论黎曼猜想的不可判定性

论黎曼猜想的不可判定性

骆颖浩

2022年11月20日

简介

黎曼猜想中Riemann ζ 函数同时具有全体负偶数平凡零点和无穷多个实部为1/2的复数非平凡零点，我们可以得出黎曼猜想不可判定。

关键词: 黎曼猜想，Riemann ζ 函数，非平凡零点，同时性，无穷，不可判定性

1. 引言

黎曼猜想是德国数学家 Bernhard Riemann (1826-1866)在1859年提出的(Riemann，1859)。黎曼观察到素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓Riemann ζ 函数 ζ(s)的性态。Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + ... (s> 1)

在复平面上的解析延拓。

复平面上使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。这些零点被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这些平凡零点外，Riemann ζ 函数其它零点被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

Riemann 猜想： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

Re(s)=1/2 的直线称为临界线 (critical line)。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于临界线上。

1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了Riemann ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上(Hardy，1914)。

1989年，美国数学家 Brian Conrey 证明了至少有2/5的零点都在这条临界线上(Conrey，1989)。

本文根据黎曼猜想中Riemann ζ 函数同时具有全体负偶数平凡零点和无穷多个实部为1/2的复数非平凡零点得出黎曼猜想不可判定。

2. 黎曼猜想的不可判定性

黎曼猜想中Riemann ζ 函数是一个复变函数，复数域是因为-1开根号而出现的。

-1开根号到底存不存在？从实数轴或者实数域的角度看，-1开根号是可以判定为不存在的，尽管无穷远点的状态对于实数域而言是不可判定的。因为-1开根号如果存在的话，那么一方面我们可以得出-1等于1这个矛盾，另一方面也意味着一元二次方程判别式小于0时判别式开根号是存在的，这必然意味着一元二次曲线和实数轴有交点，可是这个交点如果出现在实数轴上的话必然意味着这个判别式不小于0，这也会导致矛盾。

所以一元二次方程当判别式小于零的时候，和实数轴也是没有交点的。但是这时引入虚数却可以让它在无穷远点相交。不过，这时虚数存在要有意义，理论上必须假定在无穷远点处存在相交，而这又是一个不可判定的命题。

黎曼猜想中Riemann ζ 函数同时具有全体负偶数平凡零点和无穷多个实部为1/2的复数非平凡零点。

当零根只在实部为1/2的轴时，而不在实数轴时，因为这时这个虚根的存在就意味着Riemann ζ 函数所代表的曲线和实数轴是有交点的，而这个交点被认为是在无穷远点出现的，或者说假定在无穷远点出现，然后用复平面上带有-1开根号的形式表示出来。

无穷远点的状态对于实数域而言是不可判定的。可是黎曼猜想中Riemann ζ 函数的零点同时出现在实数轴上和复平面中实部为1/2的轴上，并且都有无穷多个。所以关于无穷远点这个状态的问题就不可回避了，也就是说在无穷远点，黎曼猜想中Riemann ζ 函数和无穷远点到底相不相交就因为Riemann ζ 函数同时具有全体负偶数平凡零点和无穷多个实部为1/2的复数非平凡零点而不可回避，而这又是一个不可判定的命题。

因此，黎曼猜想不可判定。

参考文献

[1] J. B. Conrey, More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line, J.Reine Angew. Math. 399, 1–26 (1989).

[2] Hardy, G.H. (1914) Sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 158, 1012-1014.

[3] Riemann, B. "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse,'' Monatsber. Akad. Berlin, pp. 671-680, Nov. 1859.

作者简介: 骆颖浩，独立观察家，北京大学硕士。

电话：13691383630

证明了广义素数大定理、发现了世界是概率世界的原因、完成了命运分类理论、研究了货币中性和有效市场的条件，创立了金融信息学。学术论文曾发表在Journal of Economics Bibliography和Theoretical and Practical Research in Economic Fields等学术刊物上。出版了《骆颖浩选集》、《上天的幽灵--骆颖浩杂文集》、《囧熵--骆颖浩文选》、《域命--骆颖浩杂文选》。