四川
大家好！本文和大家分享一道2006年广东高考数学真题。这道题考查的是导数与函数的极值、圆的方程、轨迹方程、直线的位置关系等知识，特别是第二问的轨迹方程难住了不少学生，本文和大家分享2种轨迹方程的求解方法。
先看第一小问：求A、B的坐标。
由于点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，所以点A、B在函数f(x)=-x^3+3x+2的图像上，于是我们只要求出x1、x2的值，再代入函数解析式即可求出它们的纵坐标，从而得到点的坐标。
根据题意，函数f(x)分别在x1、x2处取得极小值和极大值，那么我们就可以通过函数的极值来求出x1、x2的值。
根据求导公式可得，f'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)。令f'(x)=0，解得x=±1。接下来，根据导数的正负判断函数单调性，从而得到极值点。即如果函数在某点的导数为零，且左侧为减函数，右侧为增函数，那么在该点取得极小值；相反，如果在该点左侧为增函数，右侧为减函数，那么在该点取得极大值。这样就可以得到x1=-1，x2=1，代入原函数求出纵坐标即可得到A、B的坐标。
再看第二小问：求动点的轨迹方程。
解法一：相关点法
求动点的轨迹方程，一般来说求什么就设什么。本题求的是点Q的轨迹方程，所以我们就设Q点的坐标为(x,y)。由于点Q和点P关于直线对称，所以我们可以再设P点的坐标为(m,n)，所以就可以得到PQ所在直线的斜率为-1/2，即(y-n)/(x-m)=-1/2，且线段PQ的中点在直线y=2(x-4)上，即(y+n)/2=2[(x+m)/2-4]，从而可以得到m=(-3x+4y+32)/5，n=(4x+3y-16)/5。
再根据向量PA和向量PB的数量积，我们可以得到m^2+(n-2)^2=9，再将m、n代入，化简后得到(x-8)^2+(y+2)^2=9。
解法二：直接法
由解法一可知，点P的轨迹方程为m^2+(n-2)^2=9，即点P轨迹是以点(0,2)为圆心、以3为半径的圆。由于点Q和点P关于直线对称，那么根据瓜豆原理可知点Q的轨迹也是一个圆，而且该圆的半径为3。所以接下来只需要求出点Q的轨迹圆的圆心即可。
由点Q和点P关于直线y=2(x-4)对称可知，点Q和点P的轨迹圆的圆心也关于该直线对称，即两圆圆心的中点在直线y=2(x-4)上，且两圆圆心所在直线的斜率为-1/2。如果设点Q的轨迹方程为(x-a)^2+(y-b)^2=9，那么就有(b-2)/a=-1/2，(b+2)/2=2(a/2-4)，解得a=8，b=-2。代入所设方程后求出点Q的轨迹方程。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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