压轴题研题活动第78场2022年连云港第27题

精彩点评一

初看2022年江苏省连云港市中考数学第27题，感到很神奇，不过是两块三角板，居然能玩出如此“花样”，含30°角的两个直角三角形，可以容纳全等、相似、等腰，加上旋转变换，还可以关联到圆、弧等图形，除了特殊位置关系，还有特殊数量关系，以及最值问题，确实是一道不可多得的优秀几何压轴题。颜老师对本题的解法研究很透彻，在第1小题中给出了诸多解题方向，无论学生对哪一块知识点熟悉，都能找到属于自己的解题之路，宽入口低门槛，对学生非常友好；第2小题需要在备用图中作图，颜老师在研题中特别强调了规范作图的重要性，这对于我们平时教学有很强的导向，通常情况下，老师在讲课过程中，会使用PPT，上面的图都是规范图形，但它们是如何作出来的，学生并不清楚，我不止一次在课堂巡视中发现，学生作图，更多地在进行临摹，用眼睛判断长度和角度，估摸着画一个与老师出示的“相似”的图形，而只有极少数学生，是在认真读完题目条件之后，根据条件去作图，显然我们更希望是后者。思考一：怎样让学生根据题目条件作出规范的图形？从七年级开始，培养学生正确使用绘图工具，同时让学生明白每件工具的作用，例如无刻度的直尺，作用是画直线、画射线（延长）、画线段（连接），圆规的作用是截取、作弧（圆），再让学生熟悉几何语言例如相交于、垂直于、平分、被平分等，从最基本的简单图形开始，通过不断的练习，加深对作图的理解，最后才可能作出规范的图形，通常情况下，学生用绘图工具能作出正确的图形，基本上对图形的结构也就有了更深的理解，自然对于看漏、看错之类的问题有了免疫力。从教师角度，虽然我们可以使用几何画板工具来代替传统的教具作图，但无论工具如何进化，绘图的基本原理仍然是依据几何语言和描述顺序，优秀的几何题，其用语必然是严谨和规范的，图形中的每个点、每条线都会被明确描述。以第2小题为例，当学生读到“当C、E、D在同一条直线上”时，要思考如何才能让它们共线，是连线CD让点它经过点E，还是连接DE并延长，让延长线经过点C？颜老师给出了三个“确定”，我非常认同，由于旋转过程中，点D和点E分别在一对同心圆上，并且由于∠DEB是直角，推断出DE是小圆的切线，所以当我们用尺规作图时，先作这一对同心圆，再作小圆的切线，才能得到本题要求的图形，当然圆作为辅助图形，并不对后面的推导产生影响。另外强调的是，即使用几何画板，也同样严格遵照尺规作图的方法，才能准确得到图形，从这个意义上来看几何画板工具，是电子化的直尺、圆规。作出图形之后，再来看题目中要求的距离，自然联想到垂线和高，面积法呼之欲出。思考二：怎样让学生想到某种方法？在八年级学习三角形时，当提到面积法，很多学生并不会第一时间想到，即使老师讲过，一段时间之后，仍然有部分学生想不起这种方法，所以作为教师，需要思考，我们讲授的方法，学生为什么想不到？问题出在哪里？这需要回到这种方法的源头，面积法的实质。颜老师提到了同一个量的多种表示方法，不过在此之前，还需要建立起距离-垂线段-高之间的联系，所以回想八年级学习三角形的线段时，关于高的描述，经过三角形的顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，可见三角形的高和垂线段是强关联。与面积法类似的还有方程法，也是同一个量的多种表示方法，选择其中不同的两种，它们之间建立起等量关系，得到方程。在平时教学中，我们除了教学生解法之外，更要教会学生思考，为什么要采用这种解法，坚持下去，在学生头脑中，会慢慢建立起该方法的架构，只有这个时候，我们才能说，学生是真的会了。第3小题其实可以看作是一架梯子，通往第4小题的路径就隐藏在这个小题中，CD的中点G，由初始位置旋转到C、B、D共线，其中相对容易确定的是点D的轨迹，它就是一段弧，圆心在点B，半径为BD，颜老师给出的猜想方法很妙，尤其是对于空间想像力不足的学生，作图可以帮助他们观察轨迹，当然在实际考试作答过程中，学生是不可能有如此多的时间用尺规作图的，这对平时的作图习惯有较强的依赖，也就是说，如果学生平时作图是规范和高效的，那么熟练到一定程度，甚至可以做到“无图胜有图”，以这道题为例，明确了点D的轨迹是一个圆，那么CD的中点会如何运动，容易猜到是另一个圆，这样就进入到下一个议题，圆心在哪。通过颜老师的提炼，发现四个点C、B、D、G之间，B、C是定点，其中B是圆心（旋转中心）在定线BC上，点G在动线CD上，于是点G的旋转中心一定在定线BC上，再联想到中点就顺理成章了。思考三：关于瓜豆模型这个名称很别致，种瓜得瓜，种豆得豆，故称之为瓜豆。其实也是想说主动点和从动点之间，必定存在某种关联，我们在教学过程中，需要教会学生去寻找这种关联，若能成功，叫什么名称并不重要，事实上教材中并没有任何模型的名称，它们是由充满智慧的数学老师们想出来的，形象的名称，如果“想出来”的主体，是我们的学生，那就更完美了。数学解题模型，在解题教学中被大量采用，任何一种解题模型，需要通过大量解题的提炼，试想一下，如果一名数学教师，通过自己的解题积累，需要多大的量才能发现一种新的解题模型？现在换成我们的学生，在初中数学知识体系的完备度、思维的深度上是不如我们的教师的，如果学生采用教师这种量变到质变的提炼方法，显然时效性很差。而要想高效完成这种提炼，需要教学中把每一道题弄明白，想透彻，这需要过程，一个深度反思的过程。因此，解题模型的真正领悟，并不全是在课堂上教师讲完那一刻，而是在留白的时间里，我们的教学中，又有没有给足这种留白呢？第4小题是在前一个小题基础上的升华，点G的轨迹出来之后，问题转变成圆周上的点到定弦的距离，借助∠B=30°，构造特殊直角三角形求解即可。在教法反思中，颜老师改变了原题中两块三角板的位置，换了旋转中心，再换三角形的形状等，其实质相对于原题并没有改变，思考问题的方式也没有改变，这些不变的内容，恰恰是我们解题教学中要重视的部分，即核心素养，外表的元素、关联可以发生改变，核心永远不会变。思考四：课标和教材中的中点概念本题中的中点G，可以看作题眼，第3、4两个小题都是在研究它，学生在思考时，需要在头脑中将所有与中点相关的知识联系起来，因此初中阶段的中点，很有必要进行一次颜老师这样的梳理，如下图：

颜老师从新课标出发，再到教材体系中各章节关于中点的描述，详细阐述了这一概念的“前因后果”，事实上，在整个初中数学体系中，中点的提出是地基，七、八、九年级一路下来，不断在这个基础上添砖加瓦，形成一个又一个新的几何概念，并延展开来，形成知识网络，这是一个以中点为核心的网络结构，类似这样的网络结构在数学体系中比比皆是，从而形成一张更大的网，一个更大的单元。最后说一下位似在本题中的应用，第3小题中点G的运动轨迹，如何从位似的角度去理解，点D绕点B旋转，其轨迹是圆B，此时点C是定点，在点D运动过程中，中点G始终保证了CG：CD=1：2，这和教材中利用橡皮筋画位似图形如出一辙，我们可以很容易想到点G的轨迹与点D的轨迹，即这两个圆，是位似图形，位似中心就是点C，这就较为轻松地找到点G轨迹的圆心了。而2021年江苏省宿迁市中考数学的第27题，也是同样的方法。

精彩点评二

图形的旋转问题一直以来是许多学生闻之色变的“天花板”，颜老师选的就是这样一道压轴题，听他细致的分析之后，受益匪浅：

1、慧眼识别变化中的不变量

他引导学生在纷繁复杂变化中，睿智地抓不变的量。联想运动过程，猜想动点轨迹。把图形的旋转，聚焦到点的旋转，由不变的两边BD、BC，到变化的线段CD，点G是CD中点，联想△BCD的中位线，顿时抓住了变化中的“稳定”---OG，至此，一切迷雾散开。正是颜老师抽丝剥茧地引导，才让学生有了时时的抓手，看到旋转背后的本质，让主从联动图形不再高不可攀。

2、透过题目联想对应知识点

看到的题目变化万千，题目背后的知识点却有迹可循。比如第四问题目问的是，点G到直线AB的距离最大值，有了前面一问对图形的探索，准确定位到圆周上动点到定弦距离的最值问题。用初中生现有的知识如何突破，先画图，对于如何观察图形找思路，颜老师引导学生从整体到局部，从局部到整体，当看到有特殊角度和边长时，不难联想到三角函数。做题找工具的思考过程实质是考察学生脑海里知识网络图的细密程度。学生的知识网络如何生成，并不断密铺，功在平时的新课里，也在这样的一道道压轴题的分解中。

3、变式教学巩固探索与思考

分析完本题后，颜老师抓住学生渐入佳境的机会，进一步对本题的旋转变化做了三个维度的变式，变位置、变形状、变结构，意在告诉学生，抓住变化中的不变量，本质在手，万变不愁：抓住了图形逻辑，不再谈“变”色变。

4、重难点突破层层递进有方法

对于重难点突破，颜老师也做到了阶梯式递进引导，从基本知识联想，到画图细节考量，让简单的问题落实，让细致的思考落地，学生便能随老师一起，挖掘出题目隐含的数学思想方法。研究一个题，想透一类题，知模型却不囿于模型，正是数学老师们所想培养出的高境界学生。

精彩点评三

认真学习了颜老师分享的2022年江苏省连云港市中考数学第27题的精彩讲解，我收获颇多。本题属于图形变换综合题，重点考察学生对相似（全等）三角形、等腰（边）三角形、圆、弧长公式、三角形中位线、旋转、解直角三角形等知识的掌握情况，综合考察学生几何直观、逻辑推理、运算、空间想象等能力。正如颜老师所讲“本题的解题关键在于规范作图”，而如何让学生敢于动手尝试画草图、规范作出草图，这也是我最近一直在思考的问题。初中阶段，数学学习的各个领域都有图形内容。数与代数中有数轴和函数图象，统计和概率中有统计图，实践与综合运用中有图形的操作和设计等，空间与图形部分自不必说，处处有图。2022版新课标对初中阶段作图的有如下要求：

（1）能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线。

（2）能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。

（3）能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

（4）能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线。

（5）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。

（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。

（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。

（8）理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。

（9）能画出简单的平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。

（10）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。

（11）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图。

（12）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置。

（13）能画一次函数、二次函数、反比例函数的图象，通过图象理解其性质。

课标要求，经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象能力。在初中的几何教学过程中，我们应该努力强化学生的作图意识，让学生明白作图的重要性，平时的课堂上，给学生充足的时间去动手操作、画草图，加强作图能力的培养，强化数形结合，让学生在动手实践中感悟画图的魅力。

本题第3问，旋转三角板DEB，关键在于将三角形的旋转转化为点的旋转，分清主动点和从动点，在分析主动点的变化过程中找到定量，解析点G位置的特殊性，在新的框架（三角形）下联系相关基本知识解决问题。实际上，对于线段CD上的任意点G，在点D做圆周运动时，其运动轨迹均为圆周，可利用平行线分线段成比例找到圆心（旋转中心）。我们可以引导解决此类问题时可从易到难，鼓励学生规范作图，先观察次猜想后证明再总结，从而积累解题经验。学生作图能力的培养并非一日之功，需要渗透落实到平时的每一节课、每一个知识点中，任重而道远。

最后感谢颜老师的精彩讲解，感谢张博士搭建的交流平台，每周提供思维大餐，让我们有机会不断学习和进步。

精彩点评四

认真学习了颜老师对2022年江苏省连云港市中考数学第27题的精彩讲解，收获颇丰。

本题是一道极具代表性的代几综合题，考查的数学知识和基本思想全面，颜老师在研题时注重对题干信息的分析，对解题思路和方法的探究，对数学基本思想的渗透，让我印象深刻。

本题首先设定了一对特殊（30°角且共顶点）的直角三角形相似的框架，然后让其中一个三角形绕公共顶点作旋转变换，在变换过程中聚焦于图形间特殊的位置关系和数量关系的探究。第1问，即第一种特殊（当点E落在AB边上时），颜老师通过对比图形变换前后的变与不变，着眼于条件整理，将题干信息先打散再重组，在各种组合中让学生去联想已学的数学知识，看问题的视角不同，这样就可能呈现相异思维，实现一题多解，我想这可能就是颜老师提到的授人以鱼不如授人以“渔”，教给学生一种思考问题的方法对学生来说可能才是最迫切的；第2问，即第二种特殊（点C、E、D在同一条直线上），题目并没有给出此种特殊情况下的具体图形，而是以一个备用图的方式出现，经过分析不难发现，从第2问开始，学生如果能够规范作图将是解题的关键，颜老师在研题中精准的抓住了这一点，旋转变换是一种全等变换，旋转前后线段BE、BC、DE的长度不变，当点C、E、D共线时BE⊥CD，对于需要求解的问题而言，点到直线的距离即点到直线的垂线段（DH⊥BC）的长度，因此很顺畅的将目光聚焦在△CDB的面积中，利用等积法转化；第3问，即第三种特殊（点C、B、D首次共线），这一问对于学生来说有难度，轨迹问题的抽象性强，如果教师在讲解时引导不当很容易简单粗暴的将学生带入一种求解“瓜豆原理”的模型中，颜老师在研题过程中抓住了点的运动轨迹的根，即点动成线这一基本规律和变与不变的本质特征，通过先让学生在脑海中模拟图形的运动过程，然后引导学生画出△DBE在旋转过程中的多个不同的位置再确定中点G 的位置，这样学生通过观察就很容易发现点G的运动轨迹很可能是一段弧线，既然是弧线就可以尝试连接任意两点（如GG’），作GG’的中垂线必和BC有交点，最后抓住图形变换过程中的不变量DB，就能顺利过渡到三角形的中位线上来。这样的探究过程能够充分暴露学生的思维过程，有大量的即时生成，学生在动手实践的过程中也会愈发有兴趣；第4问，是第3问的一次承接，颜老师将目标聚焦到基本图形圆中，本质上就是求圆上一动点G到定弦AB的距离，弄清了这一问题，就可以迎刃而解。

感谢颜老师的精彩讲解，感谢张博士搭建的交流平台，让我们有机会不断学习和进步。

个人感言

江苏连云港2022年中考数学第27题是一道基于旋转相似的代几综合题，对学生“四基”“四能”的要求颇高，尺规作图是解题的关键。

本题用两个简单的三角板共顶点旋转，衍生出不同的数学问题，从第一问到第三问每一问之间看似没有很明显的关联，但实质上是选取了图形变换中的三种特殊的共线情况，考察的是学生对位置关系和数量关系之间的转化应用能力。从第二问开始，需要学生规范作图，深刻理解图形变换中各个元素的变化规律，需要有一定的空间想象能力。第二问重点在于依据现有条件，联想到切线长定理的基本图形，这并不是一件容易的事，圆的基本性质是尺规作图的重要依据和原理，不仅是利用相关性质作已知线段，作直角也可以利用直径所对的圆周角是直角这一性质，在2022版新课标中对于过直线外一点作圆的切线已有了相关要求，如果在日常教学中对于这一部分有过相应的实践训练，相信学生能够很快作出图形。第三问对于G点的运动轨迹，实质上如果学生对于位似有深刻理解的话，也是不难判断的，但是在我们的日常教学中，位似作为相似这一章节的最后一部分内容，通常我们在进行教学时会让学生在已经学过的相似图形中找位似，但很少有去尝试让学生在旋转中找位似，图形旋转的过程中，对应点与旋转中心的连线是由无数个点组成，这条线段上的所有的点都可以看成是在绕旋转中心旋转，作出旋转轨迹，就可以发现旋转与位似的联系，那么再去攻克本题中涉及到的数学问题，便会简单很多，如果不依据位似，而是猜想轨迹为圆弧，那么发现轨迹后，如何找圆心（旋转中心）又成了一个难点，由于BD的长一定，点G是CD中点，此时在新的框架（三角形CBD）中，不管图形如何变化，有一边长固定，由此联想到这条边对应的中位线，则此中位线的长也是一定的，也就符合旋转的性质了。

在整个研题的过程中，从第一阶段的研解法，到第二阶段的研变法，再到第三阶段的研教法，最后到回归课标，研“三会”“四基”“四能”，一步步成长，自身的教学视角也在一步步扩大，因此感谢张博士为我们提供的学习交流的平台，同时也要感谢黄毅老师给予的指导，通过黄老师的指导，让我又重新学习课标和教材，整理“中点”要求，让我学会了如何整合课标与教材，站在高点俯瞰知识培养体系，从而形成一套教学理念和方法，使得日常教学不在被切割。还要感谢高飞老师，张敏老师，胡春锋老师的点评，从他们的点评中让我对本题和教学又有了新的认识，最后还要感谢秭归县教研室数学教研员何训光主任和秭归县磨坪中学全体数学组老师，正是有了他们的帮助，才有这次完整的研题。

不管是研题还是教学，任重而道远，只有不断学习，不断创新，不断提升我们教师的素养，学生的学科素养才有发展的前景和活力。

颜德才老师简介

颜德才，宜昌市基础教育1+1+N初中数学学科中心组成员，秭归县优秀教师，曾获秭归县线上教学能手，秭归县数学优质课竞赛一等奖等荣誉，秭归县磨坪中学数学教学骨干，座右铭：“一成不变终将毁灭”。