2013年江苏高考数学真题，向量与三角函数综合题，经典好题

大家好！本文和大家分享一道2013年江苏高考数学真题。这道题考查的是向量与三角函数的综合题，难度不算太大，但是题目非常经典，作为高中生应该掌握。接下来一起来看一下这道题。

先看第一小问：证明向量垂直。

两个向量垂直，则两个向量的数量积为零，下面介绍2种证明方法(下面用小写字母的黑体表示向量)。

证法一：

将|a-b|=√2两边平方，得到|a-b|^2=(a-b)^2=2，即a^2-2a·b+b^2=2。由题意得，a^2=(cosα)^2+(sinα)^2=1，b^2=(cosβ)^2+(sinβ)^2=1，代入上式，整理可得到a·b=0，即a⊥b。

证法二：

a、b的坐标已知，那么可以先求出a-b的坐标，然后用向量数量积的坐标表示求解。

由题意知，a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)，则有|a-b|=√2得：√[(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2]=√2。整理后得到，cosαcosβ+sinαsinβ=0。而a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，即a·b=0，故a⊥b。

再看第二小问：求角。

由题意知：a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)，而c=(0,1)且a+b=c，则有：cosα+cosβ=0①，sinα+sinβ=1②。下面介绍3种处理方法。

解法一：

由①式得，cosα=-cosβ=cos(π-β)。由于0＜β＜α＜π，则0＜π-β＜π，即有α=π-β。则sinα=sin(π-β)=sinβ，代入②式，可得sinα=sinβ=1/2，结合α、β的范围，可以求出α=5π/6，β=π/6。

解法二：

由①^2+②^2，得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，则cosαcosβ+sinαsinβ=-1/2。由两角差的余弦公式，上式即cos(α-β)=-1/2。

由α、β的范围可知，0＜α-β＜π，所以α-β=2π/3，即α=β+2π/3。代入①式，整理得cosβ-√3sinβ=0，即tanβ=√3/3，从而解得β=π/6，α=5π/6。

解法三：

用和差化积公式对①、②进行处理，得到2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=0③，2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1④，由③④可得cos[(α+β)/2]=0。结合α、β的范围，可知(α+β)/2=π/2。再代入④中，得cos[(α-β)/2]=1/2，则(α-β)/2=π/3。从而可以解出α、β的值。