分别是7、3、9、5、1。

从N=6项开始就重复了，它们的周期是5。

这两个数列的个位数周期相差2。这里面隐藏着神秘的自然数的秘密，今天我们不研究。我们如果把N=5和N=6之间隔开，每5项是一页。依据前面“自然数基本公式”的定义，依据自然数的性质和我们的需要，自然数可以组合成几个等差数列一组的公式”，那么我们就可以写出下面的一组公式，

30N+7 （在原数列6N+1里）

30N+11 （在原数列6N-1里）

30N+13 （在原数列6N+1里）

30N+17 （在原数列6N-1里）

30N+19 （在原数列6N+1里）

30N+23 （在原数列6N-1里）

30N+29 （在原数列6N-1里）

30N+31 （在原数列6N+1里）

N= 0、1、2、3……∞

（公式 6.1）

为何把数列30N+5和数列30N+25去掉？因为个位数是5的数字，不论多大都是5的倍数。这个数也像是“奇数里的偶数”一样。这样就把自然数里2、3、5三个数的合数全部去掉了。

像数列6N+11和数列6N+13，数列30N+17和数列30N+19，

数列30N+29和数列30N+31都可以组成相差数2的数对。

为什么N从零开始？因为标准等差数列公式里面有一个（N-1），公式运算时很难处理，为了去掉这个（N-1）只好从N等于0项开始。

这个公式我们起名叫“扩展一公式”。

这样做有什么好处？看下图我们利用扩展一公式一个表格，如下

（图 6.1）

6.1这8个等差数列我们分别用A、B、C、D、E、F、G、H来表示，可以进行四则运算。

6.2这8个公式里面都有素数，还有“根素数”形成的合数。

这些合数是这样产生的：

（30a+7）（30b+7）=60ab+30a+30b+7²=30N+19

化简整理，得

N=a(30b+7)+(7b+1) 其余七个公式又有类似的公式。

注意里面的（7b+1）出现，因为我们N的首项选的是0。

如果用标准的等差数列30（N-1）+7 形式，后面的公式推导研究就太复杂了。

虽然复杂但是每一个数列里面根素数产生的合数的周期都是一样的。

比如，在数列30N+7里面，根素数7的合数项可以这样表示：

N=7K+1 K=1、2、3……其它7个数列里也有这个公式，仅仅是“初始项”的位置不同。这个研究方法与…6N±1里面的规律是相同的，不过就是“合数方程”更多，更复杂了。也没办法简单化。可能就是自然数里这部分就是这样复杂。

由于同周期的合数在每一个数列里出现的初始位置不同，所以同一周的合数不会与其它数列里与同一周期的合数位置重合，即使再多的数列出现素数也无法用一个公式连续的表达出来。但是局部的“等差数列”素数公式会产生。

6.3我们看这个表还有另为一个规律。当N等于10时，个位数和十位数上的数字又重复出现了，这个表格做的很长。我们可以把前十项看称一页，继续用一组等差数列料表示，就是

300N+7、300N+11、300N+13……、300N+361。

它的项数N也是从0项开始到无穷大。里面的规律与6N±1的规律相同。

如果继续写下去还有3000N、30000N无穷无尽。

表格每向数列数目增多的方向增加一次，而它的横向N还是无穷大。

而纵向表格增大也是无穷大的，里面的规律也与6N±1形成表格的规律相同。不过越增大合数方程也是有无限多组、素数对也有无限多对、局部的素数公式也是无限多的。

这部分没有深入的研究。

7 浅析自然数偶数与素数的关系

7.1通过下面的研究，我们会在偶数列6N-2和含素数数列6N-1中，得到如下偶数与素数关系的结论：

1、在偶数列6N-2中的每一个偶数，都可以是 数列6N-1里的两个素数之和；

2、在大于40的偶数后，都可以写成一个素数与两个素数的乘积之和；

3、只要偶数足够大，都可以表示成一个素数与3个以上素数的乘积之和。

7.2看“图4.1”仰韶公式数表。这个公式数表对我们研究1+2是有用处的。因为在自然数里除2、3外，这两个数列6N±1包含了自然数里的全部素数，也有它们形成的合数。1是一个“单位”，我这里也可以看成一个素数。

数列6N±2和数列6N包含了除2外的全部偶数。

7.3这个表格是用“仰韶公式”写出来的，里面还有许许多多的奥秘。“仰韶公式”的重大价值在于“它把自然数里的每一个数（1、2、3除外），都用唯一的公式和唯一的项数N来表示，不论素数和合数本身就与项数N形成了函数关系”。

7.4下面我们用数列6N-2和6N-1研究一下“1+2”的问题。我们一步一步的研究，力争每一步都是准确的。

7.4.1表格如下

（图7.1）

7.4.2数列6N-2里面都是偶数，是自然数里面一部分偶数。

数列6N-1里面都是奇数，是一部分素数和由它们形成的合数。

7.4.3数列6N-1里面的素数也是无穷多的，里面有这种原因形成的合数：

5X7、5X13、5X19……5X(6N+1)……

11X7、11X13、11X19……11X(6N+1)……

这样无尽的X……

还有，

7X11、7X17、7X23……7X(6N-1)……

13X5、13X11、13X17……13X(6N-1)……

这样无尽的X……

就是（6N-1）X(6N+1)或（6N+1）X(6N-1)

7.4.4我们依据上面的规律，可以定义两个“合数项方程式”。

N=a(6b+1)-b

N=c（6d-1）+d

其中，N、a、b、c、d 都是项数，取值范围是全部自然数1、2、3……

注意N是项数，不是合数本身。只有把取得的N带数列6N-1后，才是一个合数。

7.4.5在数列6N-1里面，我们还有一个办法，就是使用“合数数列”6S+a (S是一个素数，a是它的合数出现的初始位置)在一定范围内把合数都求出来，剩下的都是素数项，把素数项N代入数列6N-1就可以得到一个素数。

7.4.6在数列6N-1里面，合数数列如下：

5K+1

7(K-1)+6

11K+2

13(K-1)+11

17K+3

19(K-1)+16

23K+4

25(k-1)+21 (注意会有多个素数相乘的出现)

29K+5

……无穷无尽个合数等差数列。

其中K取自然数1、2、3……∞

数列后面的初始位置很简单求得。

在数列在数列6N-1里面的素数，直接写它所在的项数N即可。

比如，S=17，它的项数N是3，所以它的初始位置就是3。

在数列6N+1里面的素数，素数的数目减去它在数列6N+1里面的项数N即可。

比如，7它的项数是1.7-1=6 它的初始位置就是6。

素数19，它的项数N是3。19-3=16 ，所以它的初始位置就是16。

7.4.7注意一点，看合数公式数列6N-1里面的合数，是

5X7、5X13、5X19……5X(6N+1)……

11X7、11X13、11X19……11X(6N+1)……

这样无尽的数列6N-1里面的每一个数分别乘以6N+1里面的每一个数。

因为是这样形成的合数，所以合数由两个、三个、四个和无穷多的相乘组成的。

7.4.8数列6N-2是偶数，我们这样写一下

随着项数N的增大

偶数4，用数列6N-1里的数可以表示成：2+2，

偶数10，用数列6N-1里的数可以表示成：5+5，

偶数16，用数列6N-1里的数可以表示成：5+11，

偶数22，用数列6N-1里的数可以表示成：（5+17）、（11+11），

偶数28，用数列6N-1里的数可以表示成：（5+23）、（11+17），

偶数34，用数列6N-1里的数可以表示成：（5+29）、（11+23），

偶数40，用数列6N-1里的数可以表示成：

（5+35）、（11+29）、（17+17），

这样一直加下去。

我们把前面的数叫前项，后面的数叫后项。

随着项数N的增大，数列6N-1前项里面的每一个数，都要与后项数相加。

就是5+……（后项6N-1）……

就是11+……（后项6N-1）……

就是17+……（后项6N-1）……

7.4.9依据以上的研究，我们就可以看到，

在偶数列6N-2和含素数数列6N-1里面的关系，

1、任何一个在数列6N-2里面的偶数，都可以表示成在数列6N-1里面的两个素数之和；

（这就是哥德巴赫猜想）

2、任何一个在数列6N-2里面的偶数，当偶数大于等于40后，都可以表示成在数列6N-1里面的一个素数与两个素数乘积之和；

3、任何一个在数列6N-2里面的偶数，只要足够大都可以表示成在数列6N-1里面的3个、4个、5个甚至无穷多素数的乘积之和。

通过研究数列6N-2与数列6N-1的关系，我们可以解决数论里多年来一些最让人们困惑的问题。

最后结束语

从“自然数基本公式”到“扩展一下公式”，是用初等方法打开了研究自然数规律的一把钥匙，开拓了数学一个新的领域。我仅仅是打开了一扇门，里面还有许多的奥秘需要人们去研究和整理。

参考文献

写给网站和网友的话

这是一个投稿被退稿的版本，我已经投稿二十年了，今后不再投稿，也不再研究这一问题了。

希望“网易”审核通过它。

有可能的话希望网站或网友把它翻译成英语，放到外国网站会有什么反应？

今后专心写小说，小说不一定现在发表。

2023年2月6日星期一