新定义“收纳系数”，概念教学的试金石

新定义“收纳系数”，概念教学的试金石

在人教版七年级上册数学教材中，内容并不多，总共只有有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步四个章节，并且多数还与小学知识关系紧密，也称对接。其中有理数运算，包括运算法则、相反数、绝对值等概念，是学生进入初中之后，在新的体系下接触到的第一批数学概念，在学习这些概念的过程中，不仅仅满足于会运算，而应该从更深层面去理解它们，在初中数学知识体系建立的开端，保持一种良好的学习习惯，或者对老师来说，保持一种良好的教学习惯，最终受益的，一定是三年后的学生，以及多年后的老师。

新定义题型，特别是新定义数学概念，极考验学生的数学理解能力，平时是如何学习数学概念，是真的懂还是表面上懂，这块试金石一试便知。

题目

对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段AB上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数.

例如，对于数组P：1，2，3，因为1/3×1=1/3，1/3×2=2/3，1/3×3=1，取A为原点，B为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断k=1/3是P的收纳系数.

已知k的数组P的收纳系数，此时线段AB的端点A，B表示的数分别为a，b(a

(1)对数组P：1，2，-3，在1，1/4，-1/5这三个数中，k可能是__________；

(2)对数组P：1，2，x，若k的最大值为1/3，求x的值；

(3)已知100个连续整数中第一个整数为x，从中选择n个数，组成数组P.

①当x=-80，且a=3时，直接写出n的最大值；

②当n=100时，直接写出k的最大值和相应的|a+b|的最小值.

解析：

0 1

(1)对于新定义题型，首先要理解收纳系数的含义，虽然第1小题最简单，但这个简单是建立在正确理解的基础之上，否则也是一筹莫展。

对于数组P，数组内均为整数，且各不相等，这就为我们对数组内的整数进行排序提供了可能，不妨将这个数组内的所有整数按从小到大的顺序排列起来，这并不影响定义，如下图：

其中乘以k之后的这一组结果，全部位于数轴上大于等于a且小于等于b的范围内.

再来看第1小题，我们的思路就是将数组P中的最大数和最小数找到，分别乘以可能的k值，看结果最大值和最小值间的差是否小于等于1：

若k=1，结果分别是-3，1，2，差值为5，不满足；

若k=1/4，结果分别是-3/4，1/4，1/2，差值为5/4，不满足；

若k=-1/5，结果分别是-2/5，-1/5，3/5，差值为1，满足.

所以k可能是-1/5；

不急着去做下一道题，我们需要从最简单的解题过程中，找到一丝经验去帮助后面解题，数组P内的三个数字按从小到大排序为-3，1，2，当k为正数时，乘以k之后，这个排序结果并不会变，而当k为负数时，乘以k之后，这个排序就颠倒过来了，为什么？

我们用七年级学生学过的数轴作为图例，以原点为界，左侧是负数，右侧是正数，若k是1，则数组P乘以k之后依旧维持原位，若k是-1，则数组P乘以k之后，原先左侧的点对称跑到右侧，而右侧的点则对称跑到左侧，于是整个数组P内的排序便全部颠倒了；若k是任意正数，这个排序结果并不会改变，若k是任意负数，则排序变化效果和k=-1时相同，所以我们可以归纳出，数组P乘以k，k为正，排序不变，k为负，排序颠倒；

0 2

(2)由于数组P中含x，我们并不知道它在这三个数中的排序位置，但在1和2之间再无整数，并未留下容纳它的位置，所以x只有两种可能，x<1或x>2，我们分两种情况讨论：

当x<1时，数组P：x，1，2，分别乘以k之后为kx，k，2k，那么k最大值为1/3是什么意思呢？

由于数组P乘以k之后，要被“收纳”到线段AB上，新数组kP要刚刚“填满”线段AB，即新数组kP中的最大值减去最小值，差恰好为1，这时的k才能被称为最大值，再小一点就填不满了；

把k=1/3代入后，得新数组1/3x，1/3，2/3，用其中的最大值减最小值求差为2/3-1/3x=1，解得x=-1；

当x>2时，新数组为1/3，2/3，1/3x，用其中的最大值减最小值求差为1/3x-1/3=1，解得x=4；

因此，满足条件的x有两个结果，-1或4；

0 3

(3)对于100个连续整数，它们的特点是什么？这个问题如果没想明白，后面解题就极难，100个连续整数，相邻两个整数之间差为1，这个好理解，连续100个，可推导出最大的整数与最小的整数之差为99，这是后续解题的基础；

①第一个整数为-80，则数组P中的数从-80到19共100个整数，从中选择n个数，乘以k之后，落在线段AB上，即大于等于a，小于等于b，现在a=3，则b=4，所以新数组kP中的最小值应该大于等于3，最大值应该小于等于4；

现在来看这个新数组kP，由于原数组P第一个整数是-80，最后一个是19，新数组P选择n个数之后都乘以k，结果全部大于等于3且小于等于4，这个范围内的数都是正数，这又要分情况讨论：

若选择的n个数全部是负数，则k一定为负；

若选择的n个数全部是正数，则k一定为正；

选择的n个数中不可能同时含有正数和负数；

在选择n个数时，由于我们要找n的最大值，即尽可能多地从原数组中选，按上述分类，既然不可能同时含有正数和负数，数组P中全部正数也只有19个，而负数有80个，显然全部选择负数时，n值更大；

全部选择负数，自然第一个整数-80必须入选，以保持n值最大，整数-80是数组中最小的，乘以k之后，应该成为新数组kP中最大值，为保证n最大，这个最大值最好等于4，于是-80k=4，解得k=-1/20，然后我们可以去找最小值3对应的新数组kP中的数，设n个数中最大的为y，则-1/20y=3，解得y=-60，如下图：

现在我们确定了选择了n个数中最小为-80，最大为-60，总共21个数，所以n=21；

②当n=100时，数组P中100个整数，其中最大数减去最小数之差为99，乘以收纳系数k之后，变成100个有理数，k如果要取最大值，只有一种情况，“放满”线段AB，即这100个有理数中最大数和最小数恰好等于a和b，我们可以把k设想成一个缩小器，把原来100个整数首尾相距99个单位长度，缩小为首尾相距1个单位长度的数组，此时的收纳系数k即这两个数组首尾间距之比，如下图：

此时我们可以求出|k|=1/99，于是k的最大值为1/99；

对于绝对值，当a与b同号时，|a+b|=|a|+|b|，而当a与b异号时，|a+b|=|a|-|b|或|b|-|a|，显然a与b异号时，|a+b|才有可能取最小值，并且|a|与|b|越接近，|a+b|越小.

我们在七年级知道有理数中，绝对值最小的数是零，此时a与b互为相反数，所以我们首先要验证a与b有无可能互为相反数：若a与b互为相反数，由a=kx1，b=kxn，则x1和xn也互为相反数，这就说明原来100个整数中，最大数和最小数互为相反数，仔细想想，这可能吗？

100个整数，100是偶数，位于数组“中间”位置的数有两个，第50个和第51个，若要使|a|与|b|更接近，则零只能取第50个数，或第51个数；

当第50个数为零时，说明x1=-49，xn=50，而k=1/99，可求出a=-49/99，b=50/99，则|a+b|=|1/99|=1/99；

当第51个数为零时，说明x1=-50，xn=49，而k=1/99，可求出a=-50/99，b=49/99，则|a+b|=|-1/99|=1/99；

综上所述，k的最大值为1/99，相应的|a+b|的最小值为1/99.

解题反思

一、基本概念要读透

我们再来看“收纳系数”，总体上来看，是将一个数组P中的数，缩小放至数轴上长度为1个单位长度的线段AB上，由于数组P中均为整数且互不相等，所以数组P的原长度肯定大于等于1并且数组内的数可以进行排序；

在这个过程中，数组P中有哪些整数，收纳系数k是多少，线段AB的端点分别代表什么数，是我们理解的关键.

由于七年级数学引入了负数，这让情况变得略复杂，若k为正值，则原数组P乘以k之后，内部排序不变，若k为负值，则内部排序颠倒，这在第3小题的第1问中已经体现出来了.

除了新定义的数学概念，原有数学概念也同样要求较高，例如在探讨|a+b|最小值时，这实质上用到的是有理数加法法则，同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，此时结果的绝对值等于原来两数的绝对值之和；异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对，此时结果的绝对等于原来两数绝对值之差.

二、课堂教学少傲慢

“弱小和无知不是生存的障碍，傲慢才是”这句话用来形容现在七年级教学非常合适，针对有理数运算章节，我们平时多数教学仅仅是将法则告诉学生，然后便是大量重复练习，直到学生正确率上升到某个理想的数值，便宣布完成了教学任务，然而在解决本题过程中，大量有理数计算成绩“优异”的学生，出现了读不懂题的情况，这不得不说明我们平时的课堂教学，对于数学概念这一块，走偏了，考虑到他们多数属于优秀学生，只能承认，教学偏得有点厉害。

针对七年级上学期数学知识不多，且内容相对简单，所以大量重复练习的效果肯定是比较好的，但对于数学概念的理解，这种刷题式学习并无半分好处，在课堂上学习数学概念，作为老师，要从不同角度去解读同一个概念，作为学生要跟随老师的引导，多思考“为什么”，这个过程中，老师的作用非常大，所以我们在初中阶段，引导学生学习数学概念，首先自己要对概念有更深刻的理解，这就不得不提到新课标和新教材，每一个数学概念，在课标中都进行了详细说明，教学地位，教学作用等，它出现在哪个章节，按什么顺序出现，都需要经过认真研究。

千万不能出现“这有什么难的，多刷几道题就行了”的教学想法，唯愿课堂上，少一些这样的傲慢.