密铺玫瑰花结，构造迷幻螺旋

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

我们在此描述了风筝式密铺的一些特性以及风筝式密铺在艺术和娱乐数学方面的广泛用途。密铺式花环是一种具有单个花环形状原型和一个奇异点的花环，花环对该奇异点具有旋转对称性。具有n次对称性的拼块是由n个大小相同的风筝环组成的，风筝的大小随着远离奇异点的距离增加。原形可以是凸的，也可以是凹的。对于所有n>2的风筝形状，以及对于n=2的凹形风筝，都可以构建这样的密铺。相邻环形拼块的有限拼块可以作为构建结和链接的脚手架，其股线位于拼块的边缘。这样的拼块可以作为吸引人的图形设计和埃舍尔艺术作品的方便模板。此外，这些拼块还可以用作各种谜题和游戏的网格，特别适合于泛对角线的魔法方块。还探讨了通过赋予拼块厚度而创造的三维结构。

介绍

广义上来说，玫瑰花结是像花一样的设计或物体，或者具有旋转对称的单点。它们通常也包含穿过旋转中心的镜像对称线。图1a所示类型的具有n重旋转对称的基于菱形的密铺玫瑰花结是相对公知的，并且可以为大于2的任何n构建。菱形莲座是边对边的；即拼块的角和边与密铺的顶点和边重合。除了图4的埃舍尔变体之外，这里描述的玫瑰花结也是如此。

在Grünbaum和Shephard的著作《密铺与图案》[6]中，密铺被定义为覆盖平面而没有间隙或重叠的闭集(拼块)的有限系列。一个拼块是不完全覆盖平面的有限拼块集合。虽然拼块片通常是简单连接的，但本文中的图将是拼块的“环形片”，中间有一个洞。根据Grünbaum和Shephard的标准，这里描述的拼块是“性能良好”的；也就是说，每个拼块是一个(封闭的)拓扑圆盘。然而，按照正常密铺的标准，玫瑰花结并不“表现良好”;也就是说，它们在旋转中心包含一个奇点，定义如下。每一个圆盘，无论多小，以奇点为中心，都会遇到无数的拼块；即，当接近这些点时，拼块变得无限小。

之前，我们描述了基于风筝形和飞镖形四边形原型的分形密铺系列[1]。在这些分形密铺中有一些区域可以被描述为风筝、飞镖和等边三角形的玫瑰花结(图1)。图1b、c和d中的风筝玫瑰花结覆盖了无限数学平面，而图1a中的菱形玫瑰花结没有覆盖。虽然这里讨论的这种风筝密铺玫瑰花结以前肯定是已知的，但我们不知道有一篇论文专门讨论它们的描述和性质。注意，风筝环在玫瑰花结中很常见，是伊斯兰密铺的构建材料，它们总是与其他多边形结合在一起。我们在这里描述了风筝密铺玫瑰花结的一些性质，以及风筝密铺玫瑰花结在艺术和娱乐数学中的广泛应用。

图1:一些密铺玫瑰花结:a)一个n = 9的菱形玫瑰花结；b)n = 8的风筝玫瑰花结；c)n = 4等腰三角形玫瑰花结；和d)n = 2飞镖玫瑰花结。

风筝密铺玫瑰花结的性质

风筝是四边形的，有两对彼此相邻的等长边。它们左右对称，可以是凸的也可以是凹的。凹形风筝通常被称为飞镖。凸凹风筝的边界线是一个等腰三角形，两个短边共线。

在风筝密铺的玫瑰花结中，所有的拼块都是相似的；即只有一个原拼块。在n重玫瑰花结中，拼块排列成n个风筝的环，相邻环之间的比例因子由原型拼块的短边与长边的长度之比给出。单一原型拼块和n重对称一起要求风筝成比例，使得侧角和顶角之和为180–180/n。这些玫瑰花形在旋转中心有一个奇点，并且它们是两种可着色的。对于所有n > 2的情况，存在连续的风筝形状，对于n = 2的情况，存在连续的凹形风筝形状。

图2中示出了n = 6的一些例子，说明了几种特殊情况和极限。在图2a中，风筝的侧角比150°的极限角小1 °,此时风筝将无限长。更一般地，该角度为180 °- 180 °/ n。在图2b中，每圈风筝的内边界和外边界描述了正n形的第一个星形，其风筝侧角为540 °/ n。在图2d中，边界为正n形，其风筝侧角为180 °/ n。在另一个极限中，风筝的侧角为0 °,图2f中使用的角度为1°。在这个极限中，边界描绘了一个正2n边形。

图2:风筝边角分别为a)149°、b)90°、c)60°、d)30°、e)15°和f)1°的六重风筝密铺玫瑰花结。

螺旋由图3所示种类的边链描述。对于给定的n，连续线段之间的角度固定在180–180/n。螺旋中连续线段的比率由原型拼块中两个边长的比率给出。

图3:由n=3个风筝密铺玫瑰花结定义的一些螺旋。

基于风筝密铺玫瑰花结的埃舍尔艺术

与任何拼块一样，风筝拼块玫瑰花形图案可以作为埃舍尔设计的模板。图4显示了一个例子，其中八折玫瑰花结中的每个风筝都变成了一朵花和两片叶子。

图4:作者在2011年创作的一个埃舍尔设计。风筝玫瑰花结模板如右图所示。

M.C.埃舍尔制作了几幅围绕中心奇点旋转对称的版画。不过，他似乎并没有考虑以风筝贴花环作为模板。他的三幅《生命之路》版画[1]是基于顺着鱼和鸟的中心的环状线条阐明的平滑螺旋线[2]。这些可以装在风筝拼块花环上；然而，风筝的角度不是圆形的，而且在备用风筝上有两组标记。《发展II》(1939年)是一个不同寻常的例子，它基于一个具有24倍对称性的六边形网格(如果忽略颜色)。在完整的印刷品中，随着设计的向外推进，中央的六角形网格发展成蜥蜴。如图5所示，通过在合适的原型拼块上应用简单的标记，可以从风筝拼块花环获得这个网格。

图5: a)一个n = 24，侧角为120°的风筝，用线条装饰成六边形网格(b ),类似于M·C·埃舍尔版画《发展II》中使用的网格。c)埃舍尔使用的着色。

基于风筝密铺玫瑰花结的结和链环

用交织的线代替风筝的边缘，可以制造出各种各样的结和连接。添加拼块环可以被视为创建迭代结和链接的一种方式，补充了前面描述的技术[4，5]。图6显示了n = 6的三种不同链路。两个环的风筝拼块有三股，三个环有两股，五个环有六股。对于四个或六个环的风筝来说，只有一根线。

图6:基于n = 6风筝密铺玫瑰花结的三个链环，a)三股，b)两股，c)六股。

如果使用素数n，例如7，那么对于任何数量的环，直到六个环，都可以获得单环结，此时有七条链(图7)。对于七到十二环来说，它又是单环的。然而，对于十三个环来说，还是有七条链，但是现在每条链围绕中心绕两圈，相比之下六个环是一圈。

图7:基于n = 7风筝密铺玫瑰花结的一个结和两个链环，其中A)一股，b)七股，c)七股。在每一个例子中，从顶角到中心再回到一个角的遍历都被涂黑来说明路径。

这些结果可以理解如下。从任意起点遍历一整圈需要2n个线段，其中每个线段对应于一个拼块边缘。从一个角(最外面的点之一)到中心(最里面的点)再回到另一个角需要2(r + 1)个线段，其中r是风筝的圈数。将这些分开，一个角到角的遍历覆盖了一整圈的(1 + r)/n。简化数字分数，分母给出闭合链所需的遍历次数。遍历的总次数n除以该数，得到绳股数s；即s是r + 1和n的最大公约数，例如图6a中r + 1 = 3，3是3和6的最大公约数，所以s = 3。图8中给出了另外两个例子。

图8:a) n = 3, r = 8, s = 3的两条链路;B) n = 25, r = 9, s = 5。每条链上都有一条暗线。

使用风筝密铺玫瑰花结的附加娱乐数学

风筝拼块花环可以被认为是一个四边形的网格，类似于棋盘。关键的不同之处在于“锯齿状”的边缘和栅格缠绕以形成闭合环的事实。有许多基于网格的谜题和游戏，包括国际象棋、纵横字谜、单词搜索、多项式问题和魔方，原则上任何一种都可以改编成风筝拼块玫瑰花环。

在对玫瑰花结的神奇编号做了一点试验后，我们发现幻方到风筝密铺玫瑰花结的直接映射比正方形网格更有优势。最强的一类幻方是“泛对角线”，这意味着破对角线和主对角线的总和是幻数[7]。数字11、16、6和1形成图9a中正方形的一条虚线对角线。这个4×4幻方的行、列和两组对角线可以被映射到n = 4，r = 4的玫瑰花结，如图9b所示。一组对角线映射到风筝的四个环上，而另一组映射到玫瑰花结的四个直径上。与正方形相反，没有首选的主对角线，所有的对角线都很容易辨认。图9c有助于解释这种映射的工作原理。如果魔方的额外副本被放置在它的旁边，则断开的对角线是完整的。在该图中，用粗黑线勾勒的16个方块的组具有与玫瑰花结相同的布局，除了两端没有连接。如图9d所示将它们连接在一起产生了一个与玫瑰花结拓扑相同的物体。一组对角线由环带给出，另一组由垂直环给出。请注意，指示的垂直环的数字按照1、13、4、16的顺序读取，类似于玫瑰花结的直径，但不像原始幻方的主对角线。这清楚地表明映射将适用于任何n×n幻方。

图9: a)将全对角线幻方映射到风筝密铺玫瑰花结上的映射算法。b)基于(a)中的幻方的n = 4，r = 4的幻玫瑰花形。c)扩展的魔方，显示了一组16个小方块，它们可以在圆柱体(d)中滚动，以创建拓扑结构与(b)相同的对象。

多边形由边对边连接的正方形组成。多角形问题通常涉及用一组特定的多角形来密铺某个图形。风筝密铺玫瑰花结可以用来解决这类问题，风筝就像正方形一样。一类多角体问题是确定哪些多角体用它们自身的副本密铺在平面上。如图10a所示，X五联体就是这样一种多联体。如果玫瑰图n的旋转对称是平面密铺的重复距离的倍数，则这种密铺可以成功地应用于玫瑰图。在这个例子中，在与密铺风筝玫瑰花结相关的方向上，重复距离是5°。在图10b和10c中分别示出了n = 15和n = 20个用X五联体密铺的玫瑰花形的例子。这些数字除了具有娱乐性的数学价值之外，在美学上也令人愉悦。

图10:A)X五联骨牌的双色平面密铺。黑色箭头表示与风筝玫瑰花结相关的重复向量。b和c)n = 15和n = 20的风筝密铺玫瑰的双色X-五联密铺。

基于风筝密铺玫瑰花结的建筑和雕塑形式

单独的风筝拼块可以加厚，以创建三维雕塑和玫瑰花结的建筑形式。最简单的方法是将给定环中的每个拼块加厚相同的均匀量，如图11a所示。2006年，西蒙·托马斯在伦敦桥展出了一件不锈钢雕塑，看起来就是这种类型。增加了复杂性，如图11b所示，均匀增厚的风筝的厚度可以在一个环内变化。如图11c和11d所示，也可以进行风筝的非均匀增厚。在11c中，风筝以两种不同的方式加厚，这样一对风筝就形成了一个积木。

图11:通过a)在玫瑰花结的每个环内均匀增厚每个风筝而产生的三维结构；b)均匀地加厚单个风筝，但是在一个环内改变厚度；c)以将旋转对称减半的方式不均匀地增厚风筝，以及d)不均匀地增厚风筝以产生类似于图11a中的结构。

结论

本文展示了各种可能的风筝密铺玫瑰花结，并描述了它们的一些艺术和娱乐用途。有几个可能的进一步探索的途径，包括基于其他玫瑰花结参数和不同类型的谜题和游戏的其他埃舍尔密铺。在伊斯兰或其他风格的更大或重复的设计中，也可以加入花砖和结状玫瑰花结。三维结构可以进一步开发和3D打印。

参考文献

[1] F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, and F. Wierda. M.C. Escher, His Life and Complete Graphic Work. Harry N. Abrahms, Inc., 1982.

[2] B. Ernst. The Magic Mirror of M.C. Escher. Ballantine Books, 1976.

[3] R. W. Fathauer. “Fractal Tilings Based on Kite- and Dart-shaped Prototiles.” Computers & Graphics, Vol. 25, 2001, pp. 323-331.

[4] R. W. Fathauer. “Fractal Knots Created by Iterative Substitution.” Bridges Donostia: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. ed. by Reza Sarhangi and Javier Barrallo, 2007, pp. 335–342.

[5] R. W. Fathauer. “A New Method for Designing Iterated Knots.” Bridges 2009: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, ed. by Craig S. Kaplan and Reza Sarhangi, 2009, pp. 251–258.

[6] B. Grünbaum and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. W.H. Freeman, 1987.

[7] C. A. Pickover. The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton University Press, 2002.

[8] A. H. Schoen. http://schoengeometry.com/b-fintil.html.

[9] S. Thomas. http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges06/thomas.html; accessed Jan. 28, 2018.

[10] Robert W. Fathauer, Art and Recreational Math Based on Kite-Tiling Rosettes

青山不改，绿水长流，在下告退。

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