2005年福建高考数学真题，经典的三角求值问题，高中生必须掌握

大家好！本文和大家分享一道2005年福建高考数学真题。这是2005年福建高考数学试卷的第17题，也就是第一道解答题。这是一道非常经典的三角求值的题目，难度并不算大，当年的考生如果这题不会，考大学就难了，对于现在的高中生来说，这也是必须掌握的题型。

先看第一小问：求sinx-cosx的值。

这一问如果是在选择题或者填空题当中，学霸不用动笔就能看出答案，怎么看出来的呢？由于sinx+cosx=1/5，那么很明显为就是考查3、4、5这组勾股数，而-π/2＜x＜0，也就是说x是第四象限角，所以sinx为负，cosx为正，所以可以得到sinx=-3/5，cosx=4/5，故sinx-cosx=-7/5。

不过，这是一道解答题，显然不能用上面的方法，下面再和大家分享这类题型的2种解法。

解法一：

将sinx+cosx=1/5两边同时平方，得到1+2sinxcosx=1/25，即2sincosx=-24/25，那么(sinx-cosx)^2=1-2sinxcosx=49/25①。由于x是第四象限角，那么sinx＜0、cosx＞0，则sinx-cosx也小于零，所以将①开方，即可得到sinx-cosx=-7/5。

解法二：

由sinx+cosx=1/5可得：sinx=1/5-cosx，代入同角三角函数的平方关系(sinx)^2+(cosx)^2=1中，整理后得到：25(cosx)^2-5cosx-12=0，解得cosx=-3/5或cosx=4/5。又因为x为第四象限角，所以cosx为正数，即cosx=4/5，从而得到sinx=-3/5，所以sinx-cosx=-7/5。

再看第二小问。要求这个式子的值，首先需要对这个式子进行化简处理。先看分子，可以直接用二倍角公式进行降幂处理，也可以先用同角三角函数的平方关系处理后再用二倍角公式降幂处理，即3(sinx/2)^2-2sinx/2cosx/2+(cosx/2)^2=2(sinx/2)^2-2sinx/2cosx/2+(sinx/2)^2+(cosx/2)^2=3(sinx/2)^2-sinx+1。然后继续用二倍角的余弦公式降幂，得到2-sinx-cosx。再看分母，分母的处理就很简单了，直接切化弦就可以了。

化简后，再利用第一小问得到的数据即可求出最后的答案。

当然，这道题没有要求先化简再求值，所以也是可以利用二倍角余弦公式分别求出sinx/2和cosx/2以及用同角三角函数的商数关系求出tanx和cotx的值，再代入并求得代数式的值。不过，这类题型不管有没有要求先化简再求值，最保险的做法还是先化简再求值。