抛物线背景下动点与线段的关系

抛物线背景下动点与线段的关系

在几何意义下，点与线段的位置关系有两种，点在线段上和点在线段外，有别于点与直线的位置关系，线段有两个端点，因此点在线段上，说明点在线段所在直线上，且位于两个端点之间。

在函数背景下，点可以用坐标表示，线段则作为一次函数图象的一部分，可以理解成自变量范围有限制的一次函数图象。

上述知识结合起来，也就成了宜昌市往年压轴题的常见构造，动点、含参抛物线、位置等要素的综合。

学生在解此类题目的时候，只要坚定信心，按常规思路一步步走下去，基本功扎实，完成解答并不困难。

题目

如图，已知：点P是直线y=x-3上的一点，其横坐标为m，抛物线y=x²+2mx-2m+1的顶点为M.

(1)当点P在直线y=x-3上运动时，抛物线始终经过一定点N，求点N的坐标，判断N是否为点M的最高点；

(2)若点P沿直线y=x-3向上运动时，点M也向上运动，此时直线y=x-3与抛物线y=x²+2mx-2m+1有两个交点A，B(A，B可以重合)，A，B两点到y轴的距离之和为d.

①求m的取值范围；②求d的最小值；

(3)连接PM，当直线PM与抛物线y=x²+2mx-2m+1的另一个交点在线段PM上时，求m的取值范围.

解析：

01

(1)所谓定点，是相对于参数m而言，即无论自变量x取何值，y都等于一个定值，与m无关。因此要想y的取值与m无关，则需要将解析式中含m的项结合起来，观察m的系数，令其为零，可求得定点坐标。

将解析式变形为y=x²+2m(x-1)+1，当x-1=0时，与m无关，所以x=1时，y=2，即点N(1,2)；

我们将解析式化为顶点式，y=(x+m)²-m²-2m+1，可得点M坐标为(-m,-m²-2m+1)，它的纵坐标用配方法化为-(m+1)²+2，即当m=-1时，取最大值2，此时点M坐标为(1,2)，所以点N恰为点M的最高点；

02

(2)解读“点P沿直线y=x-3向上运动，点M也向上运动”，点P的横坐标是m，向上运动，意味着m-3增大，即m增大时，点M的纵坐标也增大，前一问中我们知道点M的纵坐标是-m²-2m+1，我们将它配方为-(m+1)²+2，视为二次函数时，由图象可知，m<-1时，它增大，因此这就是参数m的取值范围；

①将直线与抛物线联立得方程x-3=x²+2mx-2m+1，整理得x²+(2m-1)x-2m+4，其中△=(2m-1)²-4(-2m+4)=(2m+1)²-16≥0，可知2m+1≥4或2m+1≤-4，分别解得m≥1.5或m≤-2.5，结合前面所得m的取值范围，得m≤-2.5；

②交点A，B到y轴的距离之和d，需要明确这两个交点的横坐标，由于前面的联立方程含参，无法求解，所以多数学生在此处陷入困惑。

解决困惑的方法是先判断两根的符号，这可利用韦达定理，设两根分别为a，b，则a+b=1-2m，ab=-2m+4，仍然考虑m的取值范围m<-1，所以可得a+b>0，ab>0，可知a和b均为正数，因此d=a+b=1-2m，而在前一小问中，m≤-2.5，所以当m=-2.5时，d最小值为6；

03

(3)直线PM与抛物线可能存在的交点个数为1个或2个，当PM∥x轴时，只有一个交点即M点，当PM与x轴不平行时，才有可能存在另一个交点，不妨标记为N点，可能有如下情形：

由上面四图可知，只有当点P位于点M上方时，交点N在线段PM上，这是直观结论；

然而学生解题时可没有几何画板，作精确的图象又太耗费时间，所以最佳作图场所是脑海中。

当PM∥x轴时，直线PM与抛物线有唯一公共点，以此为分界线，若点P在M左侧，为保证交点N在线段PM上，则点P必须在点M上方，同理，若点P在M右侧，也必须在上方，交点N才在线段PM上；

由前面推导可得不等式m-3>-m²-2m+1，整理得m²+3m-4>0，视作二次函数，利用图象性质求解，m<-4或m>1；

解题反思：

在解题过程中多次出现一元二次不等式，从命题角度，个人认为考虑欠妥，虽然可以利用二次函数图象性质或分解因式来求解，但在新旧课标中，并未出现二次不等式的任何要求，因此，一元二次不等式解出它的解集，应判定为超纲。

那为何2021年广东省中考压轴题，出现的那个含参二次不等式不算超纲呢？因为它并未要求解出解集，只是形式上像一元二次不等式，和这道题的一元二次不等式有本质区别，事实上学生也无法用上述方法去解，得到含参解集，广东省压轴题，的的确确是在考察函数图象的概念，这一点不可混淆。

这道题在第三问中，出现了较难理解的描述，这需要学生发挥想像力，要求较高，若平时的函数学习中忽略了图象的生成，那么学生大概率卡在此处。

在讲完这道题之后，建议用几何画板将抛物线顶点的轨迹演示给学生看，加深第二问中，随着m的增大，两个动点P和M的运动过程理解，点P一直向上运动，而点M的运动轨迹是一条抛物线，所以存在最高点N；

而在第三问中，直线PM与抛物线的交点位置，也是随m的增大，逐渐变化。

学生在面对难题的时候，有一种选择是利用搜题软件找答案，很可惜，这道题搜出来的答案是错误的，不全面，存在多解和漏解的情形。即便如此，学生依然照抄不误，可见并未真正理解，这也是为什么在讲完之后，需要演示，帮助那些想像力不足的学生，在脑海中让图动起来。