论文规范结构与数学结构的相似性

论文通过大纲划分来展示宏观结构。可以简单用规范结构和自由结构来对宏观结构进行分类。自由结构里面的一个极端是逻辑严密的数学结构。规范结构和数学结构看似差异很大，本文则讨论两者的相似性。为此，先介绍什么是规范结构和数学结构，了解它们各自的特点后，再来讨论两者的相似性。这些相似性可以为分别习惯规范结构和数学结构的作者所借鉴，也可以为习惯其它自由结构的作者所借鉴。

1. 规范结构简介

规范结构的论文是指一级大纲按引言、方法、结果和讨论划分的论文，如果采用一级大纲英文名称（Introduction, Method, Results and Discussion）缩写，规范结构也称为IMRaD结构（详细介绍见一篇研究规范结构的论文简洁地展示了规范结构 和 论文宏观结构| 规范结构和自由结构）。

引言用于交代背景、动机、研究现状和研究目标 （见写好引言的诀窍）。在动机或研究目标中，会对问题进行定义和限定。

论文基本结构图解

方法是指如何得到结果的，一般包含顶层思路、材料与工具、策略与步骤、结果处理方法和合理性分析等五个部分（如何介绍研究方法）。

结果是研究发现，可以是数据、见解、规律等（见如何报道研究结果）。至少在理工科和生命科学论文中，很重要的一类研究结果通过图形展示，并在文字中交代图形对应的条件与构成、在图形中能观察到什么特征、现象和趋势、对观察到的东西进行解释或给出原因，以及指出图形结果的意义（见图形描述的四段结构示范）。在这里可能进一步给出具体结果对应的条件。

讨论是对研究结果的分析，见莫纳什大学| 如何小心翼翼地讨论你的研究发现。

2. 数学结构简介

按Ashley Reiter【1】，一篇数学论文由正式结构（数学逻辑）内容和非正式内容组成。正式内容一般有定义（definition）、假设（assumption）、主张（claim）和证明（proof）等，非正式内容包含动机、类比、例子和数学解释等补充性内容。

这里所指的主张可以是定理（theorem）、推论（corrolay）、命题（proposition）和引理（lemma）等。在标准的数学论文中，数学主张可以显式或隐式地表示为【2】：

对于所有[特定类型的对象]，如果成立[假设]，那么成立[结论]。”

For all [objects of a particular type], if [hypothesis], then [conclusion].”

数学主张需要进行数学证明（proof），以便确认其正确性。以下是定理和证明的一个例子（选自文献【2】）：

Theorem: For any integer a, If a is even, then a2 is even.

Proof: Let a be an integer, and assume it is even. An integer being even means that it is divisible by 2, or, equivalently, that there exists an integer k such that a = 2k. By definition, there exists an integer k such that a = 2k. Now look at what we are proving – that a2 is even. We do this by proving that a2 is divisible by 2. Hence, a2 = (2k)2 = 4k2 . Since 4 is divisible by 2, this implies that a2 is also divisible by 2, and so it is even by definition. QED

证明有直接法（Direct Proof）、反证法（Proof by Contrapositive）和归谬法（Proof by Contradiction）三种基本类型。文献【2】介绍了这三种证明的写作过程，提供了一些技巧，包括从何处开始、如何设置证明格式，以及如何写出最简洁、语法正确的证明。

3. 规范结构与数学结构的相似性

无论是规范结构论文还是数学结构论文，均可分为文前部分、主文部分和文尾部分，其中主文部分的安排与是否为规范结构和数学结构有关。图1是典型规范结构论文布置示意图。

图1 规范结构论文示意图

数学结构的主文部分可以用一张示意图来表示（见图2）。由前向后，先通过定义和假设等来明确一些概念和限定，接下来推出和证明一些引理，它们可提供证明重要定理所需要的共性技巧。有了这些准备，便通过定理等形式声明一些重要的主张。这些主张之下便是它们的证明。也有一些情形，证明可以由前面的非正式内容调用引理等给出，或者放在后面专门用于证明的位置（包括附录等）。最后，通过推论给出定理的一些应用，通过举例等进行说明或给出其它应用。数学家将依据构成这些正式内容不同部分的平行性或承前启后性来安排一级大纲和子级大纲。

图2 数学结构主文部分示意图

比较前面介绍的规范结构，不难看出规范结构与数学结构有如下相似之处：

1）数学结构中的定义和假设类似于规范结构论文中问题的定义和限定（一般出现在动机或研究目标）。

2） 数学结构中的主张（定理）对应规范结构中的结果。定理中的数学公式与规范结构中的图形类似，是展示结果的数学方式。当然，规范结构也可以用数学公式甚至定理来展示结果。数学结构也可以用图形表示某些结果。

3）数学结构中的证明（甚至引理及其证明）可以认为是规范结构中的方法。

4） 数学结构中的推理、举例和一些非正式内容（如类比和解释等）可以认为是规范结构中的讨论。

简言之，规范结构把核心内容归为方法、结果和讨论三大类来介绍，而数学结构则把核心内容按照数学逻辑（定义与假设、引理定理推理及其证明等）进行介绍。