压轴题研题活动第71场2022年重庆B卷第25题

精彩点评一

今天认真学习了刘梦倩老师的研题，收获不少。她作为一名青年教师，将一道中考题研究的细致入微非常难得。本题内容选自2022年重庆中考数学(B卷)的压轴题，以等腰直角三角形为背景，涉及线段中点，全等三角形，线段的和差，几何动点及最值问题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，考查的内容较多，综合性强。特别是第(2)问涉及截长补短的构造，第(3) 问考查动点轨迹与几何最值的问题，颇有一定难度，非常值得研究。

刘老师在题目的剖析后分别针对题中呈现的问题引导我们归纳与反思：几何图形中点问题如何思考；三角形遇到旋转怎么思考；动点的轨迹怎么确定；几何最值问题怎么解决；这几个问题是我们平时在教学时思考久深入的，刘老师总结归纳的非常仔细，许多的地方是我在平时的教学中没有想到的，所以说这一次学习也让我多留了一个心眼，做好了笔记，进行了收藏。刘老师在引导我们剖析时注重结合教材，让知识回归教材，也紧密结合题目，每一个问题的出处都分析的清清楚楚，明明白白，可见她在业余时间花了大量的功夫。

新课标提出，应立足学生核心素养发展，培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。刘老师提出在平时的教学中要重视几何直观感觉的培养，重视推理能力的培养，在我们的日常教学中要将课堂还给学生，给学生创造机会，多放手让学生经历猜想、实践、归纳、反思。例如在《圆周角》这一节中，在探究圆周角定理时要给足时间让学生动手画，探讨圆周角在不同的位置时与圆心角的关系，最终归纳得到圆周角定理。有的教师在讲授时直接将三种位置关系事先画在了黑板上，这样让学生缺少了探究的过程，把一节探究课变成了证明课，实在可惜。

对于第二问，实际上方法还有很多，这里补充两种思路供大家思考：

方法一：过Ｅ作垂线交ＡＧ的延长线于Ｑ点，由前面我们可以得到△AMF≌△AGN,易证△AEF≌△QEG,从而得AF=GQ,AM+AF= AG+GQ=AQ=√2AE

方法二：如图所示,过点E作AD的垂线,交AB于点R,过点F作FQ∥AB,交ER于点Q。连接AQ、FR、FQ。易证四边形AFQR为等腰梯形，可以得到AF=RQ，AQ=FR=FE=GE,且∠QAF=∠QRF=∠QEF,那么就可以得到∠AQR=90°+∠QAF=90°+ ∠QEF=∠QEG,可以得到AQ∥GE，

所以四边形AQEG为平行四边形，可以得到QE=AG，再根据全等可以得到QE= AG=AM，在Ｒt△ARE中，ＲＥ=ＲＱ+ＱＥ=ＡＦ+ＡＭ=√2AE

精彩点评二

认真学习了刘梦倩老师2022年重庆市中考数学B卷第25题的研题，为刘老师耐心细致的讲解和清晰的思路以及方法的归纳点赞！

在刘老师本次研题中，有以下几点，我认为值得我好好学习。第一问中，由题目条件入手，得出相应结论，引导学生怎样分析题目，由中线想到中线倍长法，从而使题目迎刃而解。第二问中，也是非常耐心细致的分析题目的每一个条件，引导学生理清思路，截长补短的方法就水到渠成了。第三问对于学生来说看似非常难，有翻折，有动点，有最值，都是学生惧怕的，但刘老师通过分析条件三角形BEH沿EH翻折，得到B'的运动轨迹，即以E为圆心，BE为半径的圆，数形结合，做图使得题目变得更直观易解，充分体现了做图分析对动点问题的帮助，同时刘老师也注重教学生做图，强调化“无形”为“有形”，慢慢做到“心中有图”；接下来刘老师又归纳了本题涉及的思路方法，并作了延伸，例如几何图形的重点问题如何思考，罗列出学生平时做题会遇到的问题，对其进行全面的归纳与剖析；如1.图形面积+中点想到中线等分面积；2.等腰+底边中点想到三线合一；3.直角+斜边中点想到了直角三角形斜边中线；4.平行+中点或多个中点想到构造中位线；5.中线或中点有关线段想到倍长中线构全等；6.中点+垂直想到轴对称。这个对我的启发很大，我在平时讲授中点问题时，只注重了遇到中点时可以从中线及直角三角形斜边上的中线、中位线来思考，没有对题型进行详细的归类拓展，从而使学生遇到中点只知道中线、中位线，若题型没有那么直观，就没有办法了，今天听了刘老师的课，我对于中点问题的讲解又有了新的方向，对我以后的教学有很大的帮助；同时也对旋转、动点轨迹的确定、几何最值问题这几个考点进行了全面的剖析，对题型、思路方法进行了全面的归纳，我相信我如果是刘老师的学生，那对于中点问题，旋转问题，动点问题就不再那么恐惧了，能进一步解答了。

学习了刘老师的课收获颇丰，也感谢张博士团队给了我们这样优秀的学习平台，相信借助这个平台，我们都能不断提高自己，更好的教书育人！

精彩点评三

认真学习了刘梦倩老师的讲题，刘老师以2022重庆中考数学B卷第25题研讨为例，从题目条件分析到解法探究，在此基础上将问题进行发散性挖掘，对中点运用、旋转处理、轨迹寻找和最值研究四个问题进行了深度探究，形成了研究问题的一般方法。以题目为载体，抓住问题背后的数学知识和数学方法，做系统性整理和研究，既增加了数学研题的厚重性，又体现了数学内容的整体性。

刘老师在对问题分析研究的基础上，结合教材进行了系统构建，对一类问题整合教材有机串联，表现出较强的大单元教学意识。还以”造桥选址“的教学为例，分享了自己的教学创新实践，给我眼前一亮的感觉。

刘老师从重视几何直观培养、重视推理能力培养两个方面进行了教学反思，既要培养抽象能力又要能“化无形为有形”，既要巩固基础知识又要建立知识之间的联系养成学生严谨的数学思维。对几何教学提出了指导性的建议，给出了有效的教学策略。

整个研题过程刘老师从问题出发，基于学情，在问题解决中呈点状发散，引发一类问题的思考和研究，形成了系列研究体系，具有较强的整体性和系统性。回归教材，体现了数学知识的整合、融合，展现了一名优秀数学教师扎实的专业素质。在对中点、旋转、轨迹和最值问题深入分析后，在总结和归纳中，形成了问题解决的一般方法，提升了几何问题的思维能力。形成了“个案解决——类型研究——教学实践——能力提升”的研题流程，对我今后的教学研究有很好的指导作用。

精彩点评四

刘梦倩老师所研2022年重庆B卷第25题，与A卷25题同气连枝，属于不可多得的优秀几何压轴题。通过刘老师精彩的演绎，对本题三个小题的解法进行了深入解读，同时借研题契机，对平时几何教学的中点问题处理、旋转变换中的全等三角形、动点轨迹问题、最值问题进行了反思，这四个方面均来自本题涉及关键知识点，结合自己平时的教学，使得反思更接地气，更符合一线需求。

第1小题里的中点，关联到三线合一、直角三角形斜边上的中线等，也是学生看到“中点(线)”之后的第一顺序思维锚点，容易想到，起点较低，方法多样。在刘老师的研题中，采用了条件和结论对照分析的方式，从而让学生更能理解“为什么这样想”；

第2小题的全等三角形，系数√2是一个很明显的提示，接下来的证明，与等腰直角三角形关系紧密，所以优先构造出直角边为AE长度的特殊图形，为达到这个目的，构造全等三角形，而在等腰直角三角形背景之下，利用两腰来构造最为方便，即旋转变换，不同的旋转中心，不同的等腰直角三角形，在本小题中作用巨大，在本小题中，还涉及到两条线段和的问题，这又与全等三角形常见的截长补短方法联系紧密，可以说，这个问题，难度相对第1小题有提升，普适性较强，对于平时认真学习的学生，并不困难，这也是试题有效区分的基础；

第3小题的关键点在于两段轨迹，点G和点B'分别在不同的路径上运动，因此B'G的长度与它们各自的轨迹有关系，这道小题的难点并不在于它们这两段轨迹，事实上非常容易得到，点E在本小题中是定点，所以BE是定长，即B'E是定长，这就和圆联系起来了，而点G所在直线，可通过第2小题的全等得到必要条件来证明，最值才是本小题真正的考察点，点B'在圆上，点G在圆内的一条线段上，它们在什么位置的时候，B'G最短？再联系点G在圆内，不难想到圆内一点到圆周上一点的最小距离，问题至此解决。这两段轨迹虽然有关联，但近乎独立成型，点G的轨迹与点F位置有关，而点B'轨迹与点H位置有关，之所以说它们近乎独立，是因为点F位置不会改变点B'的位置，而点H位置也不会影响到点G的路径，这在难度上就容易控制，命题者将真正的难点放在圆内一点到圆周上一点的距离最值，是有深入考量的。

反思中的教学问题四方面，均为几何教学中的常见问题，通过刘老师的思考，给了我很多启示，例如不同条件描述，对应不同辅助线作法等。那我们平时又要如何进行教学反思呢？学习研题的过程，本质上也是一种反思，通过他人的研究，共鸣自己的得意，解决自己的困惑，启迪自己的思考，我一直认为，每次的研题反思才是重头戏，题目本身是个引子，可以引出命题思考，解题思考，评价思考等，而这一切的根，在课堂上，在学生的学习过程中。通常情况下，数学老师们喜欢找题目做，自己做，再给学生做，再讲，这个循环轮回不断，但也会面临“一讲就会，一做就错”的怪圈，往往在部分生源条件下，讲得越多，学生越是困惑。例如在七年级上学期有理数一章中，教材知识点并不多，学生理解难点主要是绝对值等概念，计算错误通过大量重复练习，基本可以从表面上杜绝，于是为了让学生“有事干”，开始增加难度，但在有限知识框架下，能做的有限，所以部分老师会将一些“提高题”给学生做，而这些提高题，基本上涉及到了七年级下学期的整式加减、平面直角坐标系，让目前仅仅只是初步认知数轴的七年级学生感到“困难”，如果是系统地提前学习，对于学有余力的孩子也无可厚非，但对于多数学生来讲，只能被动接受老师“补充”的知识点，然后在重复训练中“学会”方法，从而在期末考试中“成绩优异”，但所有这一切，都建立在学生未能深入理解上述概念和方法的基础上，吃下这碗夹生饭，对于学生后续学习有害无利，因为我们并不肯定，我们“补充”的这些内容，学生究竟以何处方式理解，假若正确还好，若不正确，将来再去纠正，无疑是事倍功半，造成这种现象的主要原因，仍然是不读课标，不读教材。

最后说说新课标学习，部分来自一线的意见是，课标学不学都行，平时该怎么教就怎么教，学生觉得简单，那就补充点难的，让他们有事干，学生觉得难，那就把那些不考的点省略掉，降低难度。这两种极端均不正确，课标是教学的基本准则和框架，教材提供了基本的素材和内容，老师能够发挥的，是如何将这些基本的素材和内容通过自己的教学组织起来，在课堂上让学生理解明白，我们提倡对教材进行大胆的取舍，但取舍对象不能错了，课标上要求的一点不能多，也一点不能少。在刘老师的研题中，我也看到了对教材的理解，找到本题与教材的关联出处，其实在它们背后，还要对课标要求进行解读，某节课，要讲到什么程度？可以拓展到哪些方面？站在大单元视角下又如何看待本节课？

学生的好习惯需要平时培养，更依赖老师的好习惯，那么老师的好习惯又从何而来呢？这就需要我们在平时每天的教学工作之余，进行自我反思，每天一点点积累，真正到研题这个平台上，就不会欲思无语，而是思如泉涌。感谢张钦博士提供的这个平台，感谢刘梦倩老师的精彩研题，感谢各位专家的精彩点评，感谢群里所有老师们的支持，让我可以不断学习，不断进步！

个人感言

上一次研题选择的是一道函数题，所以这一次我选择了2022年重庆市B卷的这道几何压轴题，这道题的图形其实都是大家比较熟悉的等腰直角三角形，还有三角形旋转的图形变换，基本都是平时常见的图形和变换方式。第一问涉及到中点的问题，虽然常规但容易“看花眼”；第二问中的旋转问题，是基于等腰直角三角形的“手拉手”模型，需要“无中生有”地构造，补全这个基本图形；第三问虽然涉及到圆、全等、轨迹、最值等繁杂的知识点，其实思路入口是比较窄的，只要基础知识的功底够扎实，顺着条件往下思考，并不难想到做法。

初做这道题，其实并不顺畅，因为图形中线条较多，条件也比较多，思考方向就很发散，不能“一击即中”，这也是学生在做第一问时就卡住的原因，但是，做出来之后，再想想原理，其实非常简单！无非就是用到了“三线合一”和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个知识点。但学生在做题时，虽然学了很多性质定理，由于没有系统化的思维，找不出对应的性质定理进行应用，所以被“卡”住或者是走了很多弯路才找到出口。

这一点让我想到学生平时的学习中，每一节内容课后的作业学生会做，但一到考试，题目的知识点稍微综合一下，学生就有困难，是因为在知识点后的例题、作业，知识点都相对单一，且知识点已经透过作业标题暗示给学生，所以学生的思考还是有方向，但考试时没有提示，知识点需要学生从自己的知识储备中自主选择，这就让一些学生无所适从了。因此我们在平时的教学中，一定不能将知识点零散地教给学生，要注重整个知识体系之间的联系，这也是新课标中提出的单元整体教学的要求，对教学内容要做合理的整合，体现数学知识间的内在逻辑联系，促使学生搭建有条理的知识框架和逻辑体系。另外，对于相关的知识点和同类型的题型，要及时加以归纳和整合，帮助学生建立联系，这也是我在研题中的一个思路。

对于这道题的第二问，虽然是线段绕点旋转，但需要学生“脑补”出旋转的三角形，从而作出辅助线。辅助线的作法中，学生比较熟悉的有连接、延长、作垂线等简单依托现有条件的作法，对于倍长、补短、截取、作平行线等需要“无中生有”的作法以及两种以上辅助线结合的作法，学生比较不容易想到。我在平时观察学生的做题过程时，看到有学生作错辅助线的情况，一是因为思维定式，只有条件反射，没有深入思考；二是因为不会识图，看不到图形形成来源与其本质。因此在平时的教学过程中，一定要重视学生画图能力的训练，除了概念课时的画图，把复杂图形“复制”画出来也是一个很不错的锻炼方式，学生在“复制”过程中，通过对条件的解读，自己的感悟，可以重构图形，看清来龙去脉，这样在遇到复杂图形时，不至于害怕和眼花缭乱。

此次研题虽然耗费了不少的时间和精力，但让我自己对教学中的一些问题有了更深入和系统的思考，可以让我将平时零零散散的教学感悟汇集到这个研题作品中来，所以感谢张博士给我们这样的平台，重新审视平时的教学和教研，让我在发现——思考——解决的过程中提升自己的教学水平和研究意识，也感谢黄毅老师对我的初稿提出的建议，让我完善这次的研究，同时也感谢秦琴老师、孙涛老师、唐斌老师、黄毅老师给予的精彩点评，让我看到我这次研题的亮点和不足之处，教学中的思考永不停歇，教研中的学习永不止步，我将带着对教育的敬畏之心，继续学习，有宜昌市初中数学教研平台这个坚实的后盾，我信心满满，只管大步前行！

刘梦倩老师简介

刘梦倩，宜昌市东山中学数学教师，热爱钻研，善于思考，以真心浇灌，用热情唤醒。用实际行动带领学生不断向前。